INTRODUCCIÓN
El rápido desarrollo que han experimentado los LEDs como nuevas fuentes de iluminación desde su surgimiento en la década de 1960, ha permitido que, de ser simplemente indicadores luminosos, pasen a ser habitualmente empleados en los sistemas de iluminación. Esto ha sido posible porque las últimas generaciones de LEDs, en relación a las tecnologías tradicionales de iluminación, ofrecen una variedad de ventajas, como alta luminosidad [1], eficacias típicas aproximadamente cinco veces mejores, tiempo de vida superior a 50 mil horas, encendido instantáneo, dimensiones reducidas [2], mayor resistencia a las vibraciones y bajo costo de trabajos de mantenimiento [3], entre otras.
Por las razones anteriormente expuestas, el empleo de LEDs en los sistemas de iluminación ha mantenido una tendencia de crecimiento en los últimos años. Según reporte del Departamento de Energía de Estados Unidos, se espera que esta tecnología abarque el 72% del mercado de la iluminación general para el 2025 y el 84% para el 2030 [4].
Con el incremento del uso de los LEDs en los sistemas de iluminación, la predicción de la confiabilidad de estos, constituye un tema de vital importancia y un desafío para la comunidad científica internacional; pues los mecanismos y modos de fallas son muy complejos en estos dispositivos, y los métodos tradicionales, frecuentemente usados para detectar fallas en las fuentes tradicionales de iluminación, no pueden ser aplicados a los LEDs, debido a que estos se degradan continuamente [5]; es decir, los valores de los indicadores de desempeño (flujo luminoso, coordenadas de color, entre otros) varían eventualmente hasta alcanzar niveles que constituyen fallas. Además, debido a la permanente introducción de nuevos procesos y materiales en la industria de la iluminación basada en LEDs, modos de fallas desconocidos están apareciendo [6], por lo que los métodos para la predicción de la confiabilidad de los LEDs se ha convertido en uno de los temas claves de investigación en el campo de la Iluminación de Estado Sólido.
En la confiabilidad de los LEDs, con la excepción de algunos posibles fallos catastróficos, los modos de fallas más importantes son la degradación del flujo luminoso y el cambio de color [7-10]. La Alianza para Sistemas y Tecnologías de Iluminación de Estado Sólido (ASSIST, por sus siglas en inglés) define dos tipos de vida útil según el flujo luminoso, en condiciones específicas: uno es el tiempo de vida
Para la evaluación de la confiabilidad de nuevos productos en la industria de la energía, los ensayos de vida continúan siendo un método muy empleado; sin embargo, en el caso de los LEDs, debido a su largo tiempo de vida, dichas pruebas en condiciones normales de funcionamiento durarían mucho tiempo. Con el propósito de disminuir los tiempos de las pruebas para investigar la confiabilidad, se utilizan técnicas de ensayos de degradación acelerada. Entre los distintos parámetros que afectan el tiempo de vida de un LED o un producto cuyos componentes son LEDs, los más significativos son la temperatura y la corriente a través del LED [13], por lo que uno de los factores de aceleración de la degradación que más se usan en las pruebas de degradación acelerada es la temperatura.
Para analizar los datos que se obtienen en los ensayos de degradación acelerada, y por consiguiente para realizar el estudio de la confiabilidad, actualmente, tanto en la industria como en la investigación, se emplean varios métodos y varias distribuciones tradicionales de probabilidad, como la distribución Normal, la distribución Log-normal, la Exponencial y la distribución de Weibull, siendo esta última la de mayor aceptación debido a su fácil interpretación y versatilidad. La distribución de Weibull, además, es la más empleada en el campo de la confiabilidad dado que su función de tasa de fallas se ajusta a las tres fases de la curva de “la bañera”, pero en ocasiones, como en el caso de los LEDs que se degradan continuamente y donde los modos y mecanismos de falla son muy complejos, esta distribución (Weibull) podría no comportarse con la misma eficacia que en otros sistemas. Justamente en los últimos años, con el propósito de que se puedan realizar análisis de confiabilidad con mejores resultados que con las distribuciones tradicionales, en la literatura científica se han reportado trabajos con nuevos modelos de distribuciones no tradicionales [14-19], los cuales en la mayoría de los casos son modificaciones a la distribución de Weibull y en otros, son la combinación y adición de dos o más distribuciones tradicionales, que producen nuevos modelos mixtos.
