Servicios personalizados
Español (pdf)
Articulo en XML
Referencias del artículo
Enviar articulo por email
Citado por SciELO 
Similares en
SciELO 
Permalink
Introducción
El acelerado incremento de la tecnología LEDs en los sistemas de iluminación ha traído consigo que la predicción de la confiabilidad de estos dispositivos se convierta en un desafío y un tema de vital interés dentro de la comunidad científica moderna. Los mecanismos y modos de falla de estos dispositivos son muy complejos y los métodos tradicionales, frecuentemente usados para detectar fallas en las fuentes tradicionales de iluminación, no pueden ser aplicados a los LEDs, debido a que estos se degradan continuamente; es decir, los valores de los indicadores de desempeño (flujo luminoso, coordenadas de cromaticidad, entre otros) varían eventualmente hasta alcanzar niveles que constituyen fallas.
También el incremento de los procesos y nuevos materiales en la industria de la iluminación basada en LEDs han provocado que estén apareciendo modos de fallas desconocidos [1]. Esto ha abierto el camino para que los métodos de predicción de la confiabilidad de los LEDs se conviertan en temas de investigación constante en el campo de la iluminación artificial. En la confiabilidad de los LEDs, con la excepción de algunos posibles fallos catastróficos, los modos de fallas más importantes son la degradación del flujo luminoso y el cambio de color [2, 3]. La Alianza para Sistemas y Tecnologías de Iluminación de Estado Sólido (ASSIST, Alliance for Solid-StateIlluminationSystems and Technologies) define dos tipos de vida útil según el flujo luminoso, en condiciones específicas. Uno es el tiempo de vida L 50 para la iluminación decorativa, que es el tiempo que el flujo luminoso alcanza una degradación del 50% y el otro es el tiempo de vida L
70
para la iluminación general, que consiste en el tiempo en que el flujo luminoso se degrada hasta el 70% (disminuye en un 30% con respecto al valor inicial [4]. Por otra parte, los criterios para el mantenimiento del color para los LEDs de alta potencia están establecidos en la norma ANSI/IES TM-35-19 [5], la cual plantea como umbral de falla, una desviación de las coordenadas de cromaticidad de 
(criterio CS7 según norma ANSI/IES TM-35-19).
Actualmente, en la evaluación de la confiabilidaden el campo de la iluminación de estado sólido, predomina el análisis univariado con distribuciones tradicionales de probabilidad como la distribución Normal, la distribución Lognormal y la distribución de Weibull; pese a que los parámetros característicos más importantesde los LEDs son el mantenimiento del flujo luminoso y el mantenimiento del color,y considerar un solo modo de falla podría limitar el alcance del análisis. Precisamente, atendiendo a los planteamientos anteriores y a la paulatina introducción en Cuba de sistemas de iluminación basados en LEDs, y con el objetivo de ofrecer una línea de trabajo, información base y otras alternativas para el análisis y evaluación de la confiabilidad de LEDs empleados en iluminación, este artículo muestra el procedimiento para la obtención de modelos de confiabilidad de LEDs blancos mediante Cópulas bivariantes,a partir de ‘’tiempos hasta el fallo’’ obtenidos según criterio L 70 de ASSIST y ANSI/IES TM-35-19 tomados de la literatura consultada.
Materiales y métodos
Los términos “función cópula” o “cópula se refieren a una función de distribución que es capaz de asociar una función de distribución multivariada, con sus distribuciones marginales de bajo orden [6, 7]. Actualmente las cópulas se han convertido en una fuerte herramienta en la modelación multivariada en muchos campos, donde la dependencia multivariada es de gran interés. En la ingeniería, este tipo de herramienta es utilizada en control de procesos multivariados y en el modelamiento hidrológico [8, 9]. La clase de cópulas llamadas Arquimedianas, la cual agrupa algunos modelos de cópulas con propiedades analíticas más sencillas y sus elementos tiene propiedades estocásticas que los hacen activos para el tratamiento estadístico de los datos, pueden describir una gran variedad de estructuras de dependencia. En el presente trabajo, para obtener los modelos de confiabilidad de LEDs blancos utilizados en iluminación en base a la degradación del flujo luminoso y al cambio de color como modos de falla, se emplean cópulas bivariadas Arquimedianas como las cópulas de Frank, Clayton y Gumbel.
