Diego Alexander Garzón-Alvarado^I; Máximo Alejandro Roa^II; Angélica María Ramírez^III

^IProfesor Asociado. Grupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingeniería. Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica. Universidad Nacional de Colombia.
^IIGrupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingeniería. Departamento Ing. Mecánica y Mecatrónica. Universidad Nacional de Colombia. ^IIIProfesora Fundación Universidad Central. Grupo de Estructuras y Modelado de Materiales (GEMM). Universidad de Zaragoza.

RESUMEN

Para el estudio de algunas patologías del ojo (miopía asociada a un crecimiento axial), se desarrolló una investigación que pretende establecer un modelo del comportamiento mecánico del ojo. En el presente trabajo se realiza un estudio del material escleral, para determinar su comportamiento, y con estos datos se realiza el modelo del globo ocular por elementos finitos para obtener el estado de esfuerzos y deformaciones presentes en este cuando se somete a un incremento en la presión intraocular. Para esto se analiza el ojo mediante el modelo Mooney Rivlin para cinco constantes que presenta el denominado ANSYS. Los resultados muestran cómo las restricciones mecánicas y la alta presión intraocular pueden generar abultamientos cercanos a la inserción muscular denominados estafilomas, lo cual concuerda con lo observado clínicamente. ]]> Palabras clave: Presión intraocular, hiperelasticidad, esclera, glaucoma, miopía, nervio óptico.

ABSTRACT

A research that intends to establish a model of the mechanical behavior of the eye was developed for studying some eye diseases (myopia associated with an axial growth). A study of the scleral material was conducted to determine its behavior and with these data the model of the ocular globe was created by using finite elements to obtain the state of strain and deformation present in it when it is subjected to an increase of the intraocular pressure. To this end, the eye was analyzed using the Mooney Rivlin model for five constants presented by the so-called ANSYS. The results showed how the mechanical restrictions and the high intraocular pressure may generate outpouchings closed to the muscular insertion denominated staphylomas, which agreed with what was clinically observed.

Key words: Intraocular pressure, hyperelasticity, sclera, glaucoma, myopia, optic nerve.

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INTRODUCCIÓN

La aplicación de los principios de ingeniería al estudio de la medicina produce avances en los procedimientos de diagnostico, control y tratamiento de las enfermedades y traumas que el hombre padece. Por eso la importancia de establecer modelos biomecánicos que relacionen el efecto de las causas mecánicas con el desarrollo de algunos de esos traumas.

Según algunos estudios clínicos, las personas con altas miopías, llamadas miopías magnas,^1,2 presentan lesiones oftalmológicas en el fondo del ojo, el nervio óptico y lesiones degenerativas del tejido escleral y la retina que predisponen al desprendimiento de esta.^3,4 El objetivo de este trabajo es establecer la influencia del comportamiento mecánico del ojo en el desarrollo de algunos trastornos ópticos y especialmente el entendimiento del proceso de miopía desde el punto de vista de la mecánica.

Se determinó de forma cuantitativa los esfuerzos principales en el ojo y el estado de deformación correspondiente, considerando el material escleral como un material hiperelástico, y utilizando el modelo Mooney Rivlin para su respectivo modelado.⁵ ]]>

MÉTODOS

DETERMINACIÓN DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICO Y DE LAS PROPIEDADES DEL OJO

En el contexto de ingeniería se plantea el estudio del ojo como un recipiente de pared delgada sometido a presión interna.¹ Para el análisis de este tipo de elementos se requiere la caracterización de tres escenarios:

1. Geometría. ]]> 2. Modelo constitutivo del material

3. Cargas y restricciones

Cada uno de estos componentes se describe a continuación.

