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Ingeniería Energética

versión On-line ISSN 1815-5901

Energética vol.40 no.1 La Habana ene.-abr. 2019

 

Trabajo Teórico Experimental

Comparación de métodos de cálculo de la reactancia de dispersión en transformadores de devanados helicoidales concéntricos

Comparison of methods of calculation of leakage reactance in transformers of helicoid concentric windings

Cristian Ivan Torres Suquilanda1  * 

Orestes Hernández Areu2 

1Universidad Nacional de Loja (UNL), Loja, Ecuador

2Universidad Tecnológica de La Habana, Cujae. Cuba.

ABSTRACT

Para estudiar los fenómenos que se originan durante la operación de los transformadores, empleando las herramientas de simulación existentes con resultados de una exactitud aceptable, es necesaria la obtención de datos reales del transformador y su aplicación en un modelo adecuado para cada fenómeno.Entre estos datos, tienen gran relevancia las reactancias del transformador.

En este artículo se presenta y evalúan los métodos de cálculo de la reactancia de dispersión en transformadores de devanados helicoidales concéntricos más generalizados en la literatura especializada y se propone la adecuación del método descrito por Kulkarni-Khaparde para su aplicación a devanados rectangulares. Se realiza el cálculo de la reactancia por los métodos descritos y por la variante propuesta, a un transformador de distribución, comparando los resultados teóricos con los valores obtenidos experimentalmente sobre el mismo transformador, y determinándose el error relativo que arroja cada procedimiento con relación al valor numérico de la medición realizada.

Palabras clave: inductancia; reactancia de dispersión; transformadores

RESUMEN

In order to study the phenomena that originate during the operation of the transformers, using the existing tools of simulation with results of an acceptable accuracy, is necessary to obtain real data of the transformers and apply these in a suitable model for each phenomenon.Between these data, the reactances of transformers have great relevance.This paper presents and evaluates the two methods more generalized in the specialized literature of calculation of leakage reactance in transformers of helicoidal concentric windings and is proposed the adjusting of a method described by Kulkarni-Khaparde for its application in rectangular windings. It begins with a brief description of these methods and a discussion of them .The calculation of reactance by the described methods and the proposed variant is developed to a distribution transformer, comparing the theoretical results with the values obtained experimentally on the same transformer, and determining the relative error that yields each procedure with respect to the numerical value of the realized measurements.

Key words: inductance; leakage reactance; transformers

Introducción

Desde hace algunos años, la modelación y simulación de fenómenos transitorios en los transformadores han ganado espacio en el campo de la ingeniería. La exactitud de los resultados obtenidos mediante un proceso de simulación depende del grado de detalle que se tenga en el modelo empleado y de la exactitud de los datos aportados, donde el valor de la reactancia de dispersión de los transformadores, tiene gran relevancia.

La reactancia de dispersión del transformador puede determinarse experimentalmente, mediante mediciones cuando existen las condiciones y es posible realizar el ensayo. También puede obtenerse de forma analítica con resultados razonablemente buenos. Algunos autores han documentado métodos teóricos de obtención de las reactancias de dispersión estableciendo una altura equivalente para cada bobina del transformador, como el resultado de la suma de la longitud axial de cada bobina más dos veces su espesor [1- 3]. Las expresiones de reactancias de dispersión que aportan estas publicaciones no pueden ser aplicadas directamente a transformadores con devanados de sección rectángular, dado que los autores realizan sus desarrollos sobre transformadores de devanados de secciones circulares.

El método descrito por Kulkarni-Khaparde realiza su desarrollo también sobre transformadores de devanados de secciones circulares, pero establece una altura equivalente común para todas las bobinas del devanado como el cociente de la altura real del devanado entre un factor menor que la unidad llamado Factor de Rogowski (KR) [4; 5]. Las expresiones de reactancias de dispersión que aporta tampoco pueden ser aplicadas directamente a transformadores con devanados de sección rectángular.

Ambos autores plantean expresiones de aplicación en transformador de devanados helicoidales cuyos perímetros estén inscritos en un círculo, sin embargo, la gran mayoría de los transformadores de mediana potencia y de distribución tienen devanados cuyos perímetros están inscritos en un rectángulo, por lo que es necesario realizar modificaciones a estos métodos para poder aplicarlos a estos últimos.

