Hospital Pediátrico Docente "Juan Manuel Márquez"

Fundamentación matemática de un software para calcular valores regionales de variables respiratorias

Dr. Antonio Barber Gutiérrez,¹ Dr. Roberto Hernández Najarro² y Lic. Humberto Martínez Canalejo³

RESUMEN

Por el interés de conocer los valores regionales de las variables respiratorias más útiles en clínica, se presenta la fundamentación matemática de un software que cuantifica imágenes pulmonares obtenidas en gamma-cámara. La distribución del isótopo se convierte en 16 valores regionales de la función pulmonar. El software evalúa las imágenes partiendo de la relación actividad del isótopo contra tiempo y la incorporación de los datos adicionales siguientes: 1. CRF (capacidad residual funcional) del pulmón; 2. comienzo de la inyección radiactiva (t_o); 3. gasto cardíaco (GC); 4. frecuencia del pulso (f) 5. presión barométrica (P_B); 6. fracción de oxígeno atmosférico (F_{IO 2}). En el trabajo se identifican las siglas médicas usadas y se da una introducción fisiológica sobre cada variable respiratoria.

Palabras Clave: SOFTWARE; CAMARAS GAMMA; MATEMATICA; TESTS DE FUNCION RESPIRATORIA/métodos.

INTRODUCCION

La distribución del aire y la sangre en los pulmones no es uniforme,^1-3 sino que presenta desproporciones influenciadas por la gravedad y las propiedades mecánicas de los pulmones.^4,5 No es suficiente, por tanto, conocer valores totales de la función pulmonar, es decir, resultantes de la función del órgano como un todo, se precisan valores regionales como diagnóstico de afecciones que puedan ser tributarias de exéresis pulmonar u otros tratamientos regionales, y como pronóstico, si se conoce hasta donde la enfermedad ha tomado el área pulmonar.^6-8

El mejor intento para conocer regionalmente al pulmón es el uso de radionúclidos,^9-14 cuya actividad puede ser seguida y cuantificada en una pantalla por todas las partes del pulmón.

Los software de las gamma-cámaras presentan imágenes coloreadas como consecuencia de la actividad más o menos intensa del radionúclido. Estos programas construyen una gráfica de actividad de la sustancia radiactiva utilizada vs tiempo, que expresa la llegada del isótopo por los capilares de la arteria pulmonar y su desaparición con el aire espirado, ya que el radionúclido utilizado en estos exámenes (Xenón¹³³) tiene un coeficiente de partición que permite la rápida salida de la sangre tan pronto la membrana respiratoria le permite el paso a la fase aérea de los alvéolos.

La figura 1 expone la forma en que se produce el pico de actividad, que significa la llegada del Xenón¹³³ y su desaparición con la ventilación alveolar según una primera exponencial que termina en una meseta, para dar luego una segunda exponencial que lleva la actividad a cero cuando el gas radiactivo ha sido completamente lavado de los pulmones.

Fig.1

Los software de las gamma-cámaras modernas, como la del Instituto de Cardiología y Cirugía Cardiovascular en Ciudad de La Habana, hacen una cuantificación detallada de esta gráfica, es decir, la llevan a su expresión analítica. Sin embargo, la distribución del radionúclido por el área pulmonar no refleja en valores absolutos, los compromisos de las distintas regiones en cuanto a volúmenes de aire que albergan, flujo de sangre que pasa por la región, posibilidades de oxigenación de la sangre en los distintos niveles del pulmón y otros datos cuantitativos que de por sí expresan el compromiso regional del pulmón.

El objetivo de este trabajo es establecer la fundamentación matemática para confeccionar un software que cuantifique las imágenes pulmonares obtenidas en una gamma-cámara, y permitir que la distribución del isótopo se convierta en valores absolutos regionales de la función pulmonar, de utilidad clínica.

Aprovechando que el software de la gamma-cámara puede presentar la relación "actividad radiactica vs tiempo" de cualquier región pulmonar, se pretende convertir esta relación en 16 valores de las siguientes variables utilizadas en la clínica de la función pulmonar.

