I. INTRODUCCIÓN
El Análisis De Decisión Múltiple Atributo (ADMA) es un importante campo de investigación en ciencias decisionales, investigación de operaciones y en administración (Wan and Li, 2014). Muchos enfoques se han desarrollado a través de los años para apoyar la toma de decisiones en aquellos escenarios complejos que lo requieran.
Dentro de las metodologías de apoyo a la toma de decisiones, un paso fundamental consiste en la ponderación de los atributos que los decisores consideran relevantes. Un primer enfoque aplicativo de la ponderación de atributos, es permitir que la evaluación de las alternativas disponibles en un problema de toma de decisiones sea más objetiva. Un segundo enfoque es permitir a los proveedores de un determinado producto o servicio, determinar las características más relevantes de lo que proveen, para así orientar la generación de nuevas alternativas en función de los atributos con mayor significación.
La mayoría de las tendencias actuales para ponderar atributos se basan en modelos de optimización que persiguen optimizar determinadas funciones objetivo con restricciones en el conjunto de pesos. Las ideas en que se basan las distintas funciones objetivo dentro de estos modelos suelen ser variadas. Algunas de estas ideas son las siguientes:
Maximizar las evaluaciones de las alternativas (Wang and Fu, 1993)(Wan et al., 2015)(Fu and Wang, 2015)( D.F. Li, 1999)(Wang, 2005)(Park et al., 2011)
Minimizar la incompatibilidad de decisión y la incompatibilidad de desviación(Chin, Fu and Wang, 2015)
Minimizar la entropía difusa en la matriz de decisiones (Chen and Li, 2010)(Jin et al., 2014)
Minimizar la disonancia cognitiva (Pei, 2013)
Maximizar la diferencia mínima entre evaluaciones consecutivas de las alternativas que se corresponden con un orden previamente establecido de estas (Horowitz and Zappe, 1995)
(VI) Maximizar la compatibilidad entre distintas formas de evaluación de las alternativas (Fan, Ma and Zhang, 2002)(Chen, 2014)(Wan and Li, 2014)(Wan and Dong, 2015), (VII) Minimizar errores respecto a la opinión de los decisores(Horsky and Rao, 1984)(DENG, Yang and XU, 2004).
En este artículo se considera que la idea VI es de las más interesantes. En este sentido, uno de los más recientes trabajos es el método de generación de pesos por minimización de la inconsistencia y maximización de la consistencia (Wan and Dong, 2015).
En (Wan and Dong, 2015)se pide al decisor que establezca las relaciones de preferencia difusa (
RPD
) entre las alternativas y se consideran evaluaciones globales de las alternativas basadas en un TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution). Luego, se definen los índices de inconsistencia y consistencia asociados a los dos anteriores tipos de evaluación como indicadores de la incompatibilidad o compatibilidad existentes entre ambos respectivamente. Así, se considera que los pesos de los atributos deben maximizarla consistencia y minimizar la inconsistencia a la vez.
Se parte de demostrar que la forma de medir la consistencia en (Wan and Dong, 2015)no es suficientemente objetiva. El objetivo es la generación de un modelo alternativo al anterior basado en una idea similar, pero que no se vea afectado por las limitaciones encontradas. Los principales aportes de este trabajo son:
Se muestra que el modelo de ponderación de atributos propuesto en (Wan and Dong, 2015) puede resultar ineficaz en ciertas circunstancias.
Se introducen los conceptos de índice de inconsistencia generalizado ponderado y los coeficientes de confianza externos e internos.
Se propone un nuevo modelo de optimización para ponderar atributos, basado en los conceptos introducidos.
II. MÉTODOS
1.1. Conjuntos Difusos Intuicionistas Valorados en Intervalos (CDIVIs)
Un Conjunto Difuso Intuicionista (CDI)
A
asociado a un universo
X={x1,x2…xk}
de números reales, se define por
A={〈x,μA(x), vA(x)|x∈X〉}
, donde
μA(x):X→[0,1]
y
vA(x):X→[0,1]
representan los grados de pertenencia y no pertenencia de
A
a
X
respectivamente. Los valores
μA(x)
y
vA(x)
satisfacen
μA(x)+vA(x)≤1
. Además se define el índice de ignorancia
πA(x)
por:
πA(x)=1−(μA(x)+vv(x))
.
Para generalizar el concepto de CDI, se define el de
CDIVIs
(
A¯
) asociado a un universo de discurso
X={x1,x2…xk}
de números reales por
A¯={〈x,μ¯A¯(x), v¯A¯(x)|x∈X〉}
, donde
μ¯A¯(x):X→L([0,1])
,
v¯A¯(x):X→L([0,1])
representan los grados de pertenencia y no pertenencia (expresados en intervalos) respectivamente de
A¯
a
X
.
L([0,1])
es el conjunto de todos los subintervalos del intervalo
[0,1]
.
A¯
puede expresarse como:
A¯={〈x,[μ¯A¯L(x),μ¯A¯R(x)], [v¯A¯L(x),v¯A¯R(x)]|x∈X〉}
, sien++do
μ¯A¯L(x), v¯A¯L(x)
los límites inferiores de los intervalos y
μ¯A¯R(x), v¯A¯R(x)
los superiores, donde
0≤μ¯A¯L(x)≤μ¯A¯R(x)≤1, 0≤v¯A¯L(x)≤v¯A¯R(x)≤1 y μ¯A¯R(x)+v¯A¯R(x)≤1 ∀x∈X.