Materiales y métodos

En el campo magnético de dispersión de un transformador tiene notables diferencias entre la distribución del flujo de dispersión que existe en la dirección axial de la ventana del núcleo y la que existe en la dirección perpendicular a esta. Cuando las bobinas de alta tensión (AT) y baja tensión (BT) tienen la misma altura, los amper-vueltas, se encuentran distribuidos uniformemente en la altura de los devanados, entonces el flujo de dispersión es predominantemente axial, excepto en los extremos, donde se deforma buscando el camino más corto para cerrar a través del yugo o la columna del núcleo [1 - 5]. Ver figuras 1a y 1b.

Fig. 1 (a)Líneas de flujo en la dirección axial de la ventana. (b) Líneas de flujo en la dirección radial de la ventana. 

El modelo del flujo de dispersión típico que se muestra en la figura 1a, puede ser reemplazado por líneas de flujo paralelas, todas de una longitud igual a una altura equivalente como se muestra en la figura 2a.

Fig. 2 (a) Líneas del campo de dispersión con altura equivalente. (b) Diagrama de fuerza magnetomotriz. 

En la figura:

A.T.

Devanado de alta tensión

B.T.

Devanado de baja tensión

δ1

Espacio que ocupa radialmente el conductor en A.T

δ2

Espacio que ocupa radialmente el conductor en B.T

δo

Espacio entre el conductor de A.T. y B.T. También llamado entre cara activa

LI

Lado más interno del devanado

LE

Lado más externo del devanado

hd

Altura real del devanado

Av

Altura de la ventana del núcleo

Método de Juan Corrales Martín [1].

Plantea que las alturas equivalentes primaria y secundaria para las trayectorias del flujo de dispersión son las siguientes. Vea ecuaciones (1-6).

heq1=hd1   + 2δ1     (1)

Si heq1>Av,Leq1=Av (2)

heq2=hd2   + 2δ2     (3)

Si heq2>Av,Leq2=Av (4)

X1=2πFN12μ0(δ0Lm02heq1+δ1Lm13heq1)[H] (5)

X2=2πFN22μ0(δ0Lm02heq2+δ2Lm23heq2)[H] (6)

Donde:

heq1

Altura equivalente del devanado primario

heq2

Altura equivalente del devanado secundario

hd1

Altura real del devanado primario

hd2

Altura real del devanado secundario

X1

Reactancia de dispersión del devanado primario

X2

Reactancia de dispersión del devanado secundario

F

Frecuencia del sistema eléctrico

μo

Permeabilidad del vacío; 4π . 10-9 H/cm

N1

Número de vueltas del devanado primario

N2

Número de vueltas del devanado secundario

Lm1

Perímetro medio del devanado primario

Lm2

Perímetro medio del devanado secundario

Lmo

Perímetro medio de la entre cara activa

Método de Kulkarni-Khaparde [4, 5].

Plantea que una altura equivalente para todos los devanados como se muestra en las ecuaciones (7) y (8).

heq=hdKR (7)

Donde:

KR

Factor de Rogowski.

KR=11eπhd/(δ1+δ0+δ2)πhd(δ1+δ0+δ2) (8)

El factor de corrección de Rogowski es utilizado para tener en cuenta el flujo de dispersión en la parte superior e inferior de los devanados y el efecto del núcleo magnético [6;7].

Los autores consideran un trayecto cerrado de flujo a una distancia x desde el lado interior (LI) del devanado, estableciendo la densidad de flujo como se muestra en la ecuación (9).

Bx=μ0(NI)xheq  [T] (9)

Para llegar a la ecuación de la reactancia, se obtiene una expresión general de las concatenaciones de flujo de un tubo de flujo con una altura equivalente heq y una pared de grosor δ, como se aprecia en la figura 3.

Fig. 3 Tubo de flujo con una altura equivalente heq y una pared de grosor δ. 

En la figura 3; NI es el valor de los amper-vueltas nominales del devanado, a(NI) y b(NI) son las fracciones de amper-vueltas correspondientes a LI y LE respectivamente.