Precisamente, atendiendo a los planteamientos anteriores y a la paulatina introducción en Cuba de sistemas de iluminación basados en LEDs, y con el objetivo de ofrecer una línea de trabajo, información base y otras alternativas para el análisis y evaluación de la confiabilidad de LEDs empleados en iluminación, este trabajo muestra el procedimiento para la obtención de modelos de confiabilidad de LEDs blancos empleados en iluminación, a partir de distribuciones de probabilidad no tradicionales de “tiempos hasta el fallo” obtenidos, según criterio
MATERIALES Y MÉTODOS
Distribuciones de probabilidad no tradicionales para la evaluación de confiabilidad
Entre las más importantes distribuciones no tradicionales que se usan para evaluar la confiabilidad, cuya función de tasa de fallas se adapta a dos o más fases de la curva de la bañera, se encuentran tanto las obtenidas de modificaciones realizadas a la distribución de Weibull [14], como las distribuciones Modificada de Weibull [15], Generalizada de Weibull [16] y Weibull Transmutada Modificada [17], y las propuestas por algunos autores a partir de la combinación de dos o más distribuciones tradicionales como las distribuciones Weibull-Exponencial [18] y Weibull-Exponencial Generalizada [19].
En el presente trabajo, para obtener los modelos de confiabilidad de LEDs blancos utilizados en iluminación, se emplean dos de estas distribuciones: la distribución Modificada de Weibull (MWD, por sus siglas en inglés) y la distribución Weibull-Exponencial Generalizada (WGED, por sus siglas en inglés), cuyas características fundamentales se abordan a continuación.
Distribución Modificada de Weibull (MWD)
Al analizar datos de tiempo de vida, con frecuencia se emplean las distribuciones de tasa de falla lineal LFRD (α, β) [20], (por sus siglas en inglés), exponencial ED (α) [21], de Rayleigh RD (β) [22], o la de Weibull de dos parámetros WD (β,γ). Estas distribuciones habitualmente muestran una gama de propiedades de fácil adaptación, gran flexibilidad y disímiles interpretaciones físicas. La distribución modificada de Weibull, generaliza el resto de las variantes mencionadas anteriormente. Sus parámetros pueden ser obtenidos por el método de estimación de máxima verosimilitud (MLE, por sus siglas en inglés) [20]. Para ciertos conjuntos de datos reales la distribución MWD puede proporcionar un mejor ajuste que algunas distribuciones tradicionales [15].
La Distribución Modificada de Weibull depende de tres parámetros (α, β, γ), se denota como MWD (α, β, γ) y tiene una función de densidad de probabilidad f(x; α, β, γ) decreciente o unimodal. Puede tener incrementos (según el valor de α) y puede tener una función de tasa de falla decreciente y contante [15].