Modelo geométrico del ojo

De manera similar a los demás órganos del cuerpo humano, las dimensiones del ojo varían de una persona a otra,^1,6 pero a pesar de estas variaciones individuales, resulta ventajoso conocer los valores medios con los que se puede ajustar un modelo.¹ Las dimensiones del globo ocular se basaron en valores característicos obtenidos de estudios antropométricos para un ojo fisiológico y varias investigaciones relacionadas con el modelamiento bioestructural del ojo.¹

En el ojo se distinguen tres zonas diferenciadas, que ayudan al entendimiento del modelo^2,3 (figura 1): ]]>

1. Zona Anterior o córnea.

2. Zona de transición o limbo esclero-corneal.

3. Zona posterior o esclera.

En la realidad, el ojo es un órgano de formas geométricas complicadas, debido a su asimetría, pero para la simplificación del modelo se asumió el ojo como un órgano de trazos sencillos, en el cual se tienen las dimensiones principales que caracterizan la geometría del globo ocular¹ (figura 2):

· El eje antero-posterior con una dimensión promedio de 24 mm. ]]> · En el plano ecuatorial, el eje horizontal presenta un valor de 23,5 mm, mientras que el eje vertical es ligeramente más corto con una dimensión de 23 mm.

· Radio anterior de curvatura de la córnea de 7,11 mm.

También se tuvo en cuenta para el modelamiento la variación del espesor de las estructuras principales del ojo (córnea y esclera), a lo largo del eje antero-posterior.

Los valores de estos espesores también se obtuvieron de investigaciones previas y literatura clínica^1-3,6 (figura 3).

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Modelo constitutivo del material

Los tejidos blandos son estructuras reforzadas con fibras. Sus propiedades mecánicas dependen de la concentración y disposición de elementos como elastina, fibras de colágeno y células musculares.^1-3

Para el estudio del comportamiento del material fue necesaria la determinación de propiedades mecánicas.⁵ Por lo tanto, se diseñó y construyó un dispositivo de ensayos (figura 4), que permite obtener datos de carga y alargamiento en una muestra de tejido escleral.

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Para la realización de estas pruebas se utilizaron ojos de porcino y vacuno con un tiempo de muerte de 2 h que fueron conseguidos en el municipio de La Mesa, Cundinamarca, Colombia. Los resultados de los ensayos de tensión son los presentados en la figura 5

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De la curva de esfuerzo-deformación se pueden deducir las siguientes conclusiones:

· La esclera en ojos de res presenta un comportamiento elastomérico no lineal (ver fig. 5). ]]> · Se asume un material hiperelástico^*, debido a las grandes deformaciones que experimenta la muestra cercana al 68 %, (ver fig. 5). Las no linealidades presentes en los materiales blandos, por sus propiedades viscoelásticas y de fluencia,⁵ tienden a un comportamiento dúctil y sin evidenciarse una apreciable deformación permanente, propiedad que le permite al tejido escleral soportar cambios de presión y deformarse sin sufrir el tejido desgarros o rupturas.¹

Teniendo en cuenta las anteriores conclusiones, se supone para el modelo un material hiperelástico. La ecuación de energía-deformación que rige el comportamiento hiperelástico se presenta en la siguiente ecuación (ver anexo): donde los cinco primeros términos corresponden a la deformación deviatorica.⁵ Las constantes C caracterizan la deformación deviatorica del material y los I determinan los invariantes del tensor de deformación.⁵ El último componente corresponde a la constante volumétrica.⁵

Solicitaciones y restricciones del ojo

La variación de la presión intraocular (PIO) es un parámetro importante al que se le asocia el crecimiento anormal del ojo (principalmente en su eje antero-posterior) en el desarrollo de algunas patologías.^1-3

La presión intraocular se sitúa entre los 16 y 18 mmHg, con un limite superior a los 21 mmHg. Cifras superiores a 22 mmHg son sospechosas de problemas como el glaucoma.^1,2 Por lo tanto, las cargas a las que se somete el ojo se relacionan principalmente con problemas hipertensivos (asociados con miopía y glaucoma).

