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## versión On-line ISSN 1815-5901

### Energética vol.38 no.1 La Habana ene.-abr. 2017

APLICACIÓN DE LA COMPUTACION

Wolfram Mathematica, aplicado a la transferencia de calor, mÃ©todo, soluciÃ³n exacta, para procesos de extrusiÃ³n

Wolfram Mathematica, applied to the heat transfer method exact solution for extrusion processes

MSc. Antonio JimÃ©nez Ramos1, Dr. C. Juan Francisco Puertas FernÃ¡ndez2, Dr. C. Margarita J. Lapido RodrÃ­guez3. Dr. C. Julio Rafael GÃ³mez Sarduy3, Lic. Yulier JimÃ©nez Santana4, MSc. Fidel Sosa NÃºÃ±ez4

1 Empresa de Producciones PlÃ¡sticas Vasil Levski.
3
Centro de Estudio de EnergÃ­a y Medio Ambiente (CEEMA), Facultad de IngenierÃ­a, Universidad de Cienfuegos.

RESUMEN

Palabras clave: procesos de extrusiÃ³n, geometrÃ­as simples, modelaciÃ³n, propiedades fÃ­sicas, transferencia de calor, software wolfram mathematica.

ABSTRACT

Computer programs for the solution to problems of everyday life, are very common, how quickly results can be obtained, than by traditional methods would be very laborious, and the conclusions to be arrived, for those in solutions , lead repeated calculations, even more. The aim of this work is to demonstrate, and through programming with Wolfram Mathematica 8.0 for the method of the exact solution, quick results are achieved and more accurately than by the method of approximation, the first term or any other, making it possible, depending on the worked geometries, perform different types of comparisons or studies demonstrating their behavior, to various parameters taken into account, on equal terms, as they are, geometric properties, as diameter, length, thickness, volume and physical properties such as thermal conductivity, specific heat and density, appreciating how they influence on results as cooling times, production according to the physical properties and equipment design, consumption rates, temperatures in the center and surface and others, according to the method of extruding plastic pipes, very necessary in production processes requiring precise monitoring and constant.

Keywords: plastic extrusion, simple geometries, modeling, physical properties, heat transfer, software wolfram mathematica.

INTRODUCCIÓN

El Wolfram Mathematica, por sus caracterÃ­sticas, es utilizado en Ã¡reas cientÃ­ficas de ingenierÃ­a, en sus variadas especialidades, matemÃ¡ticas y computacionales. ComÃºnmente considerado como un sistema de Ã¡lgebra computacional, Mathematica es tambiÃ©n, una poderosa herramienta para las programaciones, de propÃ³sito general. De ahÃ­, que puede ser utilizado, para mÃºltiples soluciones, a problemas ingenieriles [1-3], siendo un lenguaje, que se actualiza constantemente, siempre con mayores posibilidades de aplicaciÃ³n.

Generalmente la soluciÃ³n a problemas de transferencia de calor en tuberÃ­as y placas en la tecnologÃ­a por extrusiÃ³n se realizan por el mÃ©todo de la aproximaciÃ³n del primer tÃ©rmino, teniendo en cuenta la facilidad de cÃ¡lculo sobre todo para problemas donde no se requiere de una elevada exactitud, pudiÃ©ndose alcanzar con Ã©l hasta un 96-98 %, aproximadamente haciÃ©ndose muy complejo alcanzar precisiones superiores sin que se utilice el de la soluciÃ³n exacta.

El mÃ©todo de la soluciÃ³n exacta requiere de anÃ¡lisis numÃ©ricos para su soluciÃ³n por la complejidad de sus ecuaciones y de ahÃ­ la utilizaciÃ³n de distintos software. Para este caso la soluciÃ³n con Wolfram Mathematica 8.0, parte siempre de la conformaciÃ³n de las ecuaciones que representan a cada una de estas geometrÃ­as, para el caso de las placas, coordenadas cartesianas y para las tuberÃ­asÂ  coordenadas cilÃ­ndricas, las cuales deben ser meticulosamente desarrolladas, para obtener los resultados deseados, pues la soluciÃ³n para cada una de ellas, tienen semejanzas [4-6].