Se define el índice de ignorancia
π¯A¯(x)
por:
π¯A¯(x)=[1−(μ¯A¯R(x)+v¯A¯R(x)), 1−(μ¯A¯L(x)+v¯A¯L(x)) ]
.
Definición 1: Sean
A¯={〈x,[μ¯A¯L(x),μ¯A¯R(x)], [v¯A¯L(x),v¯A¯R(x)]|x∈X〉}
y
B¯={〈x,[μ¯B¯L(x),μ¯B¯R(x)], [v¯B¯L(x),v¯B¯R(x)]|x∈X〉}
,
λ>0
,dos CDIVIs,entonces (Wan and Dong, 2015):
(1)
A¯⊆B¯↔μ¯A¯L(x)≤μ¯B¯L(x)
,
μ¯A¯R(x)≤μ¯B¯R(x)
,
v¯B¯L(x)≤v¯A¯L(x)
y
v¯B¯R(x)≤v¯A¯R(x)
.
(2)
A¯=B¯
si y solo si
A¯⊆B¯
y
B¯⊆A¯
(3)
A-+B-=x,μ-A-Lx+μ-B-Lx-μ-A-Lxμ-B-Lxμ-A-Rx+μ-B-Rx-μ-A-Rxμ-B-Rx, v-A-Lxv-B-Lx,v-A-Rxv-B-Rxx∈X
(4)
λA¯={〈x,[1−(1−μ¯A¯L(x))λ,1−(1−μ¯A¯R(x))λ], [v¯A¯L(x)λ,v¯A¯R(x)λ]|x∈X〉}
1.2. Formato incompleto de preferencias entre atributos
Dada la subjetividad del proceso de dar información sobre los atributos, normalmente no se otorgan valores precisos, sino que se establece esta información usando el formato incompleto de preferencias entre atributos (
I
)que consta de las restricciones siguientes (Chen and Li, 2011)(Wan and Dong, 2015)(D.F. Li, 2011)(Wan and Li, 2013):
Orden débilwi≥wj
(1)
Ranking con múltiploswi≥aij*wj con 1≥aij≥0
(2)
Orden fuertebij>wi−wj≥aij>0, 1≥bij,aij≥0
(3)
Valor de intervalobij≥wi≥aij,1≥bij,aij≥0
(4)
Ranking de diferenciaswi−wj≥wi′−wj′
(5)
1.3. Método de generación de pesos por minimización de la inconsistencia y maximización de la consistencia
Este método es propuesto en (Wan and Dong, 2015). A continuación, se explican los pasos del mismo.
Paso 1: Construcción de la matriz de decisiones.
Sea el conjunto de alternativas:
O={O1 , O2, …,Om}
, el conjunto de atributos es:
A={A1,A2, …,An}
y el conjunto de decisores es
E={e1,e2,…,eK}
. Luego, se consideran seis formatos de información para que cada decisor exprese los elementos de la matriz decisional. Estos formatos son: (
I1
)
→CDIVIs
:
r= 〈[μij−p,μij+p], [vij−p,vij+p]〉
, (
I2
)
→CDIs
:
r=〈μijp,vijp〉
, (
I3
)
→
Números difusos trapezoidales (
NDTRs
):
r=(aij1p,aij2p,aij3p,aij4p)
, (
I4
)
→
Números difusos triangulares
NDTs:r=(bij1p,bij2p,bij3p)
, (
I5
)
→
Intervalos
:r=[cij1p,cij2p]
y (
I6
)
→
números reales
r=dijp
. Cada decisor emplea alguno entre los formatos (
I1−I6
) según el nivel de conocimiento que posea o la comodidad que sienta al usarlos. Aquí
ij
se refiere a la evaluación de la alternativa
Oi
respecto a
Aj
y
p
se refiere a que es información dada por
ep.
Al representar cada valor en la matriz de decisiones por
yijp
, esta matriz puede expresarse como
Yp=(yijp)(mxn)
y luego se deben normalizar estas evaluaciones. Para llevar a cabo estas normalizaciones se pueden considerar las relaciones siguientes (Wang and Luo, 2010)(Wang and Parkan, 2006):
ri j=yij-yjminyjmax-yjmin para atributos de beneficio, o rij=yjmax-yijyjmax-yjmin
para atributos de costo. Luego, la matriz de decisiones original
Yp=(yijp)(mxn)
es cambiada a una normalizada
Rp=(rijp)(mxn)
.
Paso 2: Relaciones de preferencia subjetivas entre alternativas
Cuando existe información para hacerlo, el decisor
ep
debe establecer la relación de preferencia subjetiva entre las alternativas a partir de valores de
CDIVIs
de acuerdo a:
Ω˜p={〈(k,j), t˜p(k,j)〉ak≥paj}
. Aquí
t˜p(k,j)
es el valor
CDIVIs
que expresa la preferencia de la alternativa
ak
sobre la
aj
, favoreciendo a
ak
(dada por
ak≥paj
).