Funciones cópulas bivariadas
Una cópula 2-dimensional es una función C que cumple con las siguientes propiedades [6, 7], vea ecuación (1):
(1)
La primera condición permite utilizar una cópula sobre los valores tomados por funciones de distribución. La segunda condición es el requisito de tener distribuciones marginales Uniformes. Las otras dos condiciones son propias de toda función de distribución bivariante.
Uno de los resultados más importantes en teoría de cópulas es el Teorema de Sklar, el cual plantea que:
Teorema de Sklar (versión bivariante): dada una función de distribución bivariante F(x
1,
x
2
) con distribuciones marginales F
1
, F
2
, existe una cópula 
tal que
en R
2
se tiene la ecuación (2):
(2)
Entonces: existe una cópula que toma sobre todo 
los mismos valores numéricos que la función de distribución F(x
1,
x
2
). Decimos que C es la cópula de la distribución F. Nótese que 
y 
serán variables U(0,1).Si las distribuciones marginales son continuas, dicha cópula es única [6, 7].
Las cópulas, al igual que las funciones de distribuciones de variables aleatorias continuas, admiten la noción de función de densidad. La función de densidad c(u, v) asociada a la cópula C(u, v) está dada por: ecuación (3).
(3)
Para variables aleatorias continuas, la densidad de la cópula está relacionada con la densidad de función de distribución F(x 1, x 2 ), denotada como f(x 1, x 2 ).
Si f(x 1, x 2 ) y f(x 1), f(x 2 ) denotan la las funciones de densidad conjunta y las densidades marginales de las variables aleatorias X1, X2 respectivamente, con función de distribución conjunta F(x 1, x 2 ), entonces: vea ecuación (4).
(4)
De ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.3) se tiene la representación canónica de una cópula, que es de la siguiente forma: vea ecuación (5).
(5)
Cópulas Utilizadas
Las cópulas con mayor campo de aplicación son las cópulas arquimedianas, pues, pueden describir una gran diversidad de estructuras de dependencia [7]. En general existen cerca de 22 familias, pero para este trabajo se seleccionaron las tres más utilizadas, las cuales se relacionan en la tabla 1.
y 
Medidas de dependencia de las cópulas
En la mayoría de los casos las cópulas, representan distribuciones conjuntas de parejas aleatorias continuas, una de las características de estas funciones es capturar la dependencia entre variables aleatorias de forma invariante al reescalamiento [6, 7]; esto significa que las propiedades y las medidas no cambian al realizar transformaciones estrictamente crecientes sobre las variables aleatorias. De esta forma, las medidas de asociación invariantes bajo reescalamiento y las de concordancia pueden estudiarse sin necesidad de especificar las distribuciones marginales.
Entonces; si X1 y X2 son variables aleatorias continuas con función de distribución conjunta F(x1, x2) y distribuciones marginales F(x1) y F(x2) respectivamente, sea C una cópula, tal que se cumpla [1], entonces 
de Spearman, y τ de Kendall para X1 y X2 pueden ser expresados, en términos de cópulas, como: vea ecuación 6 y 7., denotada como f(x
1,
x
2
).
(6)
(7)
En la tabla 2, se presentan las medidas de correlación por rangos para las cópulas empleadas en el método propuesto, en ella puede observarse que tanto ρ r como τ, en algunas cópulas, se pueden expresar en función del parámetro de dependencia de la cópula [6, 7].
Tabla 2 Expresiones para la correlación en términos del parámetro de dependencia de la cópula
| Nombre y dominio de θ | τ |
ρ
|
|---|---|---|
Clayton 
|
|
* |
Frank 
|
|
|
| Gumbel
|
|
* |
∗ No se tiene una expresión explícita para ρ r en términos de θ.
