Modelación de la Distribución K en MATLAB para Aplicaciones de Radar

Modeling the K Distribution in MATLAB for Radar Applications

José Raúl Machado Fernández, Jesús de la Concepción Bacallao Vidal

Grupo de Investigación de Radares, Departamento de Telecomunicaciones y Telemática, Facultad de Telecomunicaciones y Electrónica, Universidad Tecnológica José Antonio Echeverría (CUJAE), La Habana, Cuba.

RESUMEN

El clutter marino es una señal interferente que aparece en los sistemas de radar que operan en escenarios oceánicos o costeros. Los autores modelaron en MATLAB la distribución K, ampliamente reconocida como el mejor modelo para clutter marino ya que tiene en cuenta los dos mecanismos de fluctuación presentes en la señal de fondo. La implementación permite un acceso fácil a la manipulación de las funciones de distribución de probabilidad, funciones generadoras, momentos, algoritmos de bondad de ajuste y estimación de parámetros de la distribución. Expresiones matemáticas y notaciones de funciones informáticas fueron definidas para contribuir a la unificación de los estudios de clutter de radar relacionados al modelo K. La solución es un punto de partida para el desarrollo de nuevos esquemas de detección por parte del grupo de investigación de radares de la Facultad de Eléctrica de la CUJAE y contribuye a la conformación de la biblioteca MATE-CFAR 2.

Palabras claves:Distribución K de la Amplitud, Distribución K de la Potencia, Función de Densidad de Probabilidad, Clutter de Radar.

ABSTRACT

The sea clutter is an interfering signal that appears in radar systems operating in oceanic or offshore scenarios. The author simulated in MATLAB the K distribution, widely recognized as the best model for sea clutter because it takes into account the two fluctuation mechanisms coexisting in the background signal. The implementation allows an easy access to the handling of probability distribution functions, generating functions, moments, goodness of fit algorithms and parameter estimation techniques. Mathematical expressions and notations for computer functions were defined as a contribution to the unification of radar clutter studies related to the K distribution. The solution is a start point for the development of new detection schemes by the Radar Research Team from the CUJAE’s Electrical Engineering Faculty and contributes to the realization of the MATE-CFAR 2 library.

Key words: K distribution of Amplitude, K distribution of Power, Probability Density Function, Radar Clutter.

  ]]> 1.- INTRODUCCIÓN

Los radares son dispositivos dedicados comúnmente a la detección y rastreo de objetivos próximos en ambientes terrestres, marítimos y aéreos [1]. En un entorno ideal, los radares obtienen solamente el eco de la señal emitida cuando ella encuentra un blanco. En cambio, en escenarios reales el carácter reflector de la superficie que rodea al blanco produce una señal adicional ruidosa conocida como clutter [2].

El clutter es una señal aleatoria cuyo aporte no puede ser deducido por mecanismos puramente determinísticos. Consecuentemente, su modelación cae en el campo de las probabilidades y estadística de los procesos aleatorios. Múltiples han sido las distribuciones de probabilidad sugeridas en diversas publicaciones para la modelación de clutter, entre ellas las distribuciones Weibull [3] y Log-Normal [4] están entre las más populares. Desarrollos basados en estas distribuciones han sido concebidos por el Grupo de Investigación de Radar de la Facultad de Eléctrica de la Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría (CUJAE) [5-7].

Actualmente, el grupo dirige sus esfuerzos al trabajo con muestras de clutter subordinadas a la distribución K, ampliamente reconocida como el modelo preferencial para clutter marino [2]. Esto se debe a que representa el comportamiento de los ecos de la superficie marina como el resultado de la unión de dos contribuciones. La primera de ellas, conocida como el speckle (capilaridad), caracteriza el aporte de variación rápida; mientras que la segunda, bajo el nombre de textura, representa el aporte de variación lenta con un tiempo de decorrelación del orden de los segundos.

Dado su carácter compuesto, la distribución K tiene una definición matemáticamente más complicada que sus contrapartes Weibull y Log-Normal. Mientras que las últimas se ajustan a datos de clutter marino por mecanismos meramente empíricos, la distribución K proporciona un modelo mucho más fiel al comportamiento de la superficie del mar. Precisamente, el oleaje se considera compuesto por dos tipos de olas: capilares y pesadas [2, 8]. Las primeras cambian muy rápidamente y las segundas tienen una mayor inercia.

La definición matemática de la distribución K precisa de un total de cuatro distribuciones probabilísticas. Cuando se utilizan detectores de ley cuadrada (dominio de la potencia), como en [9-11], se emplea la distribución Gamma para el componente de textura y la Exponencial para el speckle. En el caso de utilizar detectores lineales (dominio de la amplitud), como en [12, 13], la distribución root-Gamma es utilizada para la textura y la Rayleigh para la capilaridad. Nótese que las distribuciones root-Gamma y Rayleigh resultan de hallar la raíz cuadrada de variables distribuidas Gamma y Exponencial respectivamente.