Paso 3: Evaluación de alternativas basadas en TOPSIS
Ya conocida la matriz
Rp=(rijp)(mxn)
, se procede a generar una alternativa ideal positiva (AIP)
r=(r1*,r2*,…,rn*)
y una alternativa ideal negativa (AIN)
r=(r*1,r*2,…,r*n)
. Los valores de
ri*
y
ri*
representan las mejores evaluaciones posibles de cada atributo según el formato de (
I1−I6
) en que se expresaron las evaluaciones de la matriz decisional para dicho atributo y pueden representarse de la siguiente manera:
ri*=μi*-,μi*+, vi*-,vi*+I∈I1μi*, vi*I∈I2ai1*,ai2*,ai3*,ai4*I∈I3bi1*,bi2*,bi3*I∈I4ci1*,ci2*I∈I5di*I∈I6
y
r*i=μ*i-,μ*i+, v*i-,v*i+I∈I1μ*i,v*iI∈I2a*i1,a*i2,a*i3,a*i4I∈I3b*i1,b*i2,b*i3I∈I4c*i1,c*i2I∈I5d*iI∈I6
Las distancias de una evaluación
rijp
de la matriz de decisiones normalizada a la evaluaciones ideal positiva e ideal negativa en
Ai
se determinan por
Sij*p
y
S*ijp
respectivamente. Para calcular
Sij*p
y
S*ijp
se combinan medidas de distancias asociadas a cada formato
Ik, k∈{1,2,3,4,5,6}
(ver (Wan and Dong, 2015)). Para valores reales, estas distancias se calculan respectivamente por
(dijp−di*)2
y
(dijp−d*i)2
.
Así, se considera el grado de proximidad relativa de
rijp
respecto a
ri*
por
βijp=S*ijp/(S*ijp+Sij*p)
. Además, la evaluación global de la alternativa
Oi
se calcula por
Dip=∑j=1nwjβijp
, donde
wj
es el peso de
Aj
y a mayor
Dip
, mejor evaluación recibe
Oi
.
Paso 4: Índices de inconsistencia y consistencia. Modelo de optimización.
Suponiendo que las preferencias subjetivas del decisor dadas por
t˜p(k,j)
y la expresión
Dip
constituyen evaluaciones confiables sobre las alternativas, es necesario que exista una compatibilidad alta entre ellas. Para verificar lo anterior se definen los índices de inconsistencia y consistencia para el par
(Ok,Oj)
respectivamente por Ecuación 1 y Ecuación 3:
Definición 2 (Índice de inconsistencia):
E~kjp=t~pk,jDjp-Dkp, si Dkp<Djp0, si Dkp≥Djp
(1)
Ya que
t˜p(k,j)
se estableció para cuando
Ok≥Oj
, si
Dkp<Djp
significa que
Oj≻Ok
por lo que no hay correspondencia entre ambos tipos de evaluación, teniendo sentido un coeficiente positivo de inconsistencia. Además, como
E˜kjp=t˜p(k,j)max{0,Djp−Dkp}
, se define el índice general de inconsistencia por ecuación 2:
E˜=∑p=1K∑(k,j)∈Ω˜pE˜kjp=∑p=1K∑(k,j)∈Ω˜p[t˜p(k, j)max{0,Djp−Dkp}]
(2)
Definición 3 (Índice de consistencia):
F~kjp=t~pk,jDkp-Djp, si Dkp≥Djp0, si Dkp<Djp
(3)
En este caso,
t˜p(k,j)
indica que
Ok≥Oj
, por lo que si
Dkp≥Djp
, tiene sentido un índice positivo de consistencia. Si
Dkp<Djp
, tiene sentido el 0.Como
F˜kjp=t˜p(k,j)max{0,Dkp−Djp}
, se define el índice general de consistencia por ecuación 4:
F˜=∑p=1K∑(k,j)∈Ω˜pF˜kjp=∑p=1K∑(k,j)∈Ω˜p[t˜p(k, j)max{0,Dkp−Djp}]
(4)
Para ponderar los atributos se propone el siguiente modelo de optimización Ecuación 5:
Min{E˜}/Max{F˜}, s.t: w∈I
(5)
Como en
E˜
y
F˜
aparecen implícitos problemas de optimización, y que se persiguen dos objetivos a la vez, este modelo se cambia a otro de programación por metas ponderadas. Al no ser el objetivo de este trabajo indagar en especificaciones relativas a lo anterior, se sugiere al lector ver detalles en (Wan and Dong, 2015).
1.4. Análisis crítico del método de generación de pesos por minimización de la inconsistencia y maximización de la consistencia
La idea de generar un conjunto pesos que posibilite una mayor compatibilidad entre las evaluaciones de las alternativas dadas por las relaciones subjetivas del decisor (
t˜p(k,j)
) y la expresión de cálculo de
Djp
es bastante objetiva. Es decir, si se acepta que
t˜p(k,j)
y
Djp
son confiables, entonces los pesos implicados en el cálculo de
Djp
deben permitir que dicha expresión sea compatible con los valores de
t˜p(k,j)
.
