ARTÍCULO ORIGINAL

Modelación matemática y caracterización analítica de un sensor de proximidad ultrasónico

Ing. Javier A. León-Martínez^{2  *} 

Dr.C. Antihus A. Hernández-Gómez² 

Dr.C. Ciro E. Iglesias-Coronel³ 

²Universidad Agraria de La Habana, Facultad de Ciencias Técnicas, San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba

³Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo, Manabí, Ecuador.

RESUMEN

La investigación aborda la modelación matemática, así como la caracterización analítica, del prototipo de un sensor de proximidad basado en ecolocalización acústica ultrasónica con compensación térmica. Se expone la caracterización analítica del comportamiento del medio de propagación ante la perturbación acústica producida por el sensor, a partir de una función de correlación ajustada a la señal de excitación real generada por el mismo. Se trata además la influencia de las condiciones catóptricas del límite de separación, entre el aire y un conjunto de materiales, en la intensidad del eco. Así mismo, es caracterizada analíticamente la respuesta del sensor ante el eco, considerando el peor de los casos, relativo a las condiciones catóptricas de formación del mismo.

Palabras clave: sensor ultrasónico; excitación acústica; coeficiente de reflectividad acústica; intensidad del eco

INTRODUCCIÓN

La medición automatizada de proximidad/distancia resulta imprescindible para abordar la creciente complejidad de un gran número de sistemas productivos. En este sentido se destacan los sensores basados en ecolocalización acústica ultrasónica. Diversos autores (^{Siemens, 2008}; ^{Gómez y López, 2009}; ^{Montoya, 2013}; ^{Domínguez, 2014}; ^{Moreno, 2016}; ^{Bermudez-Aguirre, 2017}), señalan que estos sistemas poseen aplicaciones potenciales en: el almacenamiento de alimentos; el control del consumo de combustible; la medición de parámetros estructurales en redes viales; la determinación del volumen de agua almacenado en tanques, presas, micropresas y pozos; en instrumentos especializados, como los penetrómetros de índice de cono; en robótica y en la automatización de procesos agrícolas y agroindustriales entre otros.

Esto resulta viable debido a algunas ventajas que marcan la diferencia frente a otros métodos de medición automatizada de proximidad/distancia (^{Siemens, 2008}; ^{Cuamatzi et al., 2010}; ^{Kentish, 2017}), entre las que resultan relevantes: la elevada inmunidad a las vibraciones mecánicas; la elevada inmunidad a condiciones de trabajo adversas (ruido ambiental, polvo, gases, entre otras); el rango de medición que abarca desde decenas de centímetros hasta metros y el costo comparativamente bajo.

En este sentido, la modelación matemática de sistemas de medición posee un papel muy importante en la caracterización, diseño y simulación de sistemas de control automático de procesos (^{Placko, 2006}; ^{Stephan, 2011}). Por ello, en este trabajo es abordada la modelación matemática, así como la caracterización analítica, del prototipo de un sensor de proximidad basado en ecolocalización acústica ultrasónica con compensación térmica (Figura 1), cuya fundamentación y diseño han sido tratados en trabajos precedentes (^{León-Martínez et al., 2018}, ²⁰¹⁹).

FIGURA 1 Sensor ultrasónico de proximidad. 

En este trabajo se expone la caracterización analítica del comportamiento del medio de propagación, ante la perturbación acústica producida por el sensor. Se aborda además la influencia de las condiciones catóptricas del límite de separación en la intensidad del eco. Así mismo, es caracterizada analíticamente la respuesta del sensor ante el eco, considerando las posibilidades del mismo en el caso en que se evidencia un menor coeficiente de reflectividad acústica.

MÉTODOS

En la Figura 2 se muestra un diagrama que relaciona los componentes activos de un sistema de medición basado en ecolocalización (el sensor y el dispositivo de control y la adquisición de los datos), así como su interacción con los componentes pasivos que componen el medio físico (el medio de propagación y el obstáculo de un material determinado).

FIGURA 2 Diagrama en bloques del principio físico de medición por ecolocalización. 

El diagrama en bloques de la Figura 2 constituye un modelo para la descripción del principio físico de medición/detección por ecolocalización. La variabilidad de los parámetros que caracterizan a los componentes pasivos del mismo, impone un grado no despreciable de incertidumbre al proceso de medición. Tal es el caso de la influencia de la temperatura del medio de propagación, aspecto que fue tratado en un trabajo precedente (^{León-Martínez et al., 2018}). No obstante, resulta relevante la estimación de la influencia del medio de propagación en el frente de onda de excitación generado por el sensor. Así mismo, resulta de interés conocer en qué medida ejerce influencia sobre la señal de eco a detectar por el sensor, las posibles variaciones en las condiciones catóptricas del límite de separación entre el aire y un conjunto diverso de materiales (ver la Tabla 1).