Para un punto a una distancia x desde LI la f.m.m. se puede plantear según la ecuación (10).

f.m.m.x=a(NI)+[b(NI)a(NI)]xδ          [Av] (10)

Sustituyendo la ecuación (9) en la ecuación (8) y sacando factor común NI; el valor eficaz de la densidad de flujo a una distancia x de LI queda según la ecuación (11).

Bx=μ0heq[a+baδx]NI[T] (11)

Las concatenaciones de flujo de un tubo de flujo incremental de ancho de x emplazado en x, son las expresadas en la ecuación (12).

=Nxϕx (12)

Donde:

ϕx

Flujo que concatena con las vueltas Nx

Nx

Cantidad de vueltas en el punto x. Se puede obtener de acuerdo con la ecuación (13)

Nx=aN+(bNaN)xδ    [vueltas] (13)

Si se tiene en cuenta lo que se expresa en la ecuación (14):

Ф=BA[Wb] (14)

Donde:

A

Área de la pared del tubo de flujo, m2

Entonces la ecuación (11), se puede transformar en ecuación (15).

=NxBxdA (15)

Donde dA es el área incremental del tubo de flujo.

Sustituyendo las ecuaciones (11) y (13) en (15), quedan las ecuaciones (16) y (17).

={(a+baδx)N}{μ0heq(a+baδx)NI}dA (16)

={μ0heq(a+baδx)2N2I}dA (17)

En devanados circulares concéntricos, como se muestra en la figura 4, el área incremental del tubo de flujo se obtiene según la ecuación (18).

dA=π(LI+2x)dx (18)

Sustituyendo la ecuación (18) en (17) queda la ecuación (19).

={μ0heq(a+baδx)2N2I}[π(LI+2x)dx] (19)

Fig. 4 Devanados helicoidales circulares concéntricos. 

En la figura:

D1

Diámetro medio del devanado primario

D2

Diámetro medio del devanado secundario

Dm

Diámetro medio de todo el devanado o la entre cara activa

Por lo tanto, el flujo total del tubo se obtiene de la siguiente integral. Vea ecuación (20).

ψ=0δ=μ0πN2Iheq0δ{(a+baδx)2}(LI+2x)dx (20)

Integrando y resolviendo, la ecuación (20) queda de la siguiente manera. Vea ecuación (21)

ψ=μ0πN2Iheqδ3[(a2+ab+b2)LI+(a2+ab+b2)3δ2(2a2+ab)δ2] (21)

El último término dentro de los corchetes puede ser despreciado sin que esto arroje un error apreciable [4, 5]. Vea ecuación (22).

ψ=μ0πN2Iheqδ3(a2+ab+b2)[LI+3δ2] (22)

El término [LI + 3δ/2] puede ser considerado igual al diámetro medio (Dm) del tubo de flujo (esto es admisible, principalmente, para arrollamientos que tienen valores de diámetro comparativamente más grande que los valores de sus espesores radiales) [4; 5]. Vea ecuación (23).

ψ=μ0πN2Iheqδ3(a2+ab+b2)Dm (23)

Se considera. Vea ecuación (24).

ATDC=δ3(a2+ab+b2)Dm (24)

Que corresponde al área del Diagrama de Amper - Vueltas para el caso del devanado de forma circular. La inductancia de dispersión de un transformador con n tubos circulares de flujo se puede obtener como se muestra en la ecuación (25). [4; 5]:

L=k=1nψI=μ0π N12heqk=1nATDC (25)

Y la correspondiente expresión para la reactancia de cortociruito Xcc es como se muestra en la ecuación (26). [8-10]:

Xcc=2πFμ0 π N12heqk=1nATDC (26)

Las constantes a y b de la ecuación (24) tienen los valores de 0 y 1 para BT, 1 y 1 para la entre cara activa y 1 y 0 para AT. Entonces, utilizando la ecuación (26) se obtiene el área del Diagrama de Amper - Vueltas para devanados cilíndricos como se muestra en la ecuación (27).

ATDC=13(δ1D1)+(δ0Dm)+13(δ2D2) (27)

Modificación del método de Kulkarni-Khaparde para devanados helicoidales con forma rectangular.

Cuando el núcleo y el devanado tienen sección rectangular el Diagrama de Amper - Vueltas no es el mismo dado que el área incremental del tubo de flujo y los perímetros de los devanados tienen otra forma de obtención.