La función de densidad de probabilidad de MWD (α, β, γ) se muestra en la ecuación (1), [15]:
Por lo que la función de distribución es la ecuación (2):
Donde
Otras medidas de la confiabilidad para la MWD (α, β, γ) como la tasa de falla, la confiabilidad, y el “tiempo medio hasta el fallo” (MTTF, por sus siglas en inglés), son las ecuaciones (3, 4, 5) respectivamente:
Por otra parte, resulta importante comentar, que las estimaciones de los parámetros desconocidos α, β y γ de la MWD (α,β,γ) se pueden obtener mediante el método de estimación de máxima verosimilitud (MLE, por sus siglas en inglés), uno de los más usados en las distribuciones no tradicionales de probabilidad, y en el cual se emplea la función de log-verosimilitud, representada en la ecuación (6)
También resulta necesario, aproximar las estimaciones utilizando intervalos de confianza para estos parámetros, pues las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros desconocidos no pueden obtenerse de forma cerrada, lo cual implica que no es posible obtener distribuciones exactas de estos parámetros. Entonces, es preciso emplear la matriz de varianza- covarianza asintótica
La matriz de varianza-covarianza se puede aproximar a la ecuación (7):
Como la matriz
Donde
Luego, empleando la ecuación (8) y con una aproximación de
Donde
Distribución de Weibull-Exponencial Generalizada (WGED)
La función de densidad de probabilidad de la WGED con X como variable y parámetros a, b, λ (se denota por X~WGED (a, b, λ)) se muestra en la ecuación (10), [19]:
Por lo que la función de distribución es la ecuación (11):
Donde
Otras medidas de la confiabilidad para una WGED (a, b, λ), como la tasa de falla, la confiabilidad y el MTTF, son las ecuaciones (12, 13, 14), respectivamente:
Por otra parte, resulta importante comentar, que las estimaciones de los parámetros desconocidos de a, b y λ, de la distribución WGED (a, b, λ) se pueden obtener mediante el método de MLE, en el cual se emplea la función de log-verosimilitud, representada en la ecuación (15):
También resulta necesario, aproximar las estimaciones utilizando intervalos de confianza para estos parámetros, pues las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros desconocidos no pueden obtenerse de forma cerrada, lo cual implica que no es posible adquirir distribuciones exactas de estas cantidades. Entonces, es preciso emplear la matriz de varianza- covarianza asintótica
Empleando la ecuación (16) y con una aproximación de 100(1-θ)%, los intervalos de confianza para a, b y λ se determinan respectivamente por la ecuación (17):
Donde
DISCUSIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
En este trabajo se presenta el procedimiento para la obtención de modelos de confiabilidad de LEDs blancos empleados en iluminación, a partir de las distribuciones de probabilidad no tradicionales MWD y WGED de los “tiempos hasta el fallo” tomados de los resultados de JP Zhang (2015) [24], los cuales se muestran en la tabla 1, expresados en miles de horas (kh).
Temperaturas | Tiempos hasta el fallo (kh) | |||||||||
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T(1)= 333,15 K | 8,01 | 8,621 | 9,296 | 9,834 | 10,327 | 10,755 | 11,728 | 11,993 | 12,732 | 13,5 |
T(2)= 353,15 K | 3,685 | 3,906 | 4,043 | 4,457 | 4,599 | 4,865 | 5,088 | 5,39 | 5,635 | 5,952 |
T(3)= 378,15 K | 1,995 | 2,093 | 2,24 | 2,255 | 2,318 | 2,418 | 2,433 | 2,505 | 2,623 | 2,765 |
Estimación de los parámetros
El sistema de ecuaciones no lineales (derivadas parciales de la función de log-verosimilitud con respecto a cada uno de los parámetros) para obtener las estimaciones de máxima verosimilitud (MLEs) de α, β y γ para la distribución Modificada de Weibull (MWD) y a, b y λ
Los resultados de los parámetros desconocidos de la MWD y de la WGED, así como los de la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov-Smirnov (K-S) para ambas distribuciones, se muestran en la tabla 2 y la tabla 3 respectivamente. En dichas pruebas K-S, las hipótesis trabajadas fueron las siguientes:
Para la MWD
Para la WGED
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K-S | |
---|---|---|---|---|
T(1)= 333,15 K | 0,001 | 0,055 | 1,135 | 0,346 |
T(2)= 353,15 K | 0,015 | 0,078 | 1,47 | 0,343 |
T(3)= 378,15 K | 0,105 | 0,095 | 2,04 | 0,351 |
En la tabla 2, se puede observar que en la prueba de bondad de ajuste K-S ≤ Dα (Dα=0,368, para el 10% de error) [25], para las tres temperaturas, por lo que en cada una de las pruebas, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis de que los datos siguen la MWD con un nivel de confianza de 90%. Por tanto, dicha distribución puede ser empleada para evaluar la confiabilidad de la muestra de LEDs estudiada.