Excitación acústica del medio bajo las condiciones de trabajo del sensor

El elemento activo del transductor 10CK40T, empleado en el sensor, consiste en un resonador piezoeléctrico de cuarzo. El mismo actúa como una especie peculiar de filtro sobre la señal de pulsos generada por el subsistema de excitación del sensor (^{León-Martínez et al., 2018}). Por esta razón, en la práctica la señal de excitación resultante no es exactamente de forma cuadrada (Figura 3). Por ello, en aras de facilitar la caracterización de su comportamiento, resulta conveniente su ajuste a una función analítica de correlación, a partir del registro de la señal de excitación real (^{Zilesny, 2011}). Para conseguir este fin, es pertinente el empleo de la siguiente función:

$V_{exc}\left(t\right)=a\left[sen\left(2\pi f_{exc}t+c\right)+b\bullet sen\left(6\pi f_{exc}t+c\right)\right], V$ (1)

donde:

$a$ :	Amplitud de la componente armónica principal de la función $V_{exc}\left(t\right)$ , $V$ ;
$b$ :	Relación adimensional entre las amplitudes de la componente armónica principal y la secundaria respectivamente;
$c$ :	Fase de la función $V_{exc}\left(t\right)$ , $rad$ ;
$f_{exc}$ :	Frecuencia nominal del transductor 10CK40T, $Hz$ ;
$t$ :	Tiempo, $s$ .

Los parámetros $a$ , $b$ y $c$ constituyen los coeficientes de correlación para el ajuste de la función (1) a la señal real generada por el sensor para la excitación del transductor 10CK40T.

La función de onda correspondiente a un frente de onda esférico (^{Crawford,1968b}; ^{Young y Freedman, 2009}; ^{Ginsberg, 2018}), generado a partir de la señal descrita por la ecuación (1), está dada por:

${\psi }_{exc}\left(r,t\right)=A_{0exc}\frac{r_{0exc}}{r}\left[sen\left(2\pi f_{exc}t-k_{exc}r+c\right)+\cdots \right.$

$\left.\cdots +b\bullet sen\left(6\pi f_{exc}t-{3k}_{exc}r+c\right)\right], m$ (2)

donde:

$r$ :	Distancia de propagación de la onda en el instante de tiempo $t$ , $m$ ;
$r_{0exc}$ :	Radio de la superficie de emisión del transductor 10CK40T, $m$ .

El número de onda de la componente armónica principal de la función de onda (2), se determina según:

$k_{exc}=\frac{2\pi f_{exc}}{v_s}, rad/m$ (3)

siendo:

$v_s$ :

Velocidad del sonido en el aire, $m/s$ .

Así mismo, la amplitud de las oscilaciones en la superficie de emisión del transductor 10CK40T será:

$A_{0exc}=\frac{1}{\pi f_{exc}}\sqrt{\frac{I_{0exc}}{2{\rho }_{air}{v}_s}}, m$ (4)

donde:

${\rho }_{air}$ :

Densidad del aire, $kg/m^3$ .

La intensidad de la onda en la superficie de emisión del transductor 10CK40T, dadas las condiciones de diseño del sensor, se determina a partir de:

$I_{0exc}=I_{ref}{\bullet 10}^{\left(\frac{{\beta }_{max}}{10}\right)}\bullet \frac{2\bullet max\left[V_{exc}\left(t\right)\right]}{V_{ppmax}}, W/m^2$ (5)

donde:

$I_{ref}$ :	Intensidad del sonido de referencia, ${10}^{-12}W/m^2$ .
${\beta }_{max}$ :	Nivel de presión sonora máximo del transductor 10CK40T, $dB$ ;
$V_{ppmax}$ :	Voltaje de entrada máximo (pico a pico) del transductor 10CK40T, $V$ .

Dependencia entre la sensibilidad del sensor y las propiedades catóptricas del límite de separación

El comportamiento de las ondas elásticas en el límite de separación entre dos medios de propagación de diferentes densidades, se caracteriza por su separación en dos nuevos frentes de onda (^{Yavorski y Pinski, 1983}; ^{Young y Freedman, 2009}). A los mismos se les conocen como frentes de onda reflejado y refractado respectivamente.