El trabajo pretende demostrar, la viabilidad del uso de este software, para lograr resultados rÃ¡pidos y con las presiones que se requieren, para cada una de las particularidades queÂ  se presenten, pudiendo ser una forma de comparaciÃ³n de parÃ¡metros, como elÂ Â  comportamiento energÃ©tico de geometrÃ­as diferentes. En este caso, las placas y tuberÃ­as, en volÃºmenes,Â  teniendo en cuenta parÃ¡metros y materias primas similares, en cuanto a producciÃ³n, Ã­ndices de consumo, tiempos de enfriamiento, temperaturas exteriores e interiores y otras [7-9].

MATERIALES Y MÃTODOS

En la transferencia de calor, existen muchas formas para la soluciÃ³n de problemas, utilizados en ingenierÃ­a, en este primer caso,Â  la soluciÃ³n para la programaciÃ³n en, Wolfram Mathematica 8.0, corresponde a una placa, rodeada por un fluido convector, a la temperatura final Tf, que se introduce instantÃ¡neamente en el fluido en las condiciones en que la resistencia a la transferencia de calor es muy pequeÃ±a, figura 1. Por el concepto de placa y que el fluido es elÂ  mismo y se encuentra por ambos lados, existe simetrÃ­a y resulta que el coeficiente convectivo hc, serÃ¡ el mismo entre ambas semiplacas, de forma que, considerando esta placa infinita de espesor (esp. = 2 L) para la que en el tiempoÂ  (t = 0), existe una distribuciÃ³n de temperatura conocida y en la que no existen efectos de bordes, se aplica laÂ  ecuaciÃ³n diferencial [1-10-11], ecuaciÃ³n (1).

Haciendo cambio de variable Ð¤ = T - Tf con Tf â  0;Â  ecuaciÃ³nÂ  (2):

Cuya soluciÃ³n general es; ecuaciÃ³n (3):

Y las condiciones de contorno.

Para T = 0,Â Â  -L â¤ X â¥ L; Ð¤ = f(x) Ã³ To 2- Para Â T > 0 se cumplirÃ¡Â  que; ecuaciÃ³n (4):

Como el fluido a ambos lados de la placa es el mismo entonces.
Ð¤ - x = Ð¤ + x; entonces Â  y la igualdad se cumple para cualquier valor de Ð¤.

Teniendo en cuenta la condiciÃ³n de contorno x = 0 Â ecuaciÃ³n (5):

La soluciÃ³n se reduce a, ecuaciÃ³nÂ  (6):

La condiciÃ³n de contorno en (x = Â±L) permite obtener los valores de Î»; ecuaciÃ³nÂ  (7):

Dicha ecuaciÃ³n se satisface para un nÃºmero infinito de valores del parÃ¡metro (λL), por lo que para un valor de L dado, sus soluciones seÂ  encuentran para diversos valores de λ, con intersecciÃ³n en las curvas: ecuaciÃ³n (8),

,

nÃ³tese la dependencia de la ecuaciÃ³n con respecto a Bi.

Por lo que la distribuciÃ³n de temperatura, es una serie de la forma; ecuaciÃ³n (9):

En la que λn, es la raÃ­zÂ  enÃ©sima de la ecuaciÃ³n;Â  ecuaciÃ³n (10):

La condiciÃ³n inicial Φ = f(x) = Φ0= Cte, para (t = 0) es ecuaciÃ³n (11):

A partir de la cual se obtiene Bn, teniendo en cuenta, la teorÃ­a de las funciones ortogonales.

