Introducción
Desde hace algunos años, la modelación y simulación de fenómenos transitorios en los transformadores han ganado espacio en el campo de la ingeniería. La exactitud de los resultados obtenidos mediante un proceso de simulación depende del grado de detalle que se tenga en el modelo empleado y de la exactitud de los datos aportados, donde el valor de la reactancia de dispersión de los transformadores, tiene gran relevancia.
La reactancia de dispersión del transformador puede determinarse experimentalmente, mediante mediciones cuando existen las condiciones y es posible realizar el ensayo. También puede obtenerse de forma analítica con resultados razonablemente buenos. Algunos autores han documentado métodos teóricos de obtención de las reactancias de dispersión estableciendo una altura equivalente para cada bobina del transformador, como el resultado de la suma de la longitud axial de cada bobina más dos veces su espesor [1- 3]. Las expresiones de reactancias de dispersión que aportan estas publicaciones no pueden ser aplicadas directamente a transformadores con devanados de sección rectángular, dado que los autores realizan sus desarrollos sobre transformadores de devanados de secciones circulares.
El método descrito por Kulkarni-Khaparde realiza su desarrollo también sobre transformadores de devanados de secciones circulares, pero establece una altura equivalente común para todas las bobinas del devanado como el cociente de la altura real del devanado entre un factor menor que la unidad llamado Factor de Rogowski (KR) [4; 5]. Las expresiones de reactancias de dispersión que aporta tampoco pueden ser aplicadas directamente a transformadores con devanados de sección rectángular.
Ambos autores plantean expresiones de aplicación en transformador de devanados helicoidales cuyos perímetros estén inscritos en un círculo, sin embargo, la gran mayoría de los transformadores de mediana potencia y de distribución tienen devanados cuyos perímetros están inscritos en un rectángulo, por lo que es necesario realizar modificaciones a estos métodos para poder aplicarlos a estos últimos.
Materiales y métodos
En el campo magnético de dispersión de un transformador tiene notables diferencias entre la distribución del flujo de dispersión que existe en la dirección axial de la ventana del núcleo y la que existe en la dirección perpendicular a esta. Cuando las bobinas de alta tensión (AT) y baja tensión (BT) tienen la misma altura, los amper-vueltas, se encuentran distribuidos uniformemente en la altura de los devanados, entonces el flujo de dispersión es predominantemente axial, excepto en los extremos, donde se deforma buscando el camino más corto para cerrar a través del yugo o la columna del núcleo [1 - 5]. Ver figuras 1a y 1b.
El modelo del flujo de dispersión típico que se muestra en la figura 1a, puede ser reemplazado por líneas de flujo paralelas, todas de una longitud igual a una altura equivalente como se muestra en la figura 2a.
En la figura:
A.T. |
Devanado de alta tensión |
B.T. |
Devanado de baja tensión |
δ1 |
Espacio que ocupa radialmente el conductor en A.T |
δ2 |
Espacio que ocupa radialmente el conductor en B.T |
δo |
Espacio entre el conductor de A.T. y B.T. También llamado entre cara activa |
LI |
Lado más interno del devanado |
LE |
Lado más externo del devanado |
hd |
Altura real del devanado |
Av |
Altura de la ventana del núcleo |
Método de Juan Corrales Martín [1].
Plantea que las alturas equivalentes primaria y secundaria para las trayectorias del flujo de dispersión son las siguientes. Vea ecuaciones (1-6).
Donde:
heq1 |
Altura equivalente del devanado primario |
heq2 |
Altura equivalente del devanado secundario |
hd1 |
Altura real del devanado primario |
hd2 |
Altura real del devanado secundario |
X1 |
Reactancia de dispersión del devanado primario |
X2 |
Reactancia de dispersión del devanado secundario |
F |
Frecuencia del sistema eléctrico |
μo |
Permeabilidad del vacío; 4π . 10-9 H/cm |
N1 |
Número de vueltas del devanado primario |
N2 |
Número de vueltas del devanado secundario |
Lm1 |
Perímetro medio del devanado primario |
Lm2 |
Perímetro medio del devanado secundario |
Lmo |
Perímetro medio de la entre cara activa |
Método de Kulkarni-Khaparde [4, 5].
Plantea que una altura equivalente para todos los devanados como se muestra en las ecuaciones (7) y (8).
El factor de corrección de Rogowski es utilizado para tener en cuenta el flujo de dispersión en la parte superior e inferior de los devanados y el efecto del núcleo magnético [6;7].
Los autores consideran un trayecto cerrado de flujo a una distancia x desde el lado interior (LI) del devanado, estableciendo la densidad de flujo como se muestra en la ecuación (9).