Haciendo el análisis para un trayecto cerrado de flujo a una distancia x desde el lado interior de un devanado de forma rectángular como se muestra en la figura 5, se tiene:

Fig. 5 Vista superior de la sección del tubo de flujo de forma rectangular. 

En la figura:

Afe

Longitud del lado menor de la columna del núcleo magnético rectangular

Pro

Longitud del lado mayor de la columna del núcleo magnético rectangular

LI1

Longitud del lado interior menor del devanado

LI2

Longitud del lado interior mayor del devanado

Lm

Longitud media de la espira del devanado a una distancia x

Hola

Holgura entre el núcleo y el devanado por su lado de mayor longitud

Holp

Holgura entre el núcleo y el devanado por su lado de menor longitud

En este caso, el área incremental del tubo rectangular de flujo se obtiene según la ecuación (28).

dA=(2LI1+2LI2+2πx)dx (28)

Donde:

Dado que (2LI1+2LI2) es el perímetro interno del tubo rectangular, la ecuación (28) se escribe como se muestra en la ecuación (29)

dA=(Pint+2πx)dx (29)

Donde:

Pint

perímetro interno del tubo rectangular

Sustituyendo la ecuación (29) en la ecuación (17), queda la ecuación (30).

={μ0heq(a+baδx)2N2I}[(Pint+2πx)dx] (30)

Por lo tanto, el total de las concatenaciones de flujo de un tubo de forma rectangular está dado por la ecuación (31).

ψ=0δ=μ0N2Iheq0δ(a+baδx)2(Pint+2πx)dx (31)

Resolviendo la integral, aplicando la regla de integración por partes, queda de la siguiente manera. Vea ecuación (32).

0δ(a+baδx)2(Pint+2πx)dx==δ3[(a2+ab+b2)(Pint+12πδ)+12πδ(ab+2b2)] (32)

Sumando y restando a2 en el último término dentro del paréntesis de la ecuación (32), y sacando factor común, queda de la siguiente manera. Vea ecuación (33).

0δ(a+baδx)2(Pint+2πx)dx==δ3[(a2+ab+b2)(Pint+12πδ)+12πδ(a2+ab+b2)12πδ(a2b2)] (33)

0δ(a+baδx)2(Pint+2πx)dx==δ3[(a2+ab+b2)(Pint+πδ)(a2b2)πδ2]

Sustituyendo la ecuación (33), en la ecuación (31), queda la ecuación (34):

ψ=μ0N2Iheqδ3[(a2+ab+b2)(Pint+πδ)(a2b2)πδ2] (34)

El Diagrama de Amper - Vueltas para el caso de devanado de forma rectangular, sería como se muestra en la ecuación (35).

ATDR=δ3[(a2+ab+b2)(Pint+πδ)(a2b2)πδ2] (35)

El ATDR para el devanado primario, se tiene la ecuación (36).

ATDR1=δ13(Pint1+12πδ1) (36)

El ATDR para la entre cara activa del devanado, es la ecuación (37).

ATDR0=δ0(Pint0+πδ0) (37)

Y el ATDR para el devanado secundario, se tiene la ecuación (38).

ATDR2=δ23(Pint2+32πδ2) (38)

El ATDR para el cálculo de la inductancia tanto del primario como secundario, es la suma del área del devanado primario ecuación (36), y/o devanado secundario ecuación (38), más la mitad del área de la entre cara activa ecuación (37), por lo tanto las reactancias de dispersión primaria y secundaria tendrán la siguiente forma. Vea las ecuaciones (39) y (40).

X1=2π FN12μ0heq[δ02(Pint0+πδ0)+δ13(Pint1+12πδ1)][Ω] (39)

X2=2π FN22μ0heq[δ02(Pint0+πδ0)+δ23(Pint2+32πδ2)][Ω] (40)

De la reactancia de dispersión del devanado primario y secundario, se puede calcular la reactancia de cortocircuito, por la ecuación (41).

Xcc=X1+[X2(N1N2)2] (41)

Resultados y discusión

Cálculo de la reactancia por los métodos descritos

Se muestran los resultados del cálculo de la reactancia de dispersión de un transformador de distribución de dos devanados cuya reactancia de cortocircuito medida según [11] es 39,618 Ω. Los parámetros físicos del transformador, se muestra en la tabla 1.