La expresiÃ³n de la distribuciÃ³n de temperatura, en la placa infinita,Â  funciÃ³n de la posiciÃ³n y el tiempo es; ecuaciÃ³nÂ  (12):

Para el caso particular, en que la primera condiciÃ³n de contorno fuese de la forma Φ = f(x) = Φ0= Cte; la ecuaciÃ³n anterior se transforma en; ecuaciÃ³nÂ  (13):

La temperatura Ð¤c = Tc â Tf Â en el eje de la placa (x = 0) de espesor (2 L) es;Â  ecuaciÃ³n (14):

Para el segundo caso, laÂ  programaciÃ³n en Wolfram Mathematica 8.0, para la tuberÃ­a,Â  el procedimiento es similar al anterior, pero la longitud caracterÃ­stica de la placa (L), que varÃ­a de la superficie al centro, es sustituida por la (r), que es el radio, que varÃ­a desde la superficie de la tuberÃ­a, hasta su radio interior, otra diferencia, enÂ  este caso, es que se resuelve con la ecuaciÃ³n en coordenadas cilÃ­ndricas y son utilizadas, las ecuaciones de Bessel y Newman, debido a la distribuciÃ³n de temperatura, que existe en este tipo de geometrÃ­a, ademÃ¡s, en la placa, existe dependencia del nÃºmero de Biot y en la tuberÃ­a no; ecuaciÃ³n (15):

donde Î¦, es la temperaturaÂ  adimensional, que es una funciÃ³n del radio y el tiempo, T es la temperatura en grados celsius, Tf Â es la temperatura final.

Aplicando el mÃ©todo de separaciÃ³n de variables, las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes y sus soluciones son; ecuaciÃ³n (16): donde R es una funciÃ³n, que depende solamente del radio, J0 es la funciÃ³n de Bessel de primera especie, de orden cero, Y0 es la funciÃ³n de Bessel de segunda especie, de orden cero o (funciÃ³n de Newman), B1 y B2 son constantes; ecuaciÃ³n (17):

donde Î¸, Â es una funciÃ³n que depende solamente del tiempo y B es una constante.

Si se tratara de un cilindro macizo, entonces, como este no puede admitir en su eje (r = 0), una soluciÃ³n infinita, por cuanto Y0 = - â resulta que B2 tiene que ser (0) y se obtiene una ecuaciÃ³n de la forma; Â ecuaciÃ³n (18):

La soluciÃ³n general que proporciona la distribuciÃ³n de temperatura es; ecuaciÃ³n (19):

En la que BÂ  y λÂ son constantes que se determinan por las condiciones de contorno. La condiciÃ³n inicial es: .

La condiciÃ³n para un cambio brusco de temperatura en la superficie lateral del cilindro infinito es; ecuaciÃ³n (20):

Por lo que ecuaciÃ³n (21):

Que se tiene que cumplir para cualquier valor de t con las condiciones:

1) Para, t = 0; 0 â¤ r â¤ R; Î¦ = f(r) oÂ´ Î¦ = T0

2) Para t > 0;

Teniendo en cuenta la segunda condiciÃ³n de contorno y que ,
Resulta; ecuaciÃ³n (22):

Que se satisface para infinitos valores de Î» con la intersecciÃ³n de las curvas.

Siendo los valores de Î»n raÃ­ces de la ecuaciÃ³n; ecuaciÃ³n (23):

Para el caso de una tuberÃ­a, con condiciones inÃ­ciales: t = 0; ri â¤ r â¤ re; Ð¤ = f(r) Ã³ Ð¤0, la segunda constante no se hace cero, como en el cilindro, [1], Â esta se busca tambiÃ©n, con las condiciones de contorno segÃºn figura 2. Su obtenciÃ³n es mÃ¡s compleja, pues la constate B2, no puede ser cero, debido a que el centro (r = 0), no entra en el dominio y para poder obtener una soluciÃ³n del problema, se escribe una constante en funciÃ³n de la otra, a partir de las condiciones de contorno y de esta forma, aplicando la teorÃ­a de funciones ortogonales, se obtiene una expresiÃ³n para esta constante. Condiciones de contorno para t > 0; ecuaciÃ³n (24):

De las condiciones de contorno, se obtiene la ecuaciÃ³n transcendente, cuyas raÃ­ces son los n de la ecuaciÃ³n soluciÃ³n;Â  ecuaciÃ³n (25). Donde J1 es la funciÃ³n de Bessel de primera especie, de primer orden y Y1 es la funciÃ³n de Bessel de segunda especie de primer orden.

