Wolfram Mathematica, aplicado a la transferencia de calor, método, solución exacta, para procesos de extrusión

Wolfram Mathematica, applied to the heat transfer method exact solution for extrusion processes

MSc. Antonio Jiménez Ramos¹, Dr. C. Juan Francisco Puertas Fernández², Dr. C. Margarita J. Lapido Rodríguez³. Dr. C. Julio Rafael Gómez Sarduy³, Lic. Yulier Jiménez Santana⁴, MSc. Fidel Sosa Núñez⁴

¹ Empresa de Producciones Plásticas Vasil Levski.
² Departamento Mecánica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Cienfuegos, Cuba.
³ Centro de Estudio de Energía y Medio Ambiente (CEEMA), Facultad de Ingeniería, Universidad de Cienfuegos. ]]> ⁴ Universidad de Guanajuato, Méjico.

RESUMEN

Los programas computacionales, para la solución a problemas de la cotidianidad, son muy comunes, por la rapidez en que pueden obtenerse resultados, que por los métodos tradicionales, serían muy trabajosos y sobre todo, aquellos en que las soluciones llevan repetidos cálculos. El trabajo pretende demostrar, como a través de la programación, aplicando el método de la solución exacta, se logran resultados rápidos, precisos, sobre similitudes y diferencias entre distintas geometrías en la transferencia de calor, que demuestran el comportamiento, según parámetros, en igualdad de condiciones, (propiedades geométricas; diámetros, longitud, espesores, volúmenes) y físicas, (conductividad térmica, calor específico y densidad), apreciando cómo influyen, en resultados como, tiempos de enfriamiento, producción según las propiedades físicas y el diseño del equipo, índices de consumo, temperaturas en el centro y superficie y otras, según, el método de extrusión de tuberías plásticas, necesarios en procesos productivos que requieren de monitoreo constantes.

Palabras clave: procesos de extrusión, geometrías simples, modelación, propiedades físicas, transferencia de calor, software wolfram mathematica.

ABSTRACT

Computer programs for the solution to problems of everyday life, are very common, how quickly results can be obtained, than by traditional methods would be very laborious, and the conclusions to be arrived, for those in solutions , lead repeated calculations, even more. The aim of this work is to demonstrate, and through programming with Wolfram Mathematica 8.0 for the method of the exact solution, quick results are achieved and more accurately than by the method of approximation, the first term or any other, making it possible, depending on the worked geometries, perform different types of comparisons or studies demonstrating their behavior, to various parameters taken into account, on equal terms, as they are, geometric properties, as diameter, length, thickness, volume and physical properties such as thermal conductivity, specific heat and density, appreciating how they influence on results as cooling times, production according to the physical properties and equipment design, consumption rates, temperatures in the center and surface and others, according to the method of extruding plastic pipes, very necessary in production processes requiring precise monitoring and constant. ]]> Keywords: plastic extrusion, simple geometries, modeling, physical properties, heat transfer, software wolfram mathematica.

INTRODUCCIÓN

El Wolfram Mathematica, por sus características, es utilizado en áreas científicas de ingeniería, en sus variadas especialidades, matemáticas y computacionales. Comúnmente considerado como un sistema de álgebra computacional, Mathematica es también, una poderosa herramienta para las programaciones, de propósito general. De ahí, que puede ser utilizado, para múltiples soluciones, a problemas ingenieriles [1-3], siendo un lenguaje, que se actualiza constantemente, siempre con mayores posibilidades de aplicación.

Generalmente la solución a problemas de transferencia de calor en tuberías y placas en la tecnología por extrusión se realizan por el método de la aproximación del primer término, teniendo en cuenta la facilidad de cálculo sobre todo para problemas donde no se requiere de una elevada exactitud, pudiéndose alcanzar con él hasta un 96-98 %, aproximadamente haciéndose muy complejo alcanzar precisiones superiores sin que se utilice el de la solución exacta.