Para llegar a la ecuación de la reactancia, se obtiene una expresión general de las concatenaciones de flujo de un tubo de flujo con una altura equivalente heq y una pared de grosor δ, como se aprecia en la figura 3.
En la figura 3; NI es el valor de los amper-vueltas nominales del devanado, a(NI) y b(NI) son las fracciones de amper-vueltas correspondientes a LI y LE respectivamente.
Para un punto a una distancia x desde LI la f.m.m. se puede plantear según la ecuación (10).
Sustituyendo la ecuación (9) en la ecuación (8) y sacando factor común NI; el valor eficaz de la densidad de flujo a una distancia x de LI queda según la ecuación (11).
Las concatenaciones de flujo de un tubo de flujo incremental de ancho de x emplazado en x, son las expresadas en la ecuación (12).
Donde:
ϕx |
Flujo que concatena con las vueltas Nx |
Nx |
Cantidad de vueltas en el punto x. Se puede obtener de acuerdo con la ecuación (13) |
Si se tiene en cuenta lo que se expresa en la ecuación (14):
Entonces la ecuación (11), se puede transformar en ecuación (15).
Donde dA es el área incremental del tubo de flujo.
Sustituyendo las ecuaciones (11) y (13) en (15), quedan las ecuaciones (16) y (17).
En devanados circulares concéntricos, como se muestra en la figura 4, el área incremental del tubo de flujo se obtiene según la ecuación (18).
Sustituyendo la ecuación (18) en (17) queda la ecuación (19).
En la figura:
D1 |
Diámetro medio del devanado primario |
D2 |
Diámetro medio del devanado secundario |
Dm |
Diámetro medio de todo el devanado o la entre cara activa |
Por lo tanto, el flujo total del tubo se obtiene de la siguiente integral. Vea ecuación (20).
Integrando y resolviendo, la ecuación (20) queda de la siguiente manera. Vea ecuación (21)
El último término dentro de los corchetes puede ser despreciado sin que esto arroje un error apreciable [4, 5]. Vea ecuación (22).
El término [LI + 3δ/2] puede ser considerado igual al diámetro medio (Dm) del tubo de flujo (esto es admisible, principalmente, para arrollamientos que tienen valores de diámetro comparativamente más grande que los valores de sus espesores radiales) [4; 5]. Vea ecuación (23).
Se considera. Vea ecuación (24).
Que corresponde al área del Diagrama de Amper - Vueltas para el caso del devanado de forma circular. La inductancia de dispersión de un transformador con n tubos circulares de flujo se puede obtener como se muestra en la ecuación (25). [4; 5]:
Y la correspondiente expresión para la reactancia de cortociruito Xcc es como se muestra en la ecuación (26). [8-10]:
Las constantes a y b de la ecuación (24) tienen los valores de 0 y 1 para BT, 1 y 1 para la entre cara activa y 1 y 0 para AT. Entonces, utilizando la ecuación (26) se obtiene el área del Diagrama de Amper - Vueltas para devanados cilíndricos como se muestra en la ecuación (27).
Modificación del método de Kulkarni-Khaparde para devanados helicoidales con forma rectangular.
Cuando el núcleo y el devanado tienen sección rectangular el Diagrama de Amper - Vueltas no es el mismo dado que el área incremental del tubo de flujo y los perímetros de los devanados tienen otra forma de obtención.
Haciendo el análisis para un trayecto cerrado de flujo a una distancia x desde el lado interior de un devanado de forma rectángular como se muestra en la figura 5, se tiene:
En la figura:
Afe |
Longitud del lado menor de la columna del núcleo magnético rectangular |
Pro |
Longitud del lado mayor de la columna del núcleo magnético rectangular |
LI1 |
Longitud del lado interior menor del devanado |
LI2 |
Longitud del lado interior mayor del devanado |
Lm |
Longitud media de la espira del devanado a una distancia x |
Hola |
Holgura entre el núcleo y el devanado por su lado de mayor longitud |
Holp |
Holgura entre el núcleo y el devanado por su lado de menor longitud |
En este caso, el área incremental del tubo rectangular de flujo se obtiene según la ecuación (28).
Donde:
Dado que (2LI1+2LI2) es el perímetro interno del tubo rectangular, la ecuación (28) se escribe como se muestra en la ecuación (29)
Sustituyendo la ecuación (29) en la ecuación (17), queda la ecuación (30).
Por lo tanto, el total de las concatenaciones de flujo de un tubo de forma rectangular está dado por la ecuación (31).
Resolviendo la integral, aplicando la regla de integración por partes, queda de la siguiente manera. Vea ecuación (32).