1. FRC = Capacidad residual funcional, en litros (L).
2. V_A = Ventilación alveolar por minuto, en L/minuto (min).
3. Q_C = Flujo de sangre capilar pulmonar, en L/min.
4. R = Cociente respiratorio.
5. P_AO2 = Presión parcial de oxígeno en los alvéolos, en mmHg.
6. P_ACO2 = Presión parcial de bióxido de carbono en los alvéolos, en mmHg.
7. P_AN2 = Presión parcial de nitrógeno en los alvéolos, en mmHg.
8. V_O2 = Consumo de oxígeno, en L/min.
9. C_aO2 - C_VO2 = Diferencia arterio-venosa de oxígeno, en mL de 0₂/L de sangre.

       Q_V
10. = ----
       Q_B
Flujo sanguíneo de los vértices pulmonares/Flujo sanguíneo de las bases.
 
11. T_C-P = Tiempo de circulación codo-pulmón, en segundos.
12. % FRC = Porcentaje de la región, de la FRC total o de todo el pulmón.

        VA  13. = -----          FRC

Ventilación de la re-FRCgión por unidad de volumen de aire (FRC).

        VA  14. = -----          Q

Razón ventilación/flujo de sangre.
15. V_{CO 2}= Producción de CO₂, en L/min.
16. C_{VCO 2} - C_{aCO 2} = Diferencia vena-arteria de CO₂ , en mL de CO₂/L de sangre.

METODO

El colimador o pantalla que se coloca a las espaldas del sujeto de prueba, representa una matriz, y transduce al equipo la radiactividad del área pulmonar según las dimensiones de los pulmones. La radiactividad procede de una inyección del radionúclido por vía endovenosa.

Las gamma-cámaras utilizan distintas sustancias radiactivas administradas por diferentes vías; Xenón¹³³ por vía endovenosa, Tecnesio por aerosol o mezclado con albúmina por vía endovenosa, etcétera. El trabajo que aquí se presenta está referido al Xenón.¹³³ Cuba tiene en estos momentos dificultades para trabajar con este núclido. No ocurre así, si el software que aquí se propone se aplica en otros países, o en el nuestro en momentos futuros, o a un número limitado de pacientes en un momento dado, pues la aplicación de las distintas sustancias radiactivas se hace para estudios que tienen diferentes propósitos.

La figura 2 es un esquema de lo que resultaría del software que se propone construir. Se observa que cada parte, región o rebanada del pulmón es asiento de valores diferentes de las variables respiratorias enumeradas, sobre todo si se trata de enfermos crónicos pulmonares. Los valores de cada región se derivan de la relación "actividad vs tiempo" (U vs t) propia de la región, que entrega a la máquina en algunos momentos, datos adicionales.

Fig.2

VALOR REGIONAL DE LA FRC EN L (VARIABLE No.1)

La FRC se define como el volumen de aire que queda en los pulmones al final de una espiración tranquila. El ciclo respiratorio tiene 2 fases: la inspiración, donde se expanden los diámetros del tórax por acción de los músculos, y entra el aire a los pulmones; y la espiración, donde el tórax vuelve a su posición de reposo, y sale de los pulmones un volumen de aire igual al que había entrado, aunque con distinta composición en gases. Esta entrada y salida de aire a y desde los pulmones se hace sobre un volumen que permanece en estos órganos y que se renueva o refresca con cada ciclo respiratorio (se enriquece en oxígeno y se empobrece en bióxido de carbono), es la llamada FRC. Puesto que la distribución del aire intrapulmonar no es uniforme ni aun en condiciones fisiológicas, cada región del pulmón tiene su propia FRC, la cual toma valores más distantes entre una y otra región a medida que el pulmón está más enfermo.

Como la FRC no puede ser movilizada completamente de los pulmones, esta capacidad suele medirse por técnicas de dilución de un gas marcador en el volumen de aire de la FRC. Generalmente, el gas marcador que se utiliza es el helio (He).

• Dato a la máquina: Valor de la FRC de todo el pulmón, en L.

La meseta de la relación U vs t (figura 1) es interpretada como la situación de equilibrio entre el Xenón¹³³ que aún permanece en la sangre pulmonar y el que ha pasado a los alvéolos. Por cuando prácticamente todo el Xenón ha pasado a la fase aérea y ocupa todo el pulmón, la meseta refleja la FRC y permite establecer la razón

VFRC    ----, donde VFRC  es el volumen de  Ueq.

aire de la FRC dado como dato a la máquina y U_eq. es la actividad equivalente de la meseta. La FRC regional está dada por la expresión:

                            VFRC  VFRC regional = Ueq. regional = ------ (1)                               Ueq.