]]> En el modelamiento se aplicó una presión intraocular uniforme sobre las caras internas del modelo (figuras 6 y 7). El valor de la PIO = 40 mmHg (0,005 Mpa) se aplicó uniformemente, ya que se consideró que el humor vítreo y el humor acuoso (líquidos intraoculares) se comportaban como un fluido normal al distribuir uniformemente las presiones, por ser fluidos constituidos por un alto porcentaje de agua.

Para solucionar los problemas de cáscaras (recipientes a presión de pared delgada) se incluyen consideraciones en el estado de deformación^** (teoría de membranas), entre las que se plantean:^7-9

1. No se consideran las fuerzas cortantes, y los momentos flectores (los materiales blandos se doblan bajo la acción de su propio peso); sólo se aplican las condiciones de frontera convenientes, en las que no aparecen contraindicaciones con las condiciones de equilibrio;⁵ existe compatibilidad.

2. Se tienen en cuenta la localización y las dimensiones de las inserciones musculares que restringen el ojo, el contacto de los músculos extrínsecos con el globo y la línea de acción que sigue cada uno de los seis músculos, (rectos y oblicuos). También se consideró la localización del nervio óptico como una discontinuidad en el globo ocular.

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El modelo se simplificó empotrando las áreas de inserción muscular y restringiendo el movimiento de la superficie en contacto con los músculos extraoculares, en las direcciones que definen el crecimiento radial del globo. Se supone que los esfuerzos y las deformaciones calculados son correctos a partir de una cierta distancia de donde se ha restringido el movimiento (hipótesis de Saint-Venant).⁹

Se restringió en las áreas de inserción de los tendones de acuerdo con el comportamiento fisiológico del ojo. El músculo lateral restringe el ojo en su parte posterior lateral en una sola dirección, al igual que el superior, el inferior y el medial.

Modelado computacional

Se realizó un modelo previo para observar el comportamiento de algunas variables, como el módulo de Young, forma de aplicación de cargas y los patrones de deformación obtenidos. Finalmente el modelado se realiza desde el enfoque no lineal hiperelástico con grandes deformaciones. ]]>

Tipo de elemento

Se trabajó con el tipo de elemento SHELL 181 (tetraedro),¹⁰ disponible para analizar estructuras moderadamente gruesas. Es recomendado por ANSYS para trabajar materiales hiperelásticos mediante opción Mooney. El elemento tiene cuatro nodos con seis grados de libertad. Cada nodo tiene traslaciones en direcciones x, y y z y rotaciones alrededor de los ejes x, y y z.

Al realizar las divisiones de las inserciones de los tendones y las áreas en las cuales los músculos restringen desplazamientos, se obtuvieron 216 áreas en total. Se enmalló el modelo con la opción de enmallado libre, mediante la división por líneas, tratando de no obtener elementos irregulares ni transiciones abruptas que produjeran una matriz de rigidez mal condicionada.

Constantes obtenidas

Mediante TB Data, de ANSYS, se ingresan los valores obtenidos en las pruebas experimentales en ojos de res. Posteriormente, mediante Mooney se calculan las 5 constantes requeridas para el modelo utilizado (figuras 8 y 9). ANSYS determina la bondad del ajuste de la curva real del ensayo de tensión uniaxial, a través de dos valores estadísticos: raíz cuadrada del error medio 0,23 % y coeficiente de determinación = 0,9.

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Posteriormente se ingresan las constantes al modelo del material como material hiperelastico, utilizando el modelo Mooney Rivlin.

RESULTADOS ]]>

Los patrones de deformación obtenidos en el modelado son comparables con las deformaciones presenten en ojos con problemas de miopía.^1-4 (figura 10).

El resultado de los desplazamientos totales se aprecia en la figura anterior. Se muestra cómo los desplazamientos de la zona posterior del globo tienden a ser mayores hacia el lado medial (parte superior de la figura), debido a la localización de los músculos extraoculares que restringen los desplazamientos, y se produce este patrón de deformación. Este comportamiento se evidencia también mejor en la parte inferior de la figura, donde se ve cómo el recto lateral limita el crecimiento radial del globo.