Resultando que la soluciÃ³n general del problema, es una combinaciÃ³n lineal de infinitas soluciones, para los infinitos auto valores de Î»; ecuaciÃ³n (26):

LaÂ  temperatura a dimensionalÂ  queda en funciÃ³n del tiempo y el radio, (ri y re). Donde: tempÃ­, es la temperatura a dimensional en el radio interior de la tuberÃ­a; temp = Ð¤(re,t): Temperatura a dimensional en el radio exterior de la tuberÃ­a.

Se calcula finalmente, la temperatura para cualquier tiempo y espesor [14]. Para la temperatura en la superficie o radio exterior (Ts); ecuaciÃ³n 27:

y para la temperatura intermedia o radio interiorÂ  (T0); ecuaciÃ³n (28):

Suposiciones, la convecciÃ³n es forzada pues el agua se mueve impulsada por bombas.

Para darle soluciÃ³n a todos estos casos, es necesario conocer o hacer algunos cÃ¡lculos como:

Ancho: l1 = Altura: l2 Longitud: Por lo tanto Ã¡rea de la baÃ±era serÃ¡: Ab = l1 X l2

Flujo de agua: Q,
CÃ¡lculo de la velocidad del agua: Ãrea de flujo de agua, Aa = Ãrea de baÃ±era â Ãrea de (tuberÃ­a, cilindro, o placa).

Ãrea de tuberÃ­a = Ï. (D/2)2 Si se conoce el flujo de agua entonces, Q = AaV Â yÂ  V = Q / Aa

Se calcula el coeficiente de transferencia de calor (h), mediante el cÃ¡lculo del nÃºmero de Reynolds, para saber si el rÃ©gimen es laminar o turbulento y Utilizar las correlaciones de Nusselt correspondiente; ecuaciÃ³n (29):

Reynolds:

donde: Ï = Densidad de agua:(kg/m3), V = Velocidad de agua: (m/s) D = DiÃ¡metro o espesor: (m)
Âµ= Viscosidad dinÃ¡mica del agua:( N.s/m2). Â Con ReD y el nÃºmero de Prandt (Pr) se calcula el NÃºmero de Nusselt (Nus). ElÂ  Pr se calcula por, ecuaciÃ³n (30):

donde: v = velocidad de difusiÃ³n de momento y α = velocidad del calor; μ = viscosidad dinÃ¡mica del agua; Cp = calor especÃ­fico del agua; K = conductividad tÃ©rmica del agua W / m. K

Este valor es fÃ¡cilmente encontrado en tablas.

CÃ¡lculo del nÃºmero de Nusselt; ecuaciÃ³n (31):

RÃ©gimen aplicable para: 0,4 < Re < 4 X 105;Â  Pr â¥ 0,7; donde: CÂ y m son constantes que se toman por tablaÂ  segÃºn el valor de Reynolds. Otras correlaciones; ecuaciÃ³n (32) y (33):

RÃ©gimen aplicable para: Re > 200 y Pr > 0,7

Coeficiente convectivo; ecuaciÃ³n (34):

Cp. = 1273J/ kg0K Calor especifico.

AdemÃ¡s, deben conocerse o calcularse, las propiedades del sÃ³lido, que se enfrÃ­a o calienta,Â  como densidad, calor especÃ­fico y Conductividad tÃ©rmica y con estos elementos se procede a la programaciÃ³n. El flujo de la mÃ¡quina utilizada, fue de 270 kg/h, con 143 kW de potencia general, se considerÃ³ un 85 %, de esa potencia, igual a 122 kW.

El programa se inicia, con la introducciÃ³n de los datos: DiÃ¡metro de la tuberÃ­a o ancho fr la placa (mm), Espesor para ambas (mm), temperatura inicial del material (â°C), temperatura del agua de enfriamiento 0C),temperatura deseada (0C) para la superficie, radio interior o centro, flujo de la mÃ¡quina (kg/h), dimensiones del intercambiador de calor, propiedades del material y del agua, 0 tipo de superficie de intercambio. Con estos datos, realiza el cÃ¡lculo del tiempo de enfriamiento, basado en el flujo segÃºn diseÃ±o de la mÃ¡quina. Posteriormente, calcula Ti y Te segÃºn la temperatura deseada en riÃ³ re, o centro y con estos datos el tiempo que demora el enfriamiento para llegar a la temperatura deseadaÂ  segÃºn sea el caso que tiene en cuenta las propiedades termofÃ­sicas del material, mediante la herramienta de trabajoÂ  (software Â Wolfram Mathematica 8.0),Â  se compara con la temperatura deseada de ser mayor o menorÂ  le suma, o le resta el valor deseado, hasta llegar a la diferencia necesaria, segÃºn la precisiÃ³n requerida.