Al considerar el índice de inconsistencia, tenga en cuenta que su valor está expresado en términos de
CDIVIs
y note que la desigualdad
Dkp<Djp
es compatible con que se cumpla que
Ok≺Oj
y esto a su vez es incompatible con el valor de
t˜p(k,j)
, que implica que
Ok≥Oj
. Luego, a mayor valor de
(Djp−Dkp)
, más se refuerza la incompatibilidad entre los valores de
t˜p(k,j)
y los pares de evaluaciones (
Djp,Dkp
).
Con lo anterior, queda claro que
E˜kjp
representa la incompatibilidad entre los valores de
t˜p(k,j)
y las evaluaciones
Dip,(i∈{j,k})
objetivamente.
Note en cambio que
F˜kjp
, una vez establecida la relación subjetiva
t˜p(k,j)
, crece cuanto mayor se haga la diferencia
(Dkp−Djp)
, siempre y cuando esta sea positiva. Sucede que lo anterior no resulta un criterio suficientemente sólido de consistencia. Es decir, una vez establecida la relación
t˜p(k,j)
, tiene sentido que se considere la existencia de consistencia si
Dkp≥Djp
, pero no necesariamente se da una mayor compatibilidad por que aumente la diferencia
Dkp−Djp
. Tenga en cuenta que es posible que un valor de
t˜p(k,j)
favorezca mínimamente a
Ok
sobre
Oj
, por lo que si un determinado conjunto de pesos
wi1, i∈{1,2,…,n}
genera una diferencia
d1
bastante alta entre
Dkp
y
Djp(Dkp−Djp=d1>0)
, mientras que otro conjunto de pesos
wi2, i∈{1,2,…,n}
genera una diferencia ligeramente superior de
Dkp
respecto a
Djp(Dkp−Djp=d2>0)
, se tendría que
F˜kj1p=t˜p(k,j)*d1>F˜kj2p=t˜p(k,j)*d2
. De esta forma,
F˜kjp
favorece al primer conjunto de pesos
(wi1)
sobre el segundo
(wi2)
a pesar de que de los dos es
wi2
el que se corresponde en mayor medida con una superioridad mínimade
Ok
sobre
Oj
como indica
t˜p(k,j)
. Lo anterior se ejemplificará y analizará en el siguiente caso de estudio.
Caso de estudio:
Supóngase, para simplificar, que un problema decisional consta de un solo decisor y que este establecerá los valores de la matriz de decisiones concernientes a cada atributo en el formato
I6
, es decir, valores reales. Considere la escala (cero-uno) para otorgar dichos valores. Considere también que todos los atributos son de beneficio. En este contexto, la matriz decisional dada es mostrada en la Tabla 1 y las relaciones subjetivas de preferencia entre las alternativas (
t˜p(k,j)
) establecidas por el decisor se muestran en la Tabla 2.
Tabla 1 Matriz de decisiones de tres alternativas y tres atributos perteneciente al caso de estudio
|
A1
|
A2
|
A3
|
O1
|
0,8 |
0,2 |
0,5 |
O2
|
0,2 |
0,5 |
0,7 |
O3
|
0,2 |
0,9 |
0,2 |
Tabla 2 Relaciones de preferencia subjetivas entre las alternativas para el caso de estudio
|
μ−
|
μ+
|
v−
|
v+
|
t˜1(1,2)
|
0,45 |
0,50 |
0,35 |
0,40 |
t˜1(1,3)
|
0,45 |
0,50 |
0,35 |
0,40 |
t˜1(2,3)
|
0,45 |
0,50 |
0,45 |
0,50 |
Como se puede apreciar, la percepción que tiene el decisor sobre el valor que tienen para él las alternativas es que
O1
es moderadamente superior respecto a
O2
y a
O3
. Además, considera que los valores que tienen
O2
y
O3
son aproximadamente iguales.
Al analizar los valores en la Tabla 3 puede apreciarse que el primer conjunto de pesos (
w1=0,40, w2=0,35, w3=0,25
) genera evaluaciones de las alternativas (
Di
) que están muy en correspondencia con la información subjetiva del decisor. Por otro lado, el segundo conjunto de pesos (
w1=0,80, w2=0,10, w3=0,10
) genera evaluaciones que indican una diferencia muy alta de
O1
sobre
O2
y
O3
lo cual no se corresponde con la información subjetiva brindada por el decisor. Acorde a las evaluaciones (
Di
) generadas, el primer conjunto de pesos logra claramente una mayor compatibilidad con la información subjetiva que se tiene del decisor respecto al segundo conjunto de pesos. Sin embargo, es el segundo conjunto de pesos el que genera un mayor índice general de consistencia, lo que demuestra la falta de objetividad del formato de cálculo de consistencia como se quería demostrar. Note que para ambos conjuntos de pesos el índice de inconsistencia es 0, por lo que en estos casos solo influye la consistencia
Tabla 3 Incompatibilidad entre las evaluaciones de las alternativas y los índices generales de consistencia (
F˜
) generados por dos conjuntos de pesos en el caso de estudio
w1|w2| w3
|
D1
|
D2
|
D3
|
(F˜)=〈[μ−, μ+],[v−, v+]〉
|
0,40| 0,35| 0,25
|
0,52
|
0,41
|
0,38
|
〈[0,15, 0.17], [0,75, 0,78]〉
|
0,80| 0,10| 0,10
|
0,81
|
0,18
|
0,15
|
〈[0,54, 0.60], [0,25, 0,30]〉
|
III. RESULTADOS
1.5. Propuesta de un modelo alternativo al método de generación de pesos por minimización de la inconsistencia y maximización de la consistencia
Se parte de considerar que las evaluaciones
Dkp
y
Djp
sobre las alternativas
Ok
y
Oj
respectivamente pueden transformarse en un valor
CDI
por:
t˜p'(k,j)=〈μ1,v1〉=〈DkpDkp+Djp,DjpDkp+Djp〉
(6)
Las relaciones subjetivas de preferencias expresadas con
CDIVIs
entre
Ok
y
Oj
dadas por el decisor
ep
(
t˜p(k,j)=〈[μkj−p,μkj+p], [vkj−p,vkj+p]〉
) pueden ser transformadas en
CDIs
de acuerdo a la expresión:
t˜p''(k,j)=〈μ2,v2〉=〈[(1−c1p)μkj−p+c1pμkj+p], [(1−c2p)vkj−p+c2pvkj+p]〉
(7)
Aquí,
c1p
es un coeficiente de confianza interno asociado al límite superior del intervalo de pertenencia que debe establecer el decisor tal que
0≤c1p≤1
. Si
c1p>0,5
el decisor siente mayor confianza hacia el valor de
μkj+p
respecto al valor de
μkj−p
. Si
c1p<0,5
el decisor siente mayor confianza hacia el valor de
μkj−p
respecto al valor de
μkj+p
, mientras que si
c1p=0,5
el decisor siente igual confianza por
μkj−p
y
μkj+p
.