Se puede calcular entonces el porcentaje que representa la FRC regional de la FRC total (variable no. 12).

VALOR REGIONAL DE V_A EN L/min (VARIABLE No.2)

Se utiliza para este cálculo la exponencial de la relación U vs t, después de la meseta (ver figura 1), es decir, cuando las sucesivas espiraciones eliminan completamente el Xenón o lavan al pulmón de este gas en un tiempo dado.

Se define la V_A como el volumen de aire inspirado que en sucesivas respiraciones renueva el volumen de aire existente en los alvéolos pulmonares. Es, por tanto, el volumen de aire renovado en los pulmones en el tiempo de 1 minuto. Si el volumen de la FRC, representado por la actividad de la meseta, se renueva en el tiempo t₂ - t₁ en segundos, se puede expresar:

        FRC  VA = -------- x 60        t2 - t1

               VFRC regional  VA regional = ---------------------- x 60,               t2 regional - t1 regional

o sea, la exponencial posmeseta de la relación U vs t regional.

Según la ecuación 1,

                        VFRC  VA regional = Ueq. regional --------                            Ueq.

       1  -------------- x 60   t2 reg - t1 reg

donde t_{2 reg} - t_{1 reg} es el intervalo en que se elimina el Xe¹³³ regionalmente. Con este valor y la FRC regional hallada anteriormente, se puede calcular la razón

 VA   -----   FRC

regional (variable no.13).

VALOR REGIONAL DE Q_C EN L/min (VARIABLE NO.3)

Una vez inyectada la solución de Xe¹³³ en la vena antecubital (flexura del codo), el radionúclido llega a la arteria pulmonar y se distribuye por los millones de capilares pulmonares, cada uno de los cuales bordea la pared de un alvéolo o saquito que contiene el aire respirado. A través de la membrana entre el capilar sanguíneo y el alvéolo, el gas radiactivo difundirá a la fase gaseosa de los alvéolos. La llegada del núclido a la arteria pulmonar se corresponde al inicio de la curva U vs t (ver figura 1).

• Datos a la máquina:

1. Tiempo de comienzo de la inyección en la vena antecubital (t_o).
2. Gasto cardíaco (GC) o volumen de sangre que circula por el cuerpo en 1 minuto, hallado por otras técnicas.
3. Frecuencia del pulso (f) o número de veces que el corazón late en 1 minuto.

• Datos que registra la máquina:

1. Tiempo de llegada del núclido a la arteria pulmonar (t_y) o inicio de la gráfica U vs t (figura 1).
2. Tiempo en que ha pasado definitivamente el Xe¹³³ de la sangre a los alvéolos (t_A).

• Datos que calcula el software:

1. Gasto sistólico (GS) o volumen de sangre que impulsa el corazón con cada latido o contracción.
2. La duración de un ciclo cardíaco o tiempo transcurrido entre un latido y el siguiente (I).
3. El volumen de sangre en que llega el Xe¹³³ al pulmón (V_pxe¹³³).
4. El número de latidos o pulsos ocurridos hasta que la sangre llega a la arteria pulmonar o a t_y (f_pxe¹³³).

Operaciones:

           GC en L  GS en L = ---------                f             (ty - to)f  fpxe133 = -------------                60

  Vpxe133 en L = GS x fpXe133

La f es el recíproco de la duración de cada ciclo cardíaco I en segundos, por tanto:

     60  f = ----       I

de donde:

       60      ty  I = ------- y ---- = fpXe133         f       I

En V_pXe¹³³ se comete un error sin significación clínica, pues el pico de actividad por la llegada del Xe¹³³ a los pulmones (ver figura 1) se produce instantes después de t_y. Denotaremos por U_p la actividad del gas radiactivo al llegar a los pulmones con el volumen de sangre VpXe¹³³ (U_p es la actividad del pico). El volumen de sangre que llega a cada una de las regiones del pulmón (V_pXe¹³³) se obtiene de la expresión:

          VpXe133  VprXe133 = ------- Upr ,             Up

donde U_pr es el pico de actividad regional.