D
k
(x)es la Función de Debye,
Métodos para estimar los parámetros de dependencia de la cópula
Cuando se conocen los parámetros de las marginales, los métodos más empleados en la estimación de parámetros de dependencia de cópulas son el método de estimación de máxima verosimilitud (MLE, por sus siglas en inglés) y el método de inferencia por las marginales (IFM, por sus siglas en inglés). En el MLE se debe maximizar la función log-verosimilitud que es de la forma [6, 7]. Vea ecuación (8):
(8)
La implementación de este método es muy compleja, pues se debe maximizar una función (n + nc) -dimensional, donde n es la dimensión de la cópula y nc es el número de parámetros de la cópula, por lo que puede ser muy caro computacionalmente. Una alternativa para superar este problema es el IFM, el cual fue el empleado en el método propuesto. El IFM propone obtener los parámetros de [5], en los siguientes pasos:
1. Estimar el vector de parámetros de las marginales θ1: ecuación (9).
(9)
2. Estimar, una vez obtenido el vector de parámetros , el parámetro de la cópula θ2. Ecuación (10):
(10)
Entonces, el estimador IFM se define como: ecuación (11):
(11)
Discusión de los resultados obtenidos
A continuación, se presenta la obtención de modelos de confiabilidad de LEDs blancos empleados en iluminación, a partir de las funciones de Cópulas Arquimedianas de los “tiempos hasta el fallo”, tomados de los resultados de Jian Hao y Hong-LiangKe [10], los cuales se muestran en la tabla 3, expresados horas (h).
Tabla 3 Muestra de tiempo hasta el fallo de LEDs blancos durante el tiempo real 20 000 h
| Modode falla | Tiempos hasta el fallo (h) | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| t1 | t2 | t3 | t4 | t5 | t6 | t7 | t8 | t9 | t10 | |
| Degradación del Flujoluminoso | 19662 | 17230 | 12127 | 18642 | 16733 | 17804 | 14621 | 16653 | 16375 | 16533 |
| Cambio de color | 9845 | 12036 | 8563 | 12789 | 9120 | 8126 | 13056 | 12965 | 13021 | 12063 |
Estimación de los parámetros
Los resultados de los parámetros desconocidos de las distribuciones deWeibull, Lognormal y Normal, y la prueba de bondad de ajuste Kolmogorov-Smirnov (K-S) y el Criterio de Información Akaike (AIC, por sus siglas en inglés) [11], correspondientes,se muestran en la tabla 5 y tabla 6, parala “degradación del flujo luminoso” y el “cambio de color”, respectivamente. Las hipótesis trabajadas enlas pruebas K-S con un nivel de confianza de 95%, se exponen en la tabla 4, donde𝑥 es la variable “tiempo hasta el fallo”. Los parámetros de las distribuciones anteriormente mencionadas se calcularon según el MLE programado en una herramienta computacional.
Tabla 4 Hipótesis trabajadas en las pruebas K-S con un nivel de confianza de 95%
| Para la Distribución de Weibull | Para la Distribución Lognormal | Para la Distribución Normal |
|---|---|---|
|
|
|
Tabla 5 Parámetros estimados y el resultado de la prueba K-S (con un nivel de confianza de 95%, D(=0,410 [12]) para la degradación del flujo luminoso
| Weibull | Lognormal | Normal | |
|---|---|---|---|
| Parámetro de Escala |
|
|
|
| Parámetro de Forma |
|
|
|
| p_valor | 0.320202 | 0.03077292 | 0.030773 |
| K_S | 0.198716 | 0.27582985 | 0.27583 |
| Valor Crítico | 0.2606 | 0.262 | 0.262 |
| AIC | 183.0966 | 185.504405 | 184.2936 |
Tabla 6 Parámetros estimadosy el resultado de la prueba K-S (con un nivel de confianza de 95%, D(=0,410 [12]) para el cambio de color
| Para el Cambio de color | Weibull | LogNormal | Normal |
|---|---|---|---|
| Parámetro de Escala |
|
|
|
| Parámetro de Forma |
|
|
|
| p_value | 0.067211 | 0.02187316 | 0.02187316 |
| K_S | 0.25226839 | 0.28454605 | 0.28454605 |
| Valor Crítico | 0.2606 | 0.262 | 0.262 |
| AIC | 182.394023 | 184.281817 | 183.505382 |
Los resultados en la tabla 5 y tabla 6, muestran que, para las distribuciones Log-normal y Normal se rechazan las hipótesis nulas, y, además, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis de que los datos (tiempos hasta el fallo para la degradación del flujo luminoso y para el cambio de color) siguen distribuciones de Weibull. También, el valor del AIC, confirma que el mejor ajuste lo tiene la distribución de Weibull para ambos modos de falla.