El método de la solución exacta requiere de análisis numéricos para su solución por la complejidad de sus ecuaciones y de ahí la utilización de distintos software. Para este caso la solución con Wolfram Mathematica 8.0, parte siempre de la conformación de las ecuaciones que representan a cada una de estas geometrías, para el caso de las placas, coordenadas cartesianas y para las tuberías  coordenadas cilíndricas, las cuales deben ser meticulosamente desarrolladas, para obtener los resultados deseados, pues la solución para cada una de ellas, tienen semejanzas [4-6].

El trabajo pretende demostrar, la viabilidad del uso de este software, para lograr resultados rápidos y con las presiones que se requieren, para cada una de las particularidades que  se presenten, pudiendo ser una forma de comparación de parámetros, como el   comportamiento energético de geometrías diferentes. En este caso, las placas y tuberías, en volúmenes,  teniendo en cuenta parámetros y materias primas similares, en cuanto a producción, índices de consumo, tiempos de enfriamiento, temperaturas exteriores e interiores y otras [7-9].

MATERIALES Y MÉTODOS ]]> En la transferencia de calor, existen muchas formas para la solución de problemas, utilizados en ingeniería, en este primer caso,  la solución para la programación en, Wolfram Mathematica 8.0, corresponde a una placa, rodeada por un fluido convector, a la temperatura final T_f, que se introduce instantáneamente en el fluido en las condiciones en que la resistencia a la transferencia de calor es muy pequeña, figura 1. Por el concepto de placa y que el fluido es el  mismo y se encuentra por ambos lados, existe simetría y resulta que el coeficiente convectivo hc, será el mismo entre ambas semiplacas, de forma que, considerando esta placa infinita de espesor (esp. = 2 L) para la que en el tiempo  (t = 0), existe una distribución de temperatura conocida y en la que no existen efectos de bordes, se aplica la  ecuación diferencial [1-10-11], ecuación (1).

Haciendo cambio de variable Ф = T - Tf con Tf ≠ 0;  ecuación  (2):

Cuya solución general es; ecuación (3):

Y las condiciones de contorno.

Para T = 0,   -L ≤ X ≥ L; Ф = f_(x) ó T_o 2- Para  T > 0 se cumplirá  que; ecuación (4):

Como el fluido a ambos lados de la placa es el mismo entonces.
Ф - x = Ф + x; entonces   y la igualdad se cumple para cualquier valor de Ф.

La solución se reduce a, ecuación  (6):

La condición de contorno en (x = ±L) permite obtener los valores de λ; ecuación  (7):

Dicha ecuación se satisface para un número infinito de valores del parámetro (λL), por lo que para un valor de L dado, sus soluciones se  encuentran para diversos valores de λ, con intersección en las curvas: ecuación (8),

,

nótese la dependencia de la ecuación con respecto a B_i.

Por lo que la distribución de temperatura, es una serie de la forma; ecuación (9):

La condición inicial Φ = f(x) = Φ₀= Cte, para (t = 0) es ecuación (11):

A partir de la cual se obtiene B_n, teniendo en cuenta, la teoría de las funciones ortogonales.

La expresión de la distribución de temperatura, en la placa infinita,  función de la posición y el tiempo es; ecuación  (12):

Para el caso particular, en que la primera condición de contorno fuese de la forma Φ = f(x) = Φ₀= Cte; la ecuación anterior se transforma en; ecuación  (13):

Para el segundo caso, la  programación en Wolfram Mathematica 8.0, para la tubería,  el procedimiento es similar al anterior, pero la longitud característica de la placa (L), que varía de la superficie al centro, es sustituida por la (r), que es el radio, que varía desde la superficie de la tubería, hasta su radio interior, otra diferencia, en  este caso, es que se resuelve con la ecuación en coordenadas cilíndricas y son utilizadas, las ecuaciones de Bessel y Newman, debido a la distribución de temperatura, que existe en este tipo de geometría, además, en la placa, existe dependencia del número de Biot y en la tubería no; ecuación (15):

donde Φ, es la temperatura  adimensional, que es una función del radio y el tiempo, T es la temperatura en grados celsius, T_f  es la temperatura final.