Puede considerarse que el Xe¹³³ está circulando por los capilares pulmonares desde su llegada con la sangre en el instante t_y hasta su paso definitivo a los alvéolos en el instante t_A (figura 1). Teóricamente, el instante t_y no es igual para todas las regiones del pulmón, pero a menos que el bloqueo circulatorio para una región pulmonar sea muy significativo, la diferencia de tiempo entre la llegada a la arteria pulmonar y a cada región del pulmón no tiene significación clínica, por lo que puede considerarse a t_y igual para todas las regiones pulmonares. El tiempo t_A, sin embargo, no ha de ser igual para cada región pulmonar. El flujo de sangre capilar regional por segundo (Q_cr) será:

       VprXe133         L  Qcr = --------- ----------         tA - ty     segundos

El flujo de sangre capilar regional por minuto Q_r en L/min está dado entonces por:

       VprXe133               L  Qcr = --------- x 60 ----------           tA - ty         segundos

Con este valor y el valor de V_A encontrado con anterioridad, se puede conocer regionalmente la razón V_A/Q (variable no. 14) y la razón Q_V/Q_B (variable no. 10). Esta última razón tiene importancia clínica en la hipertensión pulmonar.¹⁵

Otro resultado que se obtiene con los datos t_o y t_y es el tiempo de circulación codo-pulmón T_c - _p (variable no.11):

        Tc-p = ty - to

VALOR REGIONAL DE P_{AO 2} , P_{ACO 2} y P_{AN 2} en mmHg (variables Nos. 5, 6 y 7)

Dado que los gases respiratorios O₂, CO₂ y N₂ en los alvéolos, si no hay barrera a la difusión, se equilibran con los disueltos en la sangre y viceversa, las presiones de gases disueltos en la sangre capilar pulmonar son idénticas a las presiones de estos mismos gases en la fase gaseosa alveolar. Puede decirse que P_{AO 2} = Pa _{o 2,} P_{ACO 2} = Pa _{CO 2} y P_{AN 2} = = Pa _{n 2} , siendo A y a los espacios alveolar y arterial, respectivamente.

Las presiones parciales de los gases referidos dependen de la razón V_A/Q^16,17. La P_CO2 y la P_O2 , el software las eligirá directamente de la base de datos que proporciona la gráfica V_A/Q vs P_O2 y P_CO2 de la figura 3.¹⁸. El software puede dar el rango de presiones que corresponda al rango de V_A/Q de la base de datos o realizar una extrapolación lineal de la curva entre los 2 valores próximos cuando en la base de datos no aparece el valor de V_A/Q del paciente. Con el valor extrapolado de V_A/Q se determina la presión puntual correspondiente de CO₂ y O₂.

-Dato a la máquina: Valor de la presión barométrica (P_B).

-Datos que calcula el software:

1. P_{O 2} + P_{CO 2} y 2. P_B - (P_{O 2} + P_{CO 2}) = P_{N 2}

Fig.3

La P_N2 se obtiene cuando a la P_B se le restan las presiones parciales de O₂ y C_{O 2} + P_{CO 2}), ya que:

P_{O 2} + P_{CO 2} + P_N2 = P_B

VALOR REGIONAL DE R (VARIABLE No.4)

• Dato a la máquina: La fracción de oxígeno del aire atmosférico (F_{IO 2} ). Estos valores pueden ser: 0,1 para zonas muy elevadas, 0,209 para el nivel del mar, y 0,5 y 0,9 para mezclas respiradas en que se aumente la concentración de oxígeno.
• Datos almacenados en la máquina: P_B , P_{AO 2} y P_{ACO 2}.
• Dato que calcula el software: La presión parcial de oxígeno del aire atmosférico (P_{IO 2}). Operación:

P_{IO 2} = F_{IO 2} x P_B

El oxígeno introducido en los pulmones (inspirado) es el que existe en la mezcla de gases que es el aire. En los países altos la fracción de oxígeno del aire y, por tanto, inspirada por sus habitantes, es baja y se eleva al nivel del mar o cuando se le prepara al paciente un aire enriquecido en oxígeno (tienda de oxígeno). El aire que se respira habitualmente se halla a presión barométrica y la presión parcial de sus gases componentes es dependiente de su concentración o fracción en dicha mezcla. Así : P_{IO 2} = F_{IO 2} x P_B.