Sumando y restando a2 en el último término dentro del paréntesis de la ecuación (32), y sacando factor común, queda de la siguiente manera. Vea ecuación (33).
Sustituyendo la ecuación (33), en la ecuación (31), queda la ecuación (34):
El Diagrama de Amper - Vueltas para el caso de devanado de forma rectangular, sería como se muestra en la ecuación (35).
El ATDR para el devanado primario, se tiene la ecuación (36).
El ATDR para la entre cara activa del devanado, es la ecuación (37).
Y el ATDR para el devanado secundario, se tiene la ecuación (38).
El ATDR para el cálculo de la inductancia tanto del primario como secundario, es la suma del área del devanado primario ecuación (36), y/o devanado secundario ecuación (38), más la mitad del área de la entre cara activa ecuación (37), por lo tanto las reactancias de dispersión primaria y secundaria tendrán la siguiente forma. Vea las ecuaciones (39) y (40).
De la reactancia de dispersión del devanado primario y secundario, se puede calcular la reactancia de cortocircuito, por la ecuación (41).
Resultados y discusión
Cálculo de la reactancia por los métodos descritos
Se muestran los resultados del cálculo de la reactancia de dispersión de un transformador de distribución de dos devanados cuya reactancia de cortocircuito medida según [11] es 39,618 Ω. Los parámetros físicos del transformador, se muestra en la tabla 1.
Descripción | Símbolo | Magnitud | Unidad |
---|---|---|---|
Ancho de la columna del núcleo del transformador | Afe | 11,60 | [cm] |
Profundidad de la columna del núcleo del transformador | Pro | 20,00 | [cm] |
Holgura por el ancho de la columna del núcleo | Hola | 0,30 | [cm] |
Holgura por la profundidad de la columna del núcleo | Holp | 0,40 | [cm] |
Altura de la bobina del devanado primario | hd1 | 15,80 | [cm] |
Altura de la bobina del devanado secundario | hd2 | 15,80 | [cm] |
Espesor de la bobina primaria | δ1 | 2,32 | [cm] |
Espesor de la entre cara activa | δo | 0,52 | [cm] |
Espesor de la bobina secundaria | δ2 | 3,01 | [cm] |
Perímetro medio del devanado de AT | Lm1 | 101,30 | [cm] |
Perímetro medio de la entre cara activa | Lmo | 89,63 | [cm] |
Perímetro medio del devanado de BT | Lm2 | 76,16 | [cm] |
Perímetro interno del devanado primario | Pint1 | 89,62 | [cm] |
Perímetro interno de la entre cara activa del devanado | Pinto | 86,32 | [cm] |
Perímetro interno del devanado secundario | Pint2 | 66,00 | [cm] |
Frecuencia | F | 60,00 | [Hz] |
Número de vueltas del devanado primario | N1 | 890,00 | [vueltas] |
Número de vueltas del devanado secundario | N2 | 52,00 | [vueltas] |
El valor de heq se calcula por medio de la ecuación (6), en la cual el factor de Rogowski está dado por la ecuación (7).
Cálculo de las reactancias por el método de Kulkarni-Khaparde
Para la aplicación del método, dado que la sección de la columna del núcleo del transformador en cuestión es rectangular, el diámetro interior (LI) del devanado de BT, se tiene que obtener como el valor promedio entre los valores LI1 y LI2 del tubo rectangular de flujo. Estos son la suma de los lados de la columna del núcleo más las holguras, ver figura 5 y ecuación (42):
Los diámetros medios de los devanados de BT y AT, y del espacio entre BT y AT se calcula a partir de las ecuaciones (43), (44) y (45).
El valor de
Aplicando la ecuación (25), para calcular la reactancia de cortocircuito para devanados de forma circular, se tiene:
Xcc = 34,055 [Ω]
El error relativo que se obtiene con la aplicación de este método se obtiene por la ecuación (46):
Cálculo de las reactancias con la modificación del método de Kulkarni-Khaparde
Para la aplicación del método de Kulkarni-Khaparde modificado para devanados rectangulares, las reactancias de dispersión y de cortocircuito se calculan mediante las ecuaciones (39), (40) y (41):
El error relativo que se obtiene con la aplicación de este método se obtiene por la ecuación (46):
Conclusiones
Mediante la modificación del método de Kulkarni-Khaparde, se llega a un área del Diagrama de Amper - Vueltas para devanados rectangulares más exacta que la obtenida por los métodos clásicos Kulkarni-Khaparde y de Juan Corrales Martín.
El cálculo de la reactancia de dispersión para devanados de forma rectangular mediante la modificación del método de Kulkarni-Khaparde, es más exacto que por los métodos de Kulkarni-Khaparde y de Juan Corrales Martín.