De forma análoga ocurre con el coeficiente de confianza interno asociado al límite superior del intervalo de no pertenencia (
c2p
). Es decir,
0≤c2p≤1
y si
c2p>0,5
el decisor siente mayor confianza hacia el valor de
vkj+p
respecto al valor de
vkj−p
. Si
c2p<0.5
el decisor siente mayor confianza hacia el valor de
vkj−p
respecto al valor de
μkj+p
, mientras que si
c2p=0,5
el decisor siente igual confianza por
vkj−p
y
vkj+p
.
Así, la distancia de Minkowski tradicional puede ser usada como medidor de distancia entre los números difusos intuicionistas
t˜p'(k,j)
y
t˜p''(k,j)
por Ecuación 8:
dq[t˜p'(k,j),t˜p''(k,j)]=(|μ2−μ1|q+|v2−v1|q+|π2−π1|q)1q
(8)
En base a Ecuación 8, se define el índice de inconsistencia generalizado de orden
q
por Ecuación 9:
IIGq=∑p=1K∑Ok,Oj∈Ω˜pdq[t˜p'(k,j),t˜p''(k,j)]
(9)
En base a
IIGq
, se propone el modelo de optimización (Ecuación 10) para ponderar los atributos:
minIIGq=∑p=1K∑Ok,Oj∈Ω˜pdq[t˜p'(k,j),t˜p''(k,j)], s.t:w∈I
(10)
Para generalizar este modelo, es interesante considerar el nivel de confianza que siente el decisor hacia las relaciones subjetivas (
t˜p(k,j)
) que dio. Es decir, partiendo de que este generalmente no va otorgar valores de
t˜p(k,j)
para todos los pares de alternativas, es posible que algunas de las alternativas respecto a las que sí da información posean características en sus atributos que estén sujetos a una incertidumbre más fuerte respecto a otras alternativas. Un ejemplo de esto puede darse si se considera que entre varios planes de inversión (alternativas) que se están proponiendo para hacer determinadas reformas en una empresa, se está teniendo en cuenta el atributo: “ganancias esperadas en un periodo de tiempo (
t
)”. Aquí, es posible que las ganancias esperadas para algunos de los planes de inversión estén sujetas a ciertas variables no controladas totalmente y por tanto dar información concerniente a tales alternativas es más incierto que dar información sobre otras alternativas con características menos inciertas.
Si se considera un coeficiente de confianza externo
wk,jp
como medida de la confianza que se tiene hacia cada valor
t˜p(k,j)
establecido, tal que
0≤wk,jp≤1
y mayores valores de
wk,jp
significan que el decisor se siente más seguro del valor
t˜p(k,j)
dado, puede definirse el índice de inconsistencia generalizado ponderado de orden
q
por ecuación 11:
IIGPq=∑p=1K∑Ok,Oj∈Ω˜pwk,jpdq[t˜p'(k,j),t˜p''(k,j)]
(11)
La generalización del modelo establecido en Ecuación 10 está dado por ecuación 12:
minIIGPq=∑p=1K∑Ok,Oj∈Ω˜pwk,jpdq[t˜p'(k,j),t˜p''(k,j)], s.t:w∈I
(12)
El anterior modelo se denominará: modelo de ponderación basado en el índice de inconsistencia generalizado ponderado de orden
q
con
CDIs
.
1.6. Ejemplo ilustrativo
Suponga que una compañía
C
se dedica a la fabricación y venta de paneles solares. Suponga además que su producto a perdido espacio en el mercado internacional en los últimos tiempos y que se ha decidido, por tanto, desarrollar un nuevo proyecto para fabricar nuevos paneles solares con el objetivo de que logren una mayor competitividad internacional. Para comenzar el análisis, se recopilaron datos de cinco de los paneles solares más exitosos en el mercado (
P1,P2,P3,P4P5
) asociados a algunas de las variables que se consideran que mejor pueden explicar el éxito de los mismos. Los datos se muestran en la Tabla 4.