Aplicando el método de separación de variables, las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes y sus soluciones son; ecuación (16): donde R es una función, que depende solamente del radio, J₀ es la función de Bessel de primera especie, de orden cero, Y₀ es la función de Bessel de segunda especie, de orden cero o (función de Newman), B₁ y B₂ son constantes; ecuación (17):

donde θ,  es una función que depende solamente del tiempo y B es una constante.

Si se tratara de un cilindro macizo, entonces, como este no puede admitir en su eje (r = 0), una solución infinita, por cuanto Y₀ = - ∞ resulta que B₂ tiene que ser (0) y se obtiene una ecuación de la forma;  ecuación (18):

En la que B  y λ son constantes que se determinan por las condiciones de contorno. La condición inicial es: .

La condición para un cambio brusco de temperatura en la superficie lateral del cilindro infinito es; ecuación (20):

Por lo que ecuación (21):

Que se tiene que cumplir para cualquier valor de t con las condiciones:

1) Para, t = 0; 0 ≤ r ≤ R; Φ = f(r) o´ Φ = T₀

2) Para t > 0;

Teniendo en cuenta la segunda condición de contorno y que , ]]> Resulta; ecuación (22):

Que se satisface para infinitos valores de λ con la intersección de las curvas.

Siendo los valores de λn raíces de la ecuación; ecuación (23):

Para el caso de una tubería, con condiciones iníciales: t = 0; r_i ≤ r ≤ r_e; Ф = f(r) ó Ф₀, la segunda constante no se hace cero, como en el cilindro, [1],  esta se busca también, con las condiciones de contorno según figura 2. Su obtención es más compleja, pues la constate B₂, no puede ser cero, debido a que el centro (r = 0), no entra en el dominio y para poder obtener una solución del problema, se escribe una constante en función de la otra, a partir de las condiciones de contorno y de esta forma, aplicando la teoría de funciones ortogonales, se obtiene una expresión para esta constante. Condiciones de contorno para t > 0; ecuación (24):

De las condiciones de contorno, se obtiene la ecuación transcendente, cuyas raíces son los n de la ecuación solución;  ecuación (25). Donde J₁ es la función de Bessel de primera especie, de primer orden y Y1 es la función de Bessel de segunda especie de primer orden.

Resultando que la solución general del problema, es una combinación lineal de infinitas soluciones, para los infinitos auto valores de λ; ecuación (26):

La  temperatura a dimensional  queda en función del tiempo y el radio, (ri y re). Donde: tempí, es la temperatura a dimensional en el radio interior de la tubería; temp = Ф(re,t): Temperatura a dimensional en el radio exterior de la tubería.

y para la temperatura intermedia o radio interior  (T0); ecuación (28):

Suposiciones, la convección es forzada pues el agua se mueve impulsada por bombas.

Para darle solución a todos estos casos, es necesario conocer o hacer algunos cálculos como:

Ancho: l₁ = Altura: l₂ Longitud: Por lo tanto área de la bañera será: A_b = l₁ X l₂

Flujo de agua: Q,
Cálculo de la velocidad del agua: �rea de flujo de agua, A_a = �rea de bañera – �rea de (tubería, cilindro, o placa).

Ã�rea de tubería = Ï€. (D/2)² Si se conoce el flujo de agua entonces, Q = A_aV  y  V = Q / A_a

Reynolds:

donde: Ï� = Densidad de agua:(kg/m³), V = Velocidad de agua: (m/s) D = Diámetro o espesor: (m)
µ= Viscosidad dinámica del agua:( N.s/m²).  Con R_eD y el número de Prandt (P_r) se calcula el Número de Nusselt (N_us). El  Pr se calcula por, ecuación (30):

donde: v = velocidad de difusión de momento y α = velocidad del calor; μ = viscosidad dinámica del agua; Cp = calor específico del agua; K = conductividad térmica del agua W / m. K

Este valor es fácilmente encontrado en tablas.

Cálculo del número de Nusselt; ecuación (31):

Régimen aplicable para: Re > 200 y Pr > 0,7

Coeficiente convectivo; ecuación (34):

Las propiedades físicas del material utilizado fueron:

k = 0,22 W/m. ⁰K Conductividad térmica.  Ï� = 1400 kg/m³ Densidad. 
Cp. = 1273J/ kg0K Calor especifico.