En la tabla 3, se puede observar que en la prueba de bondad de ajuste K-S ≤ Dα (Dα=0,368, para el 10% de error) [25] para las tres temperaturas, por lo que en cada una de las pruebas, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis de que los datos siguen la WGED con un nivel de confianza de 90%. Por tanto, dicha distribución puede ser empleada para evaluar la confiabilidad de la muestra de LEDs estudiada.
Intervalos de confianza para la MWD
Sustituyendo los valores de los parámetros estimados
Temperatura | Matriz | PE | Intervalos de confianza |
---|---|---|---|
T(1)= 333,15 K |
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0,001±0,415 |
|
0,055±0,256 | ||
|
1,135±0,012 | ||
T(2)= 353,15 K |
|
|
0,015±0,458 |
|
0,078±0,459 | ||
|
1,47±0,084 | ||
T(3)= 378,15 K |
|
|
0,0105±4,477 |
|
0,095±0,852 | ||
|
2,04±0,374 |
Nota: PE.- parámetros estimados
Aplicando el mismo conocimiento para la distribución WGED se obtienen los intervalos de confianza para los parámetros desconocidos a, b y λ, resultados que se muestran en la tabla 5, también con una aproximación del 95%.
Temperatura | Matriz | PE | Intervalos de confianza |
---|---|---|---|
T(1)= 333,15 K |
|
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0,286±0,222 |
|
0,217±0,098 | ||
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0,436±0,279 | ||
T(2)= 353,15 K |
|
|
0,291±0,293 |
|
0,342±0,194 | ||
|
0,628±0,452 | ||
T(3)= 378,15 K |
|
|
0,25±0,292 |
|
0,621±0,346 | ||
|
0,845±0,617 |
Análisis de confiabilidad a partir de la MWD
La determinación de la confiabilidad de los LEDs se efectúa a partir de las funciones de confiabilidad, tasa de falla, y el MTTF a partir de los datos obtenidos para las tres temperaturas de trabajo. En la figura 1, se representan las funciones de densidad de probabilidad1 con los valores estimados
Según los valores estimados
A partir de las ecuaciones anteriores, se obtienen las curvas que muestran el comportamiento para las temperaturas estudiadas, de cada una de estas funciones, las que se presentan en la figura 2, y en la tabla 6, (en este último análisis, para un error de aproximación de 1
Análisis de confiabilidad a partir de la WGED
Utilizando un procedimiento similar se obtienen las características de la confiabilidad de los LEDs, de la muestra estudiada, según la distribución WGED de “tiempos hasta el fallo” para las tres temperaturas trabajadas, manteniendo el análisis de la confiabilidad a partir de las funciones de confiabilidad, tasa de falla, y el MTTF. En la figura 3, se representan las funciones de densidad de probabilidad3 con los valores estimados
De manera similar, pero para la distribución WGED, el análisis de la confiabilidad de los LEDs se efectúa a partir de las funciones de confiabilidad, tasa de falla, y el MTTF a partir de los datos obtenidos para las tres temperaturas de trabajo. Dado que se conocen los valores estimados
A partir de las ecuaciones anteriores se obtienen las curvas que muestran el comportamiento, para las temperaturas estudiadas, de cada una de estas funciones, las que se presentan en la figura 4 y en la tabla 7 (en este último análisis, para un error de aproximación de 1
CONCLUSIONES
Se demuestra, a partir de“tiempos hasta el fallo” obtenidos, de acuerdo al criterio