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Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias

versão On-line ISSN 2071-0054

Rev Cie Téc Agr vol.30 no.1 San José de las Lajas jan.-mar. 2021  Epub 01-Jan-2021

 

SOFTWARE

Modelo y software para el cálculo de parámetros en discos centrífugos esparcidores de fertilizante

Dr.Cs. Arturo Martínez-RodríguezI  * 

MSc. María Victoria Gómez-ÁguilaII 

MC. Martín Soto EscobarII 

IUniversidad Agraria de La Habana (UNAH), Facultad de Ciencias Técnicas, Centro de Mecanización Agropecuaria (CEMA), San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba.

IIUniversidad Autónoma Chapingo, Texcoco, Edo. México, Estados Unidos Mexicanos.

RESUMEN

A escala internacional, la distribución a voleo de fertilizantes minerales se efectúa fundamentalmente con el empleo de esparcidores centrífugos de disco con paletas, debido a su alta capacidad de distribución, acompañado de simplicidad constructiva y de operación. No obstante, estas ventajas, se requiere una alta exigencia en la correcta selección de los parámetros que intervienen en el proceso de trabajo de estos órganos, como requisito fundamental para garantizar una alta uniformidad de distribución del fertilizante en el campo, que garantice los requerimientos productivos correspondientes. En el presente trabajo se presenta un modelo que ha sido elaborado con vistas a determinar la característica del movimiento de las partículas de fertilizante sobre el disco esparcidor dotado de paletas inclinadas con relación a la dirección radial. El análisis se realiza obteniendo la ecuación diferencial de la dinámica del movimiento de una partícula mediante la aplicación de las leyes de la mecánica clásica newtoniana. Las ecuaciones obtenidas de la solución de la ecuación diferencial del movimiento son programadas empleando el software Mathcad, versión 2000 Professional, lo cual posibilita evaluar el modelo con datos concretos y obtener como salida, la velocidad y ángulo de salida del fertilizante en función de parámetros de entrada tales como: el ángulo de inclinación de las paletas, el coeficiente de fricción entre el fertilizante y el material del disco y las paletas, las dimensiones y velocidad de rotación del disco y las coordenadas de la zona de caída del fertilizante desde la boca de la tolva.

Palabras clave: Paletas inclinadas; uniformidad de distribución; software Mathcad

INTRODUCCIÓN

A escala internacional, la distribución a voleo de fertilizantes minerales se efectúa fundamentalmente con el empleo de esparcidores centrífugos de disco con paletas (Fig. 1), debido a su alta capacidad de distribución, acompañado de simplicidad constructiva y de operación. No obstante, estas ventajas, se requiere una alta exigencia en la correcta selección de los parámetros que intervienen en el proceso de trabajo de estos órganos, como requisito fundamental para garantizar una alta uniformidad de distribución del fertilizante en el campo, que garantice los requerimientos productivos correspondientes.

FIGURA 1 Órgano distribuidor centrífugo de fertilizantes minerales. 

En este sentido, la modelación del movimiento de las partículas de fertilizante sobre el disco esparcidor ha sido objeto de estudio en diferentes épocas por diferentes autores Turbin et al. (1967); Villette et al. (2005); Cerović et al. (2018), con vistas a determinar la interrelación entre los parámetros que intervienen en este proceso, tales como: el diámetro y velocidad angular del disco esparcidor; la posición de las paletas y el lugar de caída o alimentación del fertilizante sobre el disco, entre otros.

El funcionamiento de una esparcidora centrífuga de fertilizantes presenta tres fases o etapas. En la primera el fertilizante es dejado caer por gravedad desde una boca o compuerta situada en el fondo de la tolva hacia una zona cercana al centro del disco (Fig. 1). Durante la segunda etapa, el material a distribuir es transportado hacia el borde del disco, bajo la acción de un sistema de fuerzas, encabezadas por la fuerza centrífuga y sometido a la acción de las fuerzas de fricción con las superficies del propio disco y de las paletas. En la tercera fase, el material es lanzado al campo, estando su trayectoria determinada por un vuelo balístico bajo la acción de la densidad y velocidad del aire circundante.