Tabla 4 Datos que se obtienen de los atributos de algunos paneles solares de más éxito
Paneles exitosos |
Potencia (Watt) |
Eficiencia % |
Tiempo de vida esperado (años) |
Superficie
m2
|
Costo (
€
) |
Porcentaje de ventas anuales |
P1
|
380 |
23 |
8 |
1.55 |
150 |
55-60 |
P2
|
330 |
22 |
10 |
2.00 |
140 |
50-60 |
P3
|
300 |
16 |
10 |
2.10 |
100 |
45-55 |
P4
|
400 |
20 |
6 |
1.40 |
170 |
35-40 |
P5
|
350 |
18 |
12 |
1.55 |
140 |
25-40 |
Se asumirá que solo un decisor se encargará de dar la información para simplificar el ejemplo.
Paso 1: Construcción de la matriz de decisiones.
En este caso, para simplificar supondremos que los valores fueron dados con números reales (
I6
). Además, las alternativas serían (
P1,P2,P3,P4P5
), sin embargo, se considerarán como atributos de decisión todos los que representan las columnas de la Tabla 4 salvo el porcentaje de ventas anuales y la explicación a esto será dada en el paso 2. Entonces, la matriz normalizada
Rp=(rijp)(mxn)
queda conformada como muestra la Tabla 5:
Tabla 5 Normalización de los valores de la Tabla 4
Paneles exitosos |
Potencia (Watt) |
Eficiencia % |
Tiempo de vida esperado (años) |
Superficie
m2
|
Costo (
€
) |
P1
|
0.80 |
1.00 |
0.33 |
0.25 |
0.29 |
P2
|
0.30 |
0.86 |
0.67 |
1.00 |
0.43 |
P3
|
0.00 |
0.00 |
0.67 |
1.17 |
1.00 |
P4
|
1.00 |
0.57 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
P5
|
0.50 |
0.29 |
1.00 |
0.25 |
0.43 |
Paso 2: Relaciones de preferencia subjetivas entre alternativas
En este paso los decisores establecen
CDIVIs
para comparar los pares de alternativas de acuerdo a:
Ω˜p={〈(k,j), t˜p(k,j)〉ak≥paj}
. Sin embargo, la información así dada, es completamente intuitiva, aunque acorde a las características reales de las alternativas. Pero en el planteamiento del problema, hay una variable que puede ser más confiableque la intuición de los decisores, por la medida en que tributa dicha variable al objetivo que se persigue en el problema. Se trata del porcentaje de ventas anuales.
Note que el objetivo principal que se persigue en el problema es lograr un producto de mayor competencia en el mercado internacional. Por tanto, al margen de lo que piensen los decisores de cuáles serían los mejores paneles solares (alternativas), el porcentaje de ventas anuales es la manifestación directa del éxito en la venta de los paneles. De esta forma, cuando el decisor vaya a establecer los
CDIVIs
asociados a las comparaciones pareadas entre alternativas, lo lógico sería que la razón entre los grados de membresía y no membresía de los
CDIVIs
dados, sean similares a la razón entre los porcentaje de ventas anuales de los paneles que se comparan. El índice de ignorancia
πA(x)
, debe ser mayor, cuanto mayores sean los rangos en los que se dan los valores de los porcentaje de ventas anuales de los paneles que se comparan, pues rangos más amplios significan (mayor imprecisión y desconocimiento. Teniendo en cuenta todo lo anterior, son dados los valore de
t˜p(k,j)
por parte del decisor y estos son mostrados en la Tabla 6.
Tabla 6 Relaciones de preferencia subjetivas entre alternativas dadas por el decisor (
t˜p(k,j)
)
|
P1
|
P2
|
P3
|
P4
|
P5
|
P1
|
… |
〈[0.43, 0.48], [0,38, 0.48]〉
|
〈[0.47, 0.52], [0,30, 0.40]〉
|
〈[0.50, 0.55], [0,20, 0.35]〉
|
〈[0.50, 0.55], [0,20, 0.30]〉
|
P2
|
|
… |
〈[0.40, 0.50], [0.30, 0.40]〉
|
〈[0.42, 0.52], [0.33, 0.38]〉
|
〈〈[0.43, 0.53], [0,20, 0.35]〉〉
|
P3
|
|
|
… |
〈〈[0.40, 0.50],[0.35, 040]〉〉
|
〈〈[0.40, 0.50], [0,20, 0.35]〉〉
|
P4
|
|
|
|
… |
〈〈[0.40, 0.45], [0.30, 0.45]〉〉
|
P5
|
|
|
|
|
… |
Note que las alternativas fueron dispuestas de forma que los elementos de la diagonal superior tengan sentido. Es decir, que el valor
t˜p(k,j)
satisfice que la superioridad de
Pk
sobre
Pj
.Por tal motivo, no tiene sentido otorgar valores a ningún elemento de la diagonal inferior.