Las propiedades catóptricas caracterizan la capacidad de reflexión de una onda en el límite de separación de dos medios. Las mismas se cuantifican a partir del coeficiente de reflectiblidad, el que se define como la relación entre la intensidad de la onda reflejada (eco) y la intensidad de la onda incidente en el límite de separación (^{Crawford, 1968a}; ^{Yavorski y Pinski, 1983}). En el caso particular del sonido, considerando el límite de separación entre el aire y otro material, el coeficiente de reflectividad acústica se determina según:

$R_n={\left(\frac{{\rho }_{air}{v}_s-{\rho }_n{v}_n}{{\rho }_{air}{v}_s+{\rho }_n{v}_n}\right)}^2$ (6)

donde:

$n$ :	Identificación numérica asociada al material correspondiente (Tabla 1);
${\rho }_n$ :	Densidad del material correspondiente, $kg/m^3$
$v_n$ :	Velocidad del sonido en el material correspondiente, $m/s$

Luego, procede la selección de los diferentes materiales para la caracterización. Para ello, se ha de tomar en consideración que exista una amplia variabilidad entre las densidades de los mismos, así como entre sus respectivas velocidades de propagación del sonido. En la Tabla 1 se relacionan los materiales y los valores numéricos de los parámetros a emplear en la ecuación (6). Los mismos han sido tomados de ^{Young y Freedman (2009)}, como se ha mencionado anteriormente.

La ecuación (6) se sustenta sobre la consideración de que la energía de la onda incidente en el límite de separación, se consume completamente en la reflexión y la refracción de la misma. Por ello, es de esperar que en la medida en que sea mayor la diferencia entre las densidades del medio correspondiente y del aire, la intensidad del eco también lo será (^{Crawford, 1968a}; ^{Yavorski y Pinski, 1983}; ^{Savéliev, 1984}). Luego, se puede determinar la intensidad del eco en el foco de emisión de la fuente isótropa según:

$I_e=R_n{I}_{0exc}{\left(\frac{r_{0exc}\bullet r_{0e}}{r^2}\right)}^2, W/m^2$ (7)

donde:

$r_{0e}$ :

Radio de la superficie de reflexión, $m$ .

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Comportamiento del medio sometido a excitación acústica por el sensor

Como resultado de la excitación del transductor 10CK40T, se obtiene la forma de onda real de la señal de excitación, cuyo oscilograma se muestra en color azul en la Figura 3. A partir del conjunto de datos que conforman la misma, se obtuvo un modelo matemático ajustado, cuya gráfica se muestra en color rojo en la Figura 3.

FIGURA 3 Oscilograma de la señal de excitación del sensor y de su modelo matemático ajustado. 

El modelo matemático ajustado para la señal de excitación, permite describir a la misma con un $R^2$ ajustado de $\mathrm{98,23}\%$ . Este modelo obedece analíticamente a la siguiente función:

$V_{exc}\left(t\right)=\mathrm{4,425}\left[\mathrm{sen}\left(\mathrm{2,5133}\times {10}^5\bullet t+\mathrm{0,4702}\right)+\cdots \right.$

$\left.\cdots +\mathrm{0,2705}\mathrm{sen}\left(\mathrm{7,5399}\times {10}^5\bullet t+\mathrm{0,4702}\right)\right], V$ (8)

A partir de la expresión (8) (ver la curva de color rojo en la Figura 3 y la primera gráfica de la Figura 4) es posible modelar el comportamiento de las oscilaciones producidas en el medio de propagación, así como el comportamiento de las mismas con el avance del frente de onda. De modo que la función de onda correspondiente es:

${\psi }_{exc}\left(r,t\right)=\frac{\mathrm{1,343}\times {10}^{-9}}{r}\left[sen\left(\mathrm{2,5133}\times {10}^5\bullet t-\mathrm{730,6029}\bullet r+\mathrm{0,4702}\right)+\cdots \right.$

$\left.\cdots +\mathrm{0,2705}\bullet sen\left(\mathrm{7,5399}\times {10}^5\bullet t-\mathrm{2191,8087}\bullet r+\mathrm{0,4702}\right)\right], m$ (9)

FIGURA 4 Resultado de la modelación matemática del comportamiento de la excitación acústica del medio producida por el sensor. 

La segunda gráfica de la Figura 4 ilustra el comportamiento de las oscilaciones alrededor de la superficie de emisión del transductor 10CK40T. Así mismo, en la tercera gráfica de la Figura 4 se muestra la curva que describe la disminución de la amplitud de las oscilaciones, con el avance del frente de onda.

Los gráficos de la Figura 4 muestran una corrida del modelo matemático de la excitación acústica producida por el sensor sobre el medio de propagación. En ellos se puede apreciar que describen en conjunto el comportamiento del frente de onda durante el tiempo ( $\mathrm{0,5} ms$ ) que se ha programado para la duración de dicha perturbación (^{León-Martínez et al., 2019}).

Influencia del coeficiente de reflectividad acústica en la formación del eco

En la Tabla 1 se muestran los resultados de la determinación de los coeficientes de reflectividad acústica con relación al aire, de los diferentes materiales seleccionados a partir de los criterios expuestos anteriormente.