La posibilidad de tomar parÃ¡metros, como una misma diferencia de temperatura, a la salida del extrusor y de entrada a la baÃ±era,Â  iguales espesores, distancias de enfriamiento, temperatura en el radio interior y exterior, asÃ­ como las propiedades termo fÃ­sicas del material, y demostrar como varÃ­an los tiempos de enfriamiento, las producciones, los Ã­ndices de consumo y los volÃºmenes de las geometrÃ­as en estudio.

La tabla 1, muestra, un reporte de parÃ¡metros obtenidos con la aplicaciÃ³n de la herramienta, a los que se le pueden agregar otros. El nivel de precisiÃ³nÂ Â  en tiempo real, que se quiera obtenerÂ  como es de (n = 1 hasta â), serÃ¡ fijada segÃºn la necesidad del proceso que se ejecute, (productivo o investigativo), facilidad queÂ  existe por utilizarse una programaciÃ³n de este tipo.

Otro ejemplo de las bondades de estaÂ  aplicaciÃ³n, se aprecia, al comparar basada en su exactitud, como los volÃºmenes y el tiempoÂ  de enfriamiento, disminuyen, en la medida, en que disminuyen los espesores, tendiendo a cero, demostrando esta condiciÃ³n, que verdaderamente, mientras mÃ¡s fino el espesor, mÃ¡s se acercan los valores entre ambas geometrÃ­as,Â  no obstante, se demuestra la no conveniencia, de usar, para la soluciÃ³n a problemas de tuberÃ­as de espesores finos, el darle el tratamiento como si fuera una placa, pues el resto de los indicadores a medir no presentan la misma situaciÃ³n.

Con la herramienta pudo definirse los dos parÃ¡metros principales a tener en cuenta, para lograrÂ  una eficiencia productiva y energÃ©tica de este proceso. La densidad, con correspondencia directa, con el flujo del equipo y la alcanzada con las propiedades termo fÃ­sicasÂ  del material, en funciÃ³n del proceso de enfriamiento, que aporta un parÃ¡metro mÃ¡s a tener en cuenta, para cualquier anÃ¡lisis energÃ©tico y productivo.

CONCLUSIONES

1-. Con la utilizaciÃ³n de esta herramienta de trabajo, (Wolfram Mathematica 8.0)se demostrÃ³ que para desarrollar cualquier anÃ¡lisis, del proceso productivo y definir un mejoramiento energÃ©tico,en las mÃ¡quinas extrusoras de tuberÃ­as plÃ¡sticas, es necesario, tener en cuenta, dos elementos esenciales. Para el flujo productivo, como base principal, la densidad de la materia prima y desde el punto de vista energÃ©tico, la conjugaciÃ³n, de las propiedades termo fÃ­sicas presentes en la misma, pues ambas actÃºan diferentes en el proceso.

2-. Se trabaja el programa como base con la temperatura deseada en ri y re para la tuberÃ­a que nos aporta el tiempo mÃ­nimo en alcanzarla para ambos y con este, se busca la temperatura deseadaÂ  en la placa, para calcular la producciÃ³n y los Ã­ndices de consumo, en ambas geometrÃ­as.
3-. Se demostrÃ³ ademÃ¡s que los volÃºmenes de la placa y la tuberÃ­a se reducen y tienden a cero en la medida que disminuyen sus espesores, pero referido a la producciÃ³n aumenta en la tuberÃ­a con respecto al flujo de la maquina,Â  y segÃºn las caracterÃ­sticas de la materia prima, la producciÃ³n es menor que la de la placa, con estas caracterÃ­sticas se comportan igualmente los Ã­ndices de consumo.

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Recibido: febrero de 2016