Paso 3: Evaluación de alternativas basadas en TOPSIS
Tabla 7 Grados de proximidad relativa de
rijp
respecto a
ri*
Paneles exitosos |
Potencia (Watt) |
Eficiencia % |
Tiempo de vida esperado (años) |
Superficie
m2
|
Costo (
€
) |
P1
|
β11p=0.94
|
β12p=1.00
|
β13p=0.20
|
β14p=0.10
|
β15p=0.14
|
P2
|
β21p=0.16
|
β22p=0.97
|
β23p=0.80
|
β24p=1.00
|
β25p=0.36
|
P3
|
β31p=0.00
|
β32p=0.00
|
β33p=0.80
|
β34p=0.98
|
β35p=1.00
|
P4
|
β41p=1.00
|
β42p=0.64
|
β43p=0.00
|
β44p=0.00
|
β45p=0.00
|
P5
|
β51p=0.50
|
β52p=0.14
|
β53p=1.00
|
β54p=0.10
|
β55p=0.36
|
Luego, la evaluación global de la alternativa
Oi
se considera que se pude calcular por
Dip=∑j=1nwjβijp
, donde
wj
es el peso de
Aj
y a mayor
Dip
, mejor evaluación recibe
Oi
.
Paso 4: Nuevo modelo de optimización
Aquí, se deben transformar los
CDIVIs
dados en la Tabla 6 en
CDIs
usando la Ecuación 7 a partir de los coeficientes de confianza internos
c1p
y
c2p
. Se asumirá, para simplificar, que para todos los valores de
t˜p(k,j)
disponibles se otorgaron los valores
c1p=c2p=0.5
. Con esto, los valores de
t˜p''(k,j)
quedan como se muestra en la Tabla 8.
Tabla 8 Transformación de los
CDIVIs
dados en la Tabla 6 en
CDIs
de acuerdo a Ecuación 7
|
P1
|
P2
|
P3
|
P4
|
P5
|
P1
|
… |
〈[0.46], [0.43]〉 (t˜p''(1,2))
|
〈[0.50], [0.35]〉 (t˜p''(1,3))
|
〈[0.53], [0.28]〉 (t˜p''(1,4))
|
〈[0.53], [0,25]〉(t˜p''(1,5))
|
P2
|
|
... |
〈[0.45], [0.35]〉(t˜p''(2,3))
|
〈[0.47], [0.36]〉(t˜p''(2,4))
|
〈〈[0.48], [0.28]〉〉(t˜p''(2,5))
|
P3
|
|
|
… |
〈[0.45], [0.38]〉(t˜p''(3,4))
|
〈〈[0.45], [0.28]〉〉(t˜p''(3,5))
|
P4
|
|
|
|
… |
〈〈[0.43], [0.38]〉〉(t˜p''(4,5))
|
P5
|
|
|
|
|
… |
Además, deben ser dados los coeficientes de confianza externos
wk,jp
asociados a los valores de (
t˜p(k,j)
) que estableció el decisor. Se supondrá que
wk,jp=1 ∀k,j∈{Ω˜p}
. El modelode la Ecuación 12, para
q=1
quedaría de la siguiente manera:
minIIGPq
=0.46-D1pD1p+D2p1+0.43-D2pD1p+D2p1+0.1111+0.50-D1pD1p+D3p1+0.35-D3pD1p+D3p1+0.1511
+0.53-D1pD1p+D4p1+0.28-D4pD1p+D4p1+0.1911+0.53-D1pD1p+D5p1+0.25-D5pD1p+D5p1+0.2211
+0.45-D2pD2p+D3p1+0.35-D3pD2p+D3p1+0.2011+0.47-D2pD2p+D4p1+0.36-D4pD2p+D4p1+0.1711
+0.48-D2pD2p+D5p1+0.28-D5pD2p+D5p1+0.2411+0.45-D3pD3p+D4p1+0.38-D4pD3p+D4p1+0.1711
+0.45-D3pD3p+D5p1+0.28-D5pD3p+D5p1+0.2711+0.43-D4pD4p+D5p1+0.38-D5pD4p+D5p1+0.1911
s.t:1≥wi≥0 ∀i∈{1,2,…,n}, ∑i=1nwi=1
Note que se asume que la información incompleta no está disponible. El vector solución para los pesos calculado por los modelos nuevo y original fueron obtenidos con ayuda del software libre Wolfram Mathematica 8 y se muestran en la Tabla 9:
Tabla 9 Pesos de los atributos obtenidos a partir del nuevo modelo propuesto y del modelo original
|
w(Potencia)
|
w(Eficiencia)
|
w(Tiempo)
|
w(Superficie)
|
w(Costo)
|
Pesos modelo nuevo |
0.1427
|
0.4412
|
0.0510
|
0.0190
|
0.3470
|
Pesos modelo original |
0.4805
|
0.000
|
0.1726
|
0.2199
|
0.1270
|
Según los valores de la tabla 10, con el modelo original se sugiere concentrar la inversión para desarrollar el nuevo producto en lograr altos índices de potencia, aunque sin despreciar, el logro de valores elevados en la superficie y el tiempo de vida facilitando además costos moderados. Por otro lado, el modelo nuevo sugiere concentrar la inversión en lograr altos índices de eficiencia y le atribuye una gran relevancia a la moderación de los precios. No se desprecia el logro de altos valores de potencia, mientras que se le presta mucha menor atención a la superficie o al tiempo de vida esperado de los paneles solares.