Es obvio que una adecuada predicción y control del movimiento de las partículas en la segunda fase, partiendo de una definición adecuada del punto de caída de fertilizante desde la compuerta de la tolva, permitirá ajustar, tanto la velocidad de salida, como el ángulo de dispersión en el campo de las partículas esparcidas.

La modelación de la segunda fase ha sido abordada por diferentes autores. Villette et al. (2005) elaboran un modelo analítico para describir el movimiento de partículas sobre un disco cóncavo equipado con paletas planas. El modelo permite establecer la relación entre los componentes horizontales radial y tangencial de la velocidad de salida, aunque no es aplicable directamente a discos planos. Cerović et al. (2018) analizan el movimiento de una partícula de fertilizante ideal, esférica y homogénea a lo largo de una paleta recta fijada a un disco plano rotatorio utilizado en las esparcidoras centrífugas de fertilizantes minerales. El análisis se realiza sobre un sistema de referencia no inercial, aplicando las leyes de la mecánica clásica. Como resultado arriba a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas de segundo orden, cuya solución representa una aproximación del movimiento relativo real de una partícula de fertilizante a lo largo de una paleta recta fijada en posición radial al disco que rota a velocidad angular constante. El modelo es de utilidad para la optimización de los parámetros de este tipo de distribuidor de fertilizantes, aunque no es aplicable con exactitud en el caso de paletas con disposición inclinada con relación a la dirección radial. Para este análisis, Cerović, et.al. se apoyan en estudios anteriores efectuados por Aphale et al. (2003); Dintwa et al. (2004); Villette et al. (2005), aunque ya estudios al respecto realizados en el siglo XX alcanzaban un alto nivel de desarrollo, tales como los realizados por Mennel y Reece (1962); Turbin et al. (1967); Griffis et al. (1983); Olieslagers et al. (1996). Este último posibilita el cálculo del movimiento de las partículas cuando el disco está provisto de paletas inclinadas con relación a la dirección radial, habiendo servido de base para la realización del modelo y software que se expone en este trabajo, siendo completado hasta la determinación del abanico de dispersión de las partículas de fertilizante a la salida del disco esparcidor. La tercera fase correspondiente al vuelo de la partícula una vez que es impulsada por el disco, ha sido abordada por diferentes autores Walker et al. (1997); Van Liedekerke et al. (2009); Cool et al. (2014, 2016), no constituyendo objeto de estudio en este trabajo, cuyo objetivo es exponer un modelo mecánico matemático que describa la dinámica del movimiento de las partículas sobre un disco distribuidor de fertilizantes con paletas inclinadas, así como un software que, basado en la aplicación del modelo, viabilice el cálculo de los parámetros geométricos y cinemáticos que determinan la velocidad de salida y el abanico de dispersión del fertilizante a la salida de los discos.

MATERIALES Y MÉTODOS

El modelo que se presenta es elaborado con vistas a determinar la característica del movimiento de las partículas de fertilizante sobre el disco esparcidor y en contacto con las paletas, lo que permitirá determinar la magnitud y dirección de la velocidad con que éstas abandonan el disco en función de los parámetros geométricos y cinemáticos de éste.

Para la elaboración del modelo se parte de considerar el disco plano, aunque también se emplean discos cónicos. En cuanto a las paletas, las mismas pueden estar orientadas en la dirección radial, así como con inclinación contraria a la rotación del disco (paletas atrasadas) y con inclinación a favor de la rotación del disco. Se selecciona para la elaboración del modelo este último caso, por considerarse el más eficiente desde el punto de vista de lograr una mayor velocidad del lanzamiento de las partículas con la misma velocidad de rotación del disco.