Definición de R: El oxígeno (O₂) inspirado entra en las reacciones metabólicas del organismo, de las que se obtiene energía y bióxido de carbono (CO₂) como producto final. La razón entre el volumen de CO₂ producido en un minuto (V_{CO 2}) al O₂ consumido en ese tiempo (V_{O 2}) es un índice de la actividad metabólica del sujeto y modifica la actividad respiratoria al punto de variar las presiones de gases en los alvéolos (P_{AO 2} , P_{ACO 2} y P_N2). La razón V_{CO 2}/V_{O 2} es el llamado "cociente respiratorio o R".

Al obtener los valores de P_{AO 2} , P_{ACO 2} y P_{N 2} a partir de V_A/Q (ver anteriormente), implícitamente en la gráfica está presente R, es decir, los valores de estas presiones dependen de V_A/Q y de R.

Entre las ecuaciones que rigen las relaciones cuantitativas del intercambio de gases está la siguiente:

     PACO 2 (1 - F10 2)  R = ----------------------------       PIO 2 - PAO 2 + PACO 2 FIO 2)

La solución de esta ecuación para R¹⁹, con los datos suministrados, almacenados y calculados, de los cuales P_{ACO 2} y P_{AO 2} son regionales y F_{IO 2} y P_{I0 2} se refieren a las características del aire inspirado, permiten conocer el valor regional de R.

VALORES REGIONALES V_{O 2} y V_{CO 2} en L/min a STPD (variables Nos. 8 y 15).

El V_{O 2} regional depende de la permeabilidad de los bronquios que llevan el aire a dicha región, y por tanto, el oxígeno, y de la capacidad de difusión a la sangre, o sea, de que el intercambio del oxígeno entre sangre y aire no presente barrera regional. A su vez, el V_CO2 depende de esto último y de la facilidad con que pueda abandonar los alvéolos de la región. Ambos valores son datos relevantes para la clínica de las enfermedades pulmonares.

• Dato a la máquina: La fracción de CO₂ del aire atmosférico (F_{ICO 2}). Este valor es despreciable, aproximadamente cero, pero en ciertos pacientes conviene enriquecerles el contenido de CO₂ de la mezcla que respiran y la fracción inspirada de CO₂ (F_{ICO 2}) puede llegar a ser hasta 0,05.

• Datos almacenados en la máquina:

P_B , F_{IO 2} , P_AO2 , P_ACO2 , V_A y R.

• Datos que calcula el software: Las fracciones de oxígeno y bióxido de carbono (F_{AO 2} y F_{ACO 2}) en el aire alveolar.

Operaciones:

        PAO 2           PAO 2  FAO 2 = ------ FACO 2 = ------          PB           PB

Del grupo de las ecuaciones que miden las relaciones cuantitativas del intercambio de gases, se utiliza para hallar el volumen de CO₂ alveolar por minuto (V_{CO 2}) la siguiente:

                        1 - FACO 2 - FAO 2   VCO 2 = FACO 2 - FICO 2 . ------------------                           1 - FICO 2 - FIO 2   VA  --------   0,863

La solución de esta ecuación para V_{CO 2} ([11]) sobre la base de los datos suministrados, almacenados y calculados, de los cuales F_{ACO 2}, F_{AO 2} y F_{ICO 2} son características dela aire inspirado, permiten conocer el valor egional de V_{CO 2}. Dado que V_A es un volumen de aire que procede del interior del pulmón (los alvéolos), está a la temperatura corporal (37 ^oC ó 310^oK) y se acostumbra a medirlo a esta temperatura (body temperature) y a presión estándar (760 mmHg), se dice que el volumen V_A es a BTPS. El volumen de CO₂ de los alvéolos también está a temperatura corporal, pero el del oxígeno que está llegando desde el exterior con la inspiración no está a esa misma temperatura. Para comparar ambos volúmenes se llevan a una misma condición: temperatura estándar (0 ^oC ó 273 ^oK) y presión estándar. Además, estos volúmenes de O₂ y CO₂ deben medirse sin el vapor de agua que los acompaña, es decir, secos (dry). Son medidos entonces a STDP. Esta conversión de esta temperatura y presión requiere multiplicar por el factor

  1    ------- .   0,863

Otra relación cuantitativa establece que:

 VCO 2  ------ = R,   VO 2

de donde:

 VCO 2  ------ = VO 2    R

Puesto que V_{CO 2} y R son variables regionales, V_{O 2} se obtiene también de la región pulmonar en estudio.