Para comparar la eficacia de los conjuntos de pesos generados por ambos métodos, se muestra en la Tabla 10 los porcentajes de ventas anuales (representaciones directas de los éxitos de ventas) y las correspondientes evaluaciones funcionales de cada panel
Tabla 10 Comparación entre evaluaciones funcionales del modelo nuevo y el original respecto a los porcentajes de venta anuales
|
P1
|
P2
|
P3
|
P4
|
P5
|
Evaluación para el modelo nuevo |
0.6357
|
0.6361
|
0.4064
|
0.4250
|
0.3100
|
Evaluación para el modelo original |
0.5263
|
0.4783
|
0.4806
|
0.4805
|
0.4806
|
Porcentajes de ventas anuales |
55−60
|
50−60
|
45−55
|
35−40
|
25−40
|
Se puede apreciar que al comparar las evaluaciones funcionales generadas por el modelo nuevo con los porcentajes de ventas anuales hay un error mínimo dado por una ínfima superioridad en la evaluación de
P2
sobre la de
P1
(cuando debería ser una ligera superioridad en sentido contrario). Algo similar ocurre en relación a las evaluaciones funcionales de
P3
y
P4
. Sin embargo, en general se puede apreciar cómo las evaluaciones funcionales van en descenso desde
P1
hasta
P5
con una tendencia y proporcionalidad similar a la de los porcentajes de ventas anuales. Para mayor visibilidad de este comportamiento puede separase las evaluaciones en tres conjuntos. El primero dado por:
P1
y
P2
, cuyas evaluaciones superarían a las del segundo conjunto:
P3
y
P4
que a su vez sería superior al tercer conjunto:
P5
.
Por otro lado, de las evaluaciones generadas por el modelo original solo se puede apreciar un comportamiento notablemente consistente con los porcentajes de ventas, en el hecho de la superioridad de
P1
sobre el resto de evaluaciones. Sin embargo, todas las demás evaluaciones son demasiado similares, a tal punto que a partir de ellas no se puede establecer con confianza un orden de jerarquía bien definido entre los distintos paneles, situación que no se corresponde con la realidad del problema planteado.
En base a lo anterior, puede apreciarse que los pesos generados por el modelo propuesto logran una mayor compatibilidad entre la evaluación funcional de las alternativas y la intuitiva respecto al modelo original en este caso analizado.
IV. DISCUSIÓN
El nuevo modelo propuesto presenta varias diferencias importantes con el modelo propuesto por (Wan and Dong, 2015) que le atribuyen mayor objetividad y un mayor alcance respecto a este. Estas diferencias son enumeradas y explicadas a continuación:
1-El valor de
IIGq
puede explicar mejor que el par(
E˜kjp,F˜kjp
)la existencia o no de compatibilidad entre las relaciones
2-
t˜p(k,j)
.
3-Lo anterior se logra a partir de los subjetivas sobre los pares de alternativas
t˜p(k,j)
y las evaluaciones
Dip,(i∈{j,k})
.
Esto se debe a que cuanto mayor sean los valores de
IIGq
, mayor serán las diferencias entre las relaciones subjetivas
t˜p(k,j)
y lo que se espera de los pares de evaluaciones
Djp
y
Dkp
y viceversa. Así, grandes valores de
IIGq
indican poca compatibilidad mientras que pequeños valores de
IIGq
indican alta compatibilidad. Lo anterior no puede ser garantizado por el coeficiente
F˜kjp
del modelo propuesto en (Wan and Dong, 2015) como se dedujo analíticamente y ejemplificó en la sección 3.1.
Se asimila la mayor o menor afinidad de los decisores hacia los limites inferior y superior de los grados de pertenencia de los valores coeficientes de confianza interno
c1p
y
c2p
dados por él.
4-Se modela la incertidumbre del decisor hacia los valores
t˜p(k,j)
que otorgó usando el coeficiente de confianza externo.
Aun cuando los
CDIVIs
, de por sí solos, se utilizan para captar la incertidumbre del decisor, es posible que este sienta mayor seguridad respecto a algunos de ellos sobre otros. Lo anterior puede ser modelado a partir de los valores
wk,jp
y no es tenido en cuenta en modelo que lo precede.
Se sugiere que el nuevo modelo propuesto sea usado en aplicaciones a la solución de problemas de toma de decisiones. Específicamente, la utilidad se evidencia cuando se requiera cuantificar la importancia de las variables de decisión que están inmersas en un problema. Esto puede ser muy útil en la planificación de proyectos de inversión, pues este debe enfocarse en aquellas variables de mayor relevancia. Se exhorta a la investigación de trabajos que permitan una comparación del modelo propuesto con otros afines, para contrastar la eficiencia de las soluciones que se Genera.
En relación a la anterior con ineficacia, en determinados casos, del formato de cálculo para el índice de consistencia
F˜kjp
asociado al método de ponderación de atributos por minimización de la inconsistencia y maximización de la consistencia se sugiere una investigación más profunda. Donde se pueda determinar umbrales a partir de los cuales deba considerarse no confiable la magnitud de las diferencias que se generen entre las evaluaciones subjetivas dadas por los decisores y las evaluaciones funcionales.