El análisis se realiza obteniendo la ecuación diferencial de la dinámica del movimiento de una partícula mediante la aplicación de las leyes de la mecánica clásica (2da. Ley de Newton). El análisis se efectúa sobre un sistema de referencia no inercial que, rota conjuntamente con el disco, por lo que es necesario tener en cuenta las fuerzas “ficticias” (fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis) que actúan sobre la partícula en este sistema móvil. La solución de la ecuación diferencial del movimiento se efectúa mediante métodos clásicos de análisis matemático.

Las ecuaciones obtenidas de la solución de la ecuación diferencial del movimiento son programadas empleando el software Mathcad, versión 2000 Professional, lo cual posibilita evaluar el modelo con datos concretos y obtener como salida, la velocidad y ángulo de salida del fertilizante en función de parámetros de entrada tales como: el ángulo de inclinación de las paletas, el coeficiente de fricción entre el fertilizante y el material del disco y las paletas, las dimensiones y velocidad de rotación del disco y las coordenadas de la zona de caída del fertilizante desde la boca de la tolva.

DESARROLLO

En la Fig. 2 se muestra las fuerzas que actúan sobre una partícula de fertilizante en su interacción con el disco y las paletas del distribuidor centrífugo.

FIGURA 2 Fuerzas que actúan sobre una partícula en el esparcidor centrífugo de disco con paletas. 

Como se aprecia en la figura, sobre la partícula actúan las siguientes fuerzas:

mg - Peso de la partícula, que actúa perpendicularmente a la superficie del disco (Fig. 5.6a), igual al producto de la masa de la partícula (m) y la aceleración de la gravedad (g);

Fcf - Fuerza centrífuga, la cual está dirigida en la dirección y sentido del radio-vector r que sitúa la posición radial de la partícula con respecto al centro del disco. Esta fuerza se expresa como:

Fcf=-mωd×(ωd×r). 1

siendo su magnitud:

Fcf=mrωd2 2

Fco - Fuerza de Coriolis, dada por:

Fco=2mξ˙×ωd. 3

siendo su dirección perpendicular a los vectores ξ˙=dξdt (velocidad relativa de la partícula respecto a la paleta) y ωd (velocidad angular del disco), su sentido es contrario a la velocidad de rotación del disco, mientras que su magnitud está dada por:

Fcf=2mξ˙ωd 4

Fpcf - Fuerza de fricción entre la paleta y la partícula producto de la fuerza centrífuga:

Fpcf=μfmrωd2sinψ. 5

donde μf es el coeficiente de fricción por rozamiento entre la partícula y el material de la paleta; ψ es el ángulo entre la dirección de la fuerza centrífuga y la dirección del movimiento relativo ξ de la partícula respecto a la paleta;

Fpco - Fuerza de fricción entre la paleta y la partícula producto de la fuerza de Coriolis:

Fpco=μf2mξ˙ωd. 6

Fpg - Fuerza de fricción entre el disco y la partícula:

Fpg=μfdmg. 7

Por lo general el material del disco es el mismo de las paletas, en cuyo caso el coeficiente de fricción entre el disco y la partícula μfd  =  μf .

Planteando la 2da. Ley de Newton en el sistema no inercial se obtiene la ecuación diferencial del movimiento de la partícula en la dirección de la paleta:

mrωd2cosψ-μfmg-μfmrωd2sinψ-2μfmωddξdt=md2ξdt2. 8

De la Fig. 2 b) se aprecia que:

rcosψ=ξ-rocos (π-ψo). 9

donde: ξ - trayecto recorrido por la partícula a lo largo de la paleta, medido desde el inicio de ésta;

ro - radio vector inicial, dirigido desde el centro del disco hasta el comienzo de la paleta;

ψo - valor inicial del ángulo ψ entre el radiovector r y la paleta.