La mayor deformación se presenta en el medio de la región ubicada anteriormente a la inserción de los músculos recto inferior _ lateral _ superior, justo en la zona de menor espesor escleral (0,3mm). Estas deformaciones intermusculares clínicamente son conocidas como estafilomas.

]]> En la parte anterior del ojo, a nivel del limbo esclero-corneal, se aprecia un desplazamiento de la esclera hacia la córnea. Estos desplazamientos se deben a las rotaciones que presenta el tejido por la acción expansiva de la PIO, la acción restrictiva de los músculos y el cambio estructural del ojo en su transición hacia la córnea (figura 11).

La figura 12 muestra el esfuerzo equivalente de Von Mises que sufre el ojo, donde se aprecia que los esfuerzos máximos se presentan a nivel de las inserciones musculares.

En este modelo se obtienen patrones generales de deformación comparables con las observaciones clínicas en ojos miopes, pero los valores de los desplazamientos son bajos, debido a la resistencia mecánica que presenta el material escleral.

Aunque las deformaciones son bajas, se pueden distinguir claramente las zonas más propensas a sufrir altos desplazamientos, como es el caso de los espacios intermusculares donde se presentan abultamientos, además de la tendencia a la deformación axial del ojo hacia el lado medial.

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En el globo ocular existen zonas especiales de discontinuidad (cambios geométricos), en donde los esfuerzos tienen un valor superior al de los esfuerzos locales, como el caso del nervio óptico y la zona de las inserciones musculares.

  ]]> DISCUSIÓN

Es interesante estudiar la magnitud de los esfuerzos, para el estudio de procesos de crecimiento y remodelación, que están gobernados por el gradiente de tensión. Por lo tanto, zonas con altos valores de esfuerzos potenciales pueden exhibir fenómenos de remodelación, que se traducen en una reorganización de la estructura de la pared o engrosamiento de esta.

Se considera que los resultados son adecuados para evaluar de forma cualitativa una posible correlación entre magnitudes puramente mecánicas (esfuerzos y deformaciones) con alteraciones del ojo (figura 13).

La zona del ecuador y parte de la periferia ocular presentan los esfuerzos más elevados. Precisamente en estas zonas se generan comúnmente problemas como el desprendimiento de retina, que se puede dar por los esfuerzos elevados y por presentar uno de los menores espesores en el ojo, que limita la sujeción mecánica de la retina a la esclera. ]]>

En el caso de algunas patologías, como en el glaucoma, es importante anotar que la velocidad de aplicación de la carga (presión intraocular) también tiene un efecto magnificador del esfuerzo, cosa que no sucede en problemas como la miopía, en donde este efecto no tiene aplicación ya que el proceso es más lento y sostenido.

La acción restrictiva de los músculos extraoculares es un factor importante en el desarrollo de la deformación axial del ojo y la presencia de problemas de abultamiento escleral o estafilomas.

También es representativo que con la edad las propiedades mecánicas del material escleral se van perdiendo, como sucede con la elasticidad escleral que pierde con los años la capacidad de hidratación, volviéndose el material más rígido y susceptible a lesiones que, desde el punto de vista de materiales, puede significar una deformación permanente.

No hay que olvidar que generalmente se le asocia a los materiales blandos un comportamiento visco-elástico, en el que se presentan fenómenos como relajación de esfuerzos y de fluencia plástica en el ojo por acción de una carga sostenida en el tiempo se puede llegar a una deformación plástica del material escleral, por degeneramiento del material, lo que explica el crecimiento evidenciado por pacientes que, al padecer un alargamiento en el eje antero-posterior del ojo y luego de sufrir una disminución de su presión intraocular, esta deformación permanece.