TABLA 1 Relación de los coeficientes de reflectividad acústica de varios materiales con relación al aire ( $100kPa$ , $20°C$ ) 

Material		Densidad, $kg/m^3$	Velocidad del sonido, $m/s$	Coeficiente de reflectividad acústica
Aire	(100 kPa, 20°C)	$\mathrm{1,2}$	$344$
n
1	Agua (100 kPa, 20°C)	$1000$	$1482$	$\mathrm{0,99889}$
2	Aluminio	$2700$	$5092$	$\mathrm{0,99988}$
3	Acero	$7800$	$5064$	$\mathrm{0,99996}$
4	Cobre	$8900$	$3516$	$\mathrm{0,99995}$
5	Plomo	$11300$	$1190$	$\mathrm{0,99988}$
Coeficiente de variación, %		$\mathrm{68,32}$	$\mathrm{57,48}$	$\mathrm{0,046}$

Nota: Los valores del coeficiente de variación de las densidades y las velocidades del sonido mostrados, no contemplan la densidad y la velocidad del sonido del aire.

Como se puede apreciar, a pesar de la variabilidad deliberada entre las densidades y entre las velocidades del sonido correspondientes a los diferentes materiales seleccionados, los respectivos coeficientes de reflectividad acústica varían muy poco entre sí. En efecto, el coeficiente de variación de este conjunto de valores es $\mathrm{0,046}\%$ . La interpretación obvia de este resultado es que no existirán diferencias significativas en el comportamiento de la intensidad del eco acústico resultante de la colisión de una onda sonora (que viaje a través del aire) con uno de estos materiales. Ello está relacionado con el hecho de que en el caso en que se evidencia un menor coeficiente de reflectividad acústica (superficie de agua a $100 kPa$ y $20°C$ ) el eco transportará, en el entorno del límite de separación, el $\mathrm{99,889}\%$ de la energía de la onda incidente sobre el mismo.

Comportamiento de la intensidad del eco

Como se ha mencionado anteriormente, el transductor piezoeléctrico 10CK40T es capaz de producir un nivel de presión sonora de $120 dB$ para una señal de excitación continua con una amplitud máxima de $20 V$ pico a pico y una frecuencia de $40 kHz$ . No obstante, los parámetros de diseño del sensor imponen una señal de excitación para dicha sonda de $\mathrm{9,04} V$ pico a pico (ver la curva de color azul de la Figura 3), lo que implica una intensidad inicial del sonido para el sensor de $\mathrm{0,45} W/m^2$ . Luego, se puede estimar que el sensor podrá lograr un nivel de presión sonora del orden de $116 dB$ .

A partir de lo antes expuesto, considerando además una superficie de reflexión de $\mathrm{0,1} m$ de radio, así como el material con menor coeficiente de reflectividad acústica registrado en la Tabla 1 (agua a $100 kPa$ y $20°C$ ); es posible describir el comportamiento de la intensidad del eco con el aumento de la distancia que existe entre el sensor y el límite de separación. Con ayuda de la ecuación (7), en la Figura 5 se muestra esta relación.

FIGURA 5 Comportamiento de la intensidad del eco para las condiciones de diseño del sensor. 

Así mismo, se puede establecer que a una distancia de dos metros entre el sensor y el límite de separación, la intensidad del eco está en el orden de $\mathrm{1,38}\times {10}^{-8}W/m^2$ , la que se corresponde con un nivel de presión sonora del eco del orden de los $\mathrm{41,4} dB$ . Ello asegura una buena respuesta del sensor para una zona de detección comprendida entre $\mathrm{0,2}$ y $2 m$ ; si se considera la sensibilidad que consigna el fabricante para el transductor ultrasónico 10CK40R, que es del orden de $5\times {10}^{-18}W/m^2$ ( $-63 dB$ ).

CONCLUSIONES

Fue caracterizado analíticamente el comportamiento de la respuesta del medio de propagación ante la excitación acústica producida por el sensor, a partir de una función de correlación ajustada a la señal de excitación real generada por el mismo, la que permite describir a esta última con un $R^2$ ajustado de $\mathrm{98,23}\%$ ;

Se determinó que las condiciones catóptricas del límite de separación entre el aire y un conjunto de materiales con propiedades que difieren significativamente entre sí, no posee una influencia significativa en la intensidad del eco resultante, pues el coeficiente de variación del conjunto de coeficientes de reflectividad acústica obtenido, es de $\mathrm{0,046}\%$ ;

La caracterización analítica de la respuesta del sensor ante el eco, considerando las posibilidades del mismo en el caso en que se evidencia un menor coeficiente de reflectividad acústica (superficie de agua a $100 kPa$ y $20°C$ ), indica que ha de tener una buena respuesta en el rango comprendido entre $\mathrm{0,2}$ y $2 m$ , dado que el nivel de presión sonora mínimo del eco es del orden de los $\mathrm{41,4} dB$

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Recibido: 05 de Diciembre de 2019; Aprobado: 25 de Septiembre de 2020

^*Author for correspondence: Javier A. León-Martínez, e-mail: [e-mail]