Tabla 1 Parámetros físicos del transformador de 50 kVA, 7620/240 - 480 V. 

Descripción Símbolo Magnitud Unidad
Ancho de la columna del núcleo del transformador Afe 11,60 [cm]
Profundidad de la columna del núcleo del transformador Pro 20,00 [cm]
Holgura por el ancho de la columna del núcleo Hola 0,30 [cm]
Holgura por la profundidad de la columna del núcleo Holp 0,40 [cm]
Altura de la bobina del devanado primario hd1 15,80 [cm]
Altura de la bobina del devanado secundario hd2 15,80 [cm]
Espesor de la bobina primaria δ1 2,32 [cm]
Espesor de la entre cara activa δo 0,52 [cm]
Espesor de la bobina secundaria δ2 3,01 [cm]
Perímetro medio del devanado de AT Lm1 101,30 [cm]
Perímetro medio de la entre cara activa Lmo 89,63 [cm]
Perímetro medio del devanado de BT Lm2 76,16 [cm]
Perímetro interno del devanado primario Pint1 89,62 [cm]
Perímetro interno de la entre cara activa del devanado Pinto 86,32 [cm]
Perímetro interno del devanado secundario Pint2 66,00 [cm]
Frecuencia F 60,00 [Hz]
Número de vueltas del devanado primario N1 890,00 [vueltas]
Número de vueltas del devanado secundario N2 52,00 [vueltas]

El valor de heq se calcula por medio de la ecuación (6), en la cual el factor de Rogowski está dado por la ecuación (7).

KR=0,8819heq=17,9059  [cm]

Cálculo de las reactancias por el método de Kulkarni-Khaparde

Para la aplicación del método, dado que la sección de la columna del núcleo del transformador en cuestión es rectangular, el diámetro interior (LI) del devanado de BT, se tiene que obtener como el valor promedio entre los valores LI1 y LI2 del tubo rectangular de flujo. Estos son la suma de los lados de la columna del núcleo más las holguras, ver figura 5 y ecuación (42):

LI=LI1+LI22=(Afe+2Hola)+(Pro+2Holp)2=16,5     [cm] (42)

Los diámetros medios de los devanados de BT y AT, y del espacio entre BT y AT se calcula a partir de las ecuaciones (43), (44) y (45).

D2=LI+δ2=19,51   [cm] (43)

D0=LI+2δ2+δ0=23,045   [cm] (44)

D1=LI+2δ2+2δ0+δ1=25,89   [cm] (45)

El valor de ATDC se calcula a partir de la ecuación (26):

ATDC=51,7357 [cm2]

Aplicando la ecuación (25), para calcular la reactancia de cortocircuito para devanados de forma circular, se tiene:

Xcc = 34,055 [Ω]

El error relativo que se obtiene con la aplicación de este método se obtiene por la ecuación (46):

Error relativo=XmedidaXcalculadaXmedida100=39,618 34,05539,618 100=14,04% (46)

Cálculo de las reactancias con la modificación del método de Kulkarni-Khaparde

Para la aplicación del método de Kulkarni-Khaparde modificado para devanados rectangulares, las reactancias de dispersión y de cortocircuito se calculan mediante las ecuaciones (39), (40) y (41):

X1=19,956          [Ω]

X2=0,0740765   [Ω]

Xcc=41,656        [Ω]

El error relativo que se obtiene con la aplicación de este método se obtiene por la ecuación (46):

Error relativo=5,14%

Conclusiones

  1. Mediante la modificación del método de Kulkarni-Khaparde, se llega a un área del Diagrama de Amper - Vueltas para devanados rectangulares más exacta que la obtenida por los métodos clásicos Kulkarni-Khaparde y de Juan Corrales Martín.

  2. El cálculo de la reactancia de dispersión para devanados de forma rectangular mediante la modificación del método de Kulkarni-Khaparde, es más exacto que por los métodos de Kulkarni-Khaparde y de Juan Corrales Martín.

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Recibido: 01 de Abril de 2018; Aprobado: 01 de Septiembre de 2018

*Autor para correspondencia: Cristian Ivan Torres Suquilanda. E-mail:cristivantorres@gmail.com

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