Asimismo es posible plantear que:

rsenψ=rosen (π-ψo)=cte.. 10

Por otro lado, el coeficiente de fricción μf puede expresarse indistintamente como ángulo de fricción ϕf mediante la relación:

μf=tanϕf. 11

Sustituyendo 9, 10 y 11 en 8 y efectuando algunas transformaciones se arriba a la siguiente expresión para la ecuación diferencial del movimiento relativo de la partícula sobre el disco:

d2ξdt2+2μfωddξdt-ωd2ξ=+ roωd2cosπ-ψo- ϕfcosϕf-μfg. 12

que es una ecuación diferencial ordinaria de 2do orden, lineal y no homogénea con coeficientes constantes, cuya solución general puede ser determinada como la suma de la solución de la ecuación homogénea y la solución particular de la ecuación no homogénea.

ξ=ξh+ξp. 13

La parte homogénea de esta ecuación se expresa como:

d2ξdt2+2μfωddξdt-ωd2ξ=0 14

teniendo la solución general la forma:

ξh=C1eλ1t+C2eλ2t . 15

siendo C1 y C2 las constantes de integración, mientras que λ1 y λ2 son las raíces de la ecuación característica:

λ2+2μfωdλ-ω2=0. 16

λ1=ωd-μf+1+μf2 17

λ2=-ωdμf+1+μf2. 18

Una solución particular para la ecuación no homogénea 12 puede ser determinada aplicando el método de la constante indeterminada:

ξp=C. 19

Diferenciando 19 y sustituyendo en la ecuación 12 se obtiene la siguiente solución particular de la ecuación diferencial no homogénea:

ξp= rocosπ-ψo-ϕfcosϕf-μfgωd2 20

Sustituyendo 15 y 20 en 13, la solución de la ecuación diferencial 12 toma la siguiente forma:

ξ=C1eλ1t+C2eλ2t+rocosπ-ψo-ϕfcosϕf-gμfωd2 21

Finalmente se evalúa la ecuación 5.25 para las condiciones iniciales, correspondiente a la posición de comienzo de las paletas, donde para t = 0; ξ=0 y la velocidad de las partículas dξdt=0 . De esta manera se obtiene finalmente la solución de la ecuación diferencial del movimiento de la partícula:

ξ=gμfωd2-rocosπ-ψo-ϕfcosϕf1λ2-λ1λ2eλ1t-λ1eλ2t-1 22

Una gráfica de esta expresión, evaluada para determinadas condiciones, se muestra en la Fig. 5.7, apreciándose que el tiempo de permanencia de las partículas sobre el disco es del orden de las centésimas de segundo.

FIGUERA 3 Variación en función del tiempo del desplazamiento relativo de las partículas a lo largo de un disco con paletas adelantadas que rota a 800 r.p.m. 

Derivando la expresión 22 con respecto al tiempo, se obtiene la velocidad relativa de las partículas a lo largo de las paletas del distribuidor:

vr=dξdt=gμfωd2 -rocosπ-ψo-ϕfcosϕfλ1λ2λ2-λ1eλ1t-eλ2t. 23

La magnitud del radiovector que une el centro del disco con la posición instantánea de las partículas, se determina como sigue:

r(t)=ξ+rocosψo2+rosenψo2. 24

Sustituyendo la expresión 22 de ξ=f(t) en la expresión 24 y evaluando para la máxima magnitud del radiovector re (radio exterior del disco), es posible obtener el tiempo de permanencia (tp) de las partículas en el disco, desde que es alimentado (posición ro ,  ψo ) hasta que alcanza el borde exterior del disco (posición re ,  ψe ).

En ese tiempo, el disco habrá girado un ángulo θa=ωdtp y además la partícula habrá recorrido un ángulo en su movimiento relativo: θr=ψoψe de manera tal que el ángulo de salida de las partículas estará dado por:

θs=ωdtp+(ψo-ψe) 25

Evaluando estas expresiones para los puntos de alimentación 1 y 2 (Fig. 4) que forman una franja bf al inicio de la paleta, es posible obtener los ángulos ( θs1 y θs2) que definen los puntos de salida del fertilizante en el borde del disco, estando delimitado el abanico de salida por los vectores vab que corresponden a las velocidades absolutas de salida del fertilizante, las cuales se determinan por la suma vectorial de la velocidad de arrastre va (tangente al borde exterior del disco) y la velocidad relativa vr de las partículas, cuya dirección es colineal con la dirección de las paletas.