Análisis de confiabilidad a partir de Cópulas Arquimedianas
Para la estimación del parámetro de dependencia de las cópulas se empleó el método IFM, cuyas marginales fueron las distribuciones de Weibull mostradas en la tabla 5 y la tabla 6, las cuales presentaron un mejor ajuste. En las figuras 1 y 2, se muestran los gráficos de las funciones de densidad de probabilidad (PDF, por sus siglas en inglés) y funciones de distribución (CDF, por sus siglas en inglés), respectivamente, para las muestras de los “tiempos hasta el fallo” correspondientes a la variación del flujo luminoso y al cambio de color.
La evaluación de la confiabilidad en base a la “degradación del flujo luminoso” y al “cambio de color” como modos de fallas, se realizó a partir de la función de distribución conjunta de la cópula seleccionada entre las Arquimedianas mostradas en la tabla 2. Los parámetros de dependencia, obtenidos mediante una herramienta computacional, así como el AIC y el coeficiente de correlación de Kendall para cada una de las cópulas anteriormente mencionadas, se muestran en la tabla 7.
Tabla 7 Parámetros estimadosy el resultado de la prueba AIC
| Familia de CópulasArquimedianas | Parámetro de dependencia ( |
AIC | τ de Kendall |
|---|---|---|---|
| Frank | 20802.3184601291 | 164.437456847873 | 0.999807728945721 |
| Clayton | 2.22293263566071 | 156.639780048947 | 0.526395476188531 |
| Gumbel | 20.5758360415765 | 158.120552129782 | 0.951399301686729 |
En la tabla 7, puede observarse, que, según el valor del AIC, la cópula con mejor ajuste es la cópula de Clayton; por dicha razón es seleccionada para el análisis de confiabilidad. Además, el coeficiente de correlación de Kendall con un valor de 52,6% confirma que, la degradación del flujo luminoso (criterio L70) y el cambio de color tienen cierta relación entre ellos, pero siguen siendo modos de fallas independientes y nunca el mismo; es decir, uno influye en el otro y viceversa pero no de manera absoluta; cada uno se comporta en el tiempo de forma diferente. En la figura 3, se muestran las gráficas de la función de distribución acumulada 
y la función de confiabilidad 
de la cópula de Clayton.
Otro indicador de confiabilidad que se obtuvo fue el “Tiempo Medio Hasta el Fallo” (MTTF, por sus siglas en inglés).
La función matemática que define el tiempo medio hasta el fallo μ, está dada por: vea ecuación (12).
(12)
Donde R(t) es la función de confiabilidad, por tanto, vea ecuación (13):
(13)
La integral 
, o área bajo la curva de la función de confiabilidad de la figura 3, se determinó mediante el método de los trapecios, programado en una herramienta computacional; entonces: vea ecuación (14).
(14)
Concluciones
Se demuestra, a partir de “tiempos hasta el fallo” obtenidos, de acuerdo a los criterios L 70 de ASSIST y CS7 de la norma ANSI/IES TM-35-19, en ensayo de envejecimiento natural fijado a las 20.000 h, tomado de la literatura consultada, la pertinencia de la aplicación de la familia de Cópulas Arquimedianas para la obtención de modelos de confiabilidad de LEDs blancos empleados en iluminación. Los análisis realizados muestran la importancia de la aplicación conjunta de los dos criterios de falla más importantes de los LEDs, para la evaluación de la confiabilidad de dichos dispositivos electrónicos. Además, pudo observarse que las funciones con mejor ajuste son la distribución de Weibull para el caso de las marginales para la “degradación del flujo luminoso” y el cambio de color, y la cópula Clayton para el análisis bivariado, respectivamente.