VALORES REGIONALES DE Ca _{O 2} - C_{VO 2} y C_{VCO 2} - Ca _{CO 2} en mL/L de sangre (variables Nos. 9 y 16)

La sangre arterial llega a los tejidos con un contenido de oxígeno (Ca _{O 2}), lo aporta a estos y sale empobrecida en oxígeno, ahora como sangre venosa (C_{VO 2}). En clínica, la diferencia entre el contenido de oxígeno arterial y venoso (Ca _{O 2} - C_{VO 2}) es un índice del intercambio metabólico al nivel de los tejidos.

A su paso por los tejidos, la sangre adquiere un alto contenido de bióxido de carbono (C_{VCO 2}) que se pierde en los pulmones cuando la sangre se arterializa (Ca _{CO 2}). Al igual que la diferencia arterio-venosa de oxígeno, la de bióxido de carbono (C_{VCO 2} - Ca _{CO 2} ) es un dato clínico de utilidad.

Dos ecuaciones se deducen del principio de Fick²⁰:

V_{CO 2} = Q (C_{VCO 2} - Ca _{CO 2}) , V_{CO 2} = Q (Ca _{O 2} - C_{VO 2}) R

• Datos almacenados en la máquina:

V_{CO 2} , Q, y R.

La solución de estas ecuaciones para C_{VCO 2} - Ca _{CO 2} y C_{aO 2}

• C_{VO 2} es la siguiente:

                  VCO 2   CVCO 2 - Ca CO 2 = ------, CaO 2 - CVO 2                       Q     VCO 2   = ------     QR

Puesto que los datos almacenados son regionales, los valores obtenidos de las diferencias arteriovenosas de oxígeno y bióxido de carbono también son regionales.

El desarrollo del software cuya fundamentación lógico-matemática se presenta en este trabajo, es recomendable por la utilidad que significa el análisis de la función respiratoria regional, pues es la única vía de tratar y pronosticar las afecciones pulmonares con conocimiento de las áreas más afectadas, tratándose de un órgano tan inaccesible. La etapa siguiente a su creación sería evaluarlo con pacientes aquejados de enfermedades respiratorias, bajo estudio en la cámara-gamma.

RECONOCIMIENTOS

Este trabajo se realizó en el marco de una colaboración entre los departamentos de Fisiología del ICBP "Victoria de Girón" y la Facultad de Medicina "Enrique Cabrera", y el Departamento de Medicina Nuclear del Instituto de Oncología y Radiobiología.

SUMMARY

As a result of the existing interest for knowing the regional values of the most useful respiratory variables in clinics, it is presented the mathematical foundation of a software that quantifies pulmonary images obtained in gamma-camera. The isotope distribution becomes into 16 regional values of the pulmonary function. The software evaluates the images starting from the relation isotope activity against time, and the incorporation of the following additional data: 1, FRC (functional residual capacity) of the lung; 2. beggining of radioactive injection (t_o); 3. cardiac output (CO); 4. pulse frequency (f); 5. barometric pressure (Pb ); 6. atmospheric oxygen fraction (F_{10 2}). The medical acronyms used are identified in this paper and a physiological introduction on every respiratory variable is given.

Key words: SOFTWARE; GAMMA CAMERAS; MATHEMATICS; RESPIRATORY FUNCTION TESTS/methods.

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Recibido: 31 de octubre de 1995. Aprobado: 21 de marzo de 1996.

Dr. Antonio Barber Gutiérrez. Hospital Pediátrico Docente "Juan Manuel Márquez". Avenida 31 y 76 municipio Marianao, Ciudad de La Habana, Cuba.

1. Candidato a Doctor en Ciencias. Especialista de II Grado en Fisiología Normal y Patológica. Profesor Titular. ICBP "Victoria de Girón".
2. Candidato a Doctor en Ciencias. Especialista de II Grado en Fisiología Normal y Patológica, Profesor Titular. Facultad "Enrique Cabrera".
3. Bioestadístico. Profesor Auxiliar. Hospital Pediátrico Docente "Juan Manuel Márquez".