FIGURA 4 Condiciones de salida del fertilizante en el disco centrífugo. 

El módulo de la velocidad absoluta se determina por la expresión:

vab=va2+vrcosψe2. 26

La velocidad de arrastre va=ωdre , mientras que la velocidad relativa se determina por la expresión 23.

El abanico de dispersión del fertilizante ( θs) , estará limitado por las direcciones de vab1 y vab2 (Fig. 4), determinándose mediante la expresión:

θs=θs1-θs2-α2+α1. 27

donde:

α1=tan-1ωdrevr1cosψe;α2=tan-1ωdrevr2cosψe 28

La programación en Mathcad de las ecuaciones obtenidas se muestra a través de un ejercicio que se expone a continuación, mostrándose las capturas de pantalla de la corrida del programa que ha sido denominado “CENTRIFERT”:

Ejercicio demostrativo:

Determine la zona (bf) de colocación del fertilizante sobre un disco centrífugo con paletas adelantadas, de manera de obtener un abanico de dispersión de 90o ± 2o en dirección opuesta al avance de la máquina. Se conocen los siguientes datos:

  • Velocidad de rotación del disco: nd = 540 r.p.m.;

  • Radio exterior del disco: re = 25 cm;

  • Ángulo de la paleta con el radio-vector final: ψe = 20o;

  • Coeficiente de fricción del fertilizante sobre el material de la paleta y el disco: mf = 0.6

Solución del ejercicio empleando el programa “CENTRIFERT”:

COMENTARIO SOBRE LA CORRIDA DEL PROGRAMA:

Como se aprecia de la corrida del programa, se obtienen en forma gráfica (gráficos en coordenadas polares) los ángulos correspondientes a los puntos de salida del fertilizante en las posiciones extremas 1 y 2 correspondientes a la banda de posicionamiento del fertilizante bf = 7.945 cm. Ahora bien, como se ha explicado, la banda de aplicación o lanzamiento del fertilizante (zona sombreada en la Fig. 5) estará enmarcada por las direcciones de las velocidades absolutas (Vab1 y Vab2), que han sido determinadas sobre la base de los valores de las velocidades relativas (Vr1 y Vr2) y la velocidad de arrastre Va. En la Fig. 5, el ángulo βo1 ha sido retradado 90o aprosimadamente, para lograr que el abanico de lanzamiento del fertilizante esté situado en dirección contraria a la del movimiento de la máquina.

FIGURA 5 Construcción del diapazón de lanzamiento del fertilizante  

CONCLUSIONES

  • Se obtiene un modelo analítico que describe el movimento de partículas sobre un disco esparcidor de fertilizantes del tipo centrífugos con paletas rectas inclinadas con relación a la dirección radial;

  • Como resultado de la programación en Mathcad del modelo se viabiliza el cálculo de los paràmetros de salida del fertilizante (velocidad de salida y ángulo de dispersión) en función de parámetros de entrada tales como: el ángulo de inclinación de las paletas, el coeficiente de fricción entre el fertilizante y el material del disco y las paletas, las dimensiones y velocidad de rotación del disco y las coordenadas de la zona de caída del fertilizante desde la boca de la tolva;

  • Como resultado de la ejecución de un ejercicio demostrativo, aplicando el programa “CENTRIFERT”, se obtiene un ángulo de dispersión de las partículas θs ≈ 90°. El ancho de la banda de alimentación del fertilizante en el disco resultó bf≈7.5 cm.

REFERENCES

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Recibido: 20 de Junio de 2020; Aprobado: 04 de Diciembre de 2020

*Author for correspondence: Arturo Martínez-Rodríguez, e-mail: armaro466@gmail.com

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