Además, deben conocerse o calcularse, las propiedades del sólido, que se enfría o calienta,  como densidad, calor específico y Conductividad térmica y con estos elementos se procede a la programación. El flujo de la máquina utilizada, fue de 270 kg/h, con 143 kW de potencia general, se consideró un 85 %, de esa potencia, igual a 122 kW.

El programa se inicia, con la introducción de los datos: Diámetro de la tubería o ancho fr la placa (mm), Espesor para ambas (mm), temperatura inicial del material (â�°C), temperatura del agua de enfriamiento ⁰C),temperatura deseada (⁰C) para la superficie, radio interior o centro, flujo de la máquina (kg/h), dimensiones del intercambiador de calor, propiedades del material y del agua, 0 tipo de superficie de intercambio. Con estos datos, realiza el cálculo del tiempo de enfriamiento, basado en el flujo según diseño de la máquina. Posteriormente, calcula Ti y Te según la temperatura deseada en rió re, o centro y con estos datos el tiempo que demora el enfriamiento para llegar a la temperatura deseada  según sea el caso que tiene en cuenta las propiedades termofísicas del material, mediante la herramienta de trabajo  (software  Wolfram Mathematica 8.0),  se compara con la temperatura deseada de ser mayor o menor  le suma, o le resta el valor deseado, hasta llegar a la diferencia necesaria, según la precisión requerida.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La posibilidad de tomar parámetros, como una misma diferencia de temperatura, a la salida del extrusor y de entrada a la bañera,  iguales espesores, distancias de enfriamiento, temperatura en el radio interior y exterior, así como las propiedades termo físicas del material, y demostrar como varían los tiempos de enfriamiento, las producciones, los índices de consumo y los volúmenes de las geometrías en estudio.

La tabla 1, muestra, un reporte de parámetros obtenidos con la aplicación de la herramienta, a los que se le pueden agregar otros. El nivel de precisión   en tiempo real, que se quiera obtener  como es de (n = 1 hasta ∞), será fijada según la necesidad del proceso que se ejecute, (productivo o investigativo), facilidad que  existe por utilizarse una programación de este tipo.

Otro ejemplo de las bondades de esta  aplicación, se aprecia, al comparar basada en su exactitud, como los volúmenes y el tiempo  de enfriamiento, disminuyen, en la medida, en que disminuyen los espesores, tendiendo a cero, demostrando esta condición, que verdaderamente, mientras más fino el espesor, más se acercan los valores entre ambas geometrías,  no obstante, se demuestra la no conveniencia, de usar, para la solución a problemas de tuberías de espesores finos, el darle el tratamiento como si fuera una placa, pues el resto de los indicadores a medir no presentan la misma situación.

Con la herramienta pudo definirse los dos parámetros principales a tener en cuenta, para lograr  una eficiencia productiva y energética de este proceso. La densidad, con correspondencia directa, con el flujo del equipo y la alcanzada con las propiedades termo físicas  del material, en función del proceso de enfriamiento, que aporta un parámetro más a tener en cuenta, para cualquier análisis energético y productivo.

CONCLUSIONES

1-. Con la utilización de esta herramienta de trabajo, (Wolfram Mathematica 8.0)se demostró que para desarrollar cualquier análisis, del proceso productivo y definir un mejoramiento energético,en las máquinas extrusoras de tuberías plásticas, es necesario, tener en cuenta, dos elementos esenciales. Para el flujo productivo, como base principal, la densidad de la materia prima y desde el punto de vista energético, la conjugación, de las propiedades termo físicas presentes en la misma, pues ambas actúan diferentes en el proceso.

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Recibido: febrero de 2016
Aprobado: agosto de 2016

AUTOR

Antonio Jiménez Ramos. Ingeniero Termoenergético. Máster en Eficiencia Energética. Director General Empresa de Producciones Plásticas Vasil Levski. Cienfuegos. E-mail: antonio@petrocasa.minem.cu.