Por su parte, en cuanto al análisis por elementos finitos, se debe tener en cuenta que los elementos con comportamiento hiperelástico son sensibles a las especificaciones del material y la aplicación de carga. Además, sobre el modelo se debe aclarar que algunos valores de las constantes de Mooney-Rivlin resultan en una matriz de rigidez bastante estable; sin embargo, otros pueden fallar. Por lo tanto, hay que elegir las constantes con precaución y ajustarlas suavemente si es necesario, de la forma en que se hizo en la presente investigación. ]]>

Como en todo modelo matemático y numérico se tienen limitaciones que deben ser discutidas. En primera instancia, se debe tener en cuenta que el modelo por elementos finitos no tiene en cuenta las tracciones que desarrollan el humor vítreo sobre la retina, y esta sobre la esclera. Este tipo de tracciones generan estados de esfuerzo complejo que pueden llevar al desprendimiento de la segunda. Se reconoce que el estado tensional del sistema puede llevar a dicha falla "mecánica" del globo ocular.

En segundo lugar, se debe tener en cuenta que el tejido que compone el ojo tiene varias subcapas que no han sido modeladas en este trabajo. Cada uno de estos tejidos contiene diferentes constantes mecánicas que hacen difícil determinar exactamente el sitio de falla del conjunto. Además, se tienen estructuras complejas en la parte anterior del ojo, como son la cámara anterior y los músculos ciliares, que son organizaciones importantes que refuerzan el conjunto del globo ocular.

En trabajos posteriores se realizará una acercamiento más preciso al tejido escleral y al modelado de las diferentes estructuras del globo ocular.

CONCLUSIONES ]]>

En el desarrollo de la investigación se obtuvo una base de sustentación para justificar, desde el punto de vista de la mecánica de materiales, la utilización de materiales hiperelásticos (elastómeros), para el modelamiento, a partir del arreglo de sus fibras y estructura como polímero.

Desde este punto de vista, este trabajo permitió desarrollar un modelo que explica la formación de los estafilomas en ojos miopes debido a la acción de las cargas mecánicas.

También bajo las anteriores hipótesis se logra observar las rotaciones y desplazamientos existentes en el material escleral que tiene el ojo humano. Por lo tanto, este trabajo es un primer acercamiento al desarrollo de modelos de tejido blando del globo ocular y sus estructuras para predecir el comportamiento mecánico de estos ante cargas intraoculares de elevada presión.

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AGRADECIMIENTOS

Los autores desean agradecer a la División de Investigación de Bogotá (DIB) de la Universidad Nacional de Colombia, que en la convocatoria de Investigación 2008 apoyó el presente proyecto bajo el título Modelado Matemático y Simulación de Procesos en Ingeniería Mecánica y Biomédica. También se desea extender los agradecimientos a los Ingenieros Yobany Barreto y Julián Torres, cuya ayuda fue fundamental para el desarrollo y finalización de este trabajo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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1. Amaya LE, Arciniegas A. Modelo Bioestructural del Ojo Humano. Informe presentado a COLCIENCIAS sobre el Proyecto. 1986.

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9. Timoshenko s. Theory of plates and shells. 1940.

10. ANSYS. Manual de Usuario. Washington. Canonsburg PA. 2002.

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Recibido: 4 de junio de 2008
Aprobado: 10 de julio de 2008

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Prof. Diego Alexander Garzón-Alvarado. Grupo de Modelado y Métodos Numéricos en Ingeniería. Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica. Universidad Nacional de Colombia. E-mail: dagarzona@bt.unal.edu.co

]]> ^*Con un comportamiento similar a los elastómeros que exhiben una alta elongación elástica.

**La distribución de los esfuerzos en cáscaras es estáticamente indeterminados.

Anexo. Leyenda

C₁₀: Primera constante de energía deformación. ]]> C₀₁: Segunda constante de energía deformación.

C₂₀: Tercera constante de energía deformación.

C₁₁: Cuarta constante de energía deformación.

C₀₂: Quinta constante de energía deformación.

I: Invariante de deformación.

J: Determinante del gradiente de deformación elástica.

PIO: Presión Intraocular.

W: Función de energía deformación.

D: Parámetro de incompresibilidad del material.

]]> 1 1986 2 2006 3 1981 4 1996 5 2000 6 1997 7 1995 21 1 1 68-73 9 1940 10 ANSYS 2002