La distribución K no tiene ninguna función propia asociada en el Statistics Toolbox de MATLAB, al contrario de lo que ocurre para alternativas más ampliamente difundidas como la Weibull o la Log-Normal. Por ello, su modelación en esta herramienta informática adquiere especial importancia.

Entonces, los autores del presente artículo se trazaron como objetivo la modelación de la distribución K en MATLAB. Específicamente, se concentraron en reproducir el PDF (Probability Density Function, Función de Densidad de Probabilidad), CDF (Cumulative Density Function, Función de Densidad Acumulada), Momentos Centrados y Algebraicos, Función Generadora de Variables Aleatorias y Método para la Obtención de los Parámetros K, tanto en el dominio de la amplitud como en el de la potencia. 

El artículo se  desarrolla como sigue. A continuación, en la sección "Materiales y Métodos", se describen los fundamentos matemáticos de la modelación de la distribución K tanto en su versión para el dominio de la amplitud, como para el dominio de la potencia. Más adelante, también en "Materiales y Métodos", se presentan las funciones informáticas que fueron implementadas en MATLAB para la conformación de una mini-biblioteca de modelación K. La sección consecutiva, denominada "Resultados", ofrece prueba de la validez de cada una de las funciones informáticas, mostrando gráficos que revelan detalles de la implementación. Luego en "Discusión" se valora el aporte del presente artículo en el marco de los desarrollos actuales de radar. Por último, en "Conclusiones" se indican los logros fundamentales de la labor realizada y en "Recomendaciones" los autores describen algunas líneas futuras de investigación.

2. –MATERIALES Y MÉTODOS

La presente sección está dedicada a la caracterización de la distribución probabilística K tanto en su versión de la amplitud como en la de la potencia. Además, se presentan las funciones matemáticas que fueron implementadas, ofreciendo una breve descripción del objetivo perseguido por cada una. La información presentada está concebida para facilitar la reproducción del estudio por terceros.

2.1.- DISTRIBUCIÓN K EN EL DOMINIO DE LA AMPLITUD

El clutter de alta resolución fue representado por la distribución K por primera vez por K.D. Ward en [14]. En este modelo compuesto, el clutter marino consiste dedos componentes que caracterizan la amplitud de la envolvente de los retornos del clutter marino.

El primer componente representa la variación del nivel promedio, frecuentemente llamado proceso modulador o textura, que puede ser relacionado con el perfil de la superficie del mar. El nivel medio se asocia frecuentemente con las olas grandes del mar y la estructura del oleaje [15]. Este componente tiene un tiempo de correlación elevado (varía solo lentamente con el tiempo) y no está afectado por el empleo de esquemas con agilidad en frecuencia [15].

El segundo componente es llamado speckle y ocurre debido a la naturaleza múltiple de las olas capilares en cualquier celda de distancia. Se decorrelaciona en unos pocos milisegundos debido al movimiento relativo de estas olas o por el uso de agilidad en frecuencia [15, 16]. El período de decorrelación está entre 5 y 10 ms [16].

Por tanto, la envolvente compleja de la amplitud del clutter conforme al modelo de la distribución K se obtiene por la multiplicación de estos componentes según la siguiente ecuación [2]:

]]> En la expresión anterior,  es la envolventecompleja del clutter marino, y la envolvente compleja del componente de capilaridad que se descompone en variables Gaussianas en fase y en cuadratura con media cero y varianza (σ²):

La media local (Y) tiene una función de densidad f_y(y) modelada por la distribución Root-Gamma ( también conocida como generalizada Chi ) [17]:

Donde b y v son los parámetros de escala y forma respectivamente de la distribución Root-Gamma, y el término Γ(.)es la función Gamma.

La amplitud de la envolvente compleja de los retornos del clutter marino está dada por:

La amplitud de la componente de capilaridad posee distribución de amplitud Rayleigh con parámetro α. La función  densidad de probabilidad de || está dada por [17]:

La variable s puede ser escrita como:

Si las variables se arreglan de acuerdo a la expresión anterior, la Función de Densidad de Probabilidad Condicional f(x|y) será [17]:

Luego de varias transformaciones, detalladas en [17], se obtiene la PDF K:

Donde b y c son los parámetros de escala y v es el parámetro de forma que depende de las condiciones del mar y de los parámetros del radar. Además, K(.) es la función modificada de Bessel de segunda especie y de orden v-1.

Los momentos algebraicos de orden n de y son descritos según [17] como:

Mientras que los momentos algebraicos de orden n de la distribución K están dados por [18]:

]]> La media del nivel del clutter E〈x〉 y la media del cuadrado del clutter E〈x²〉 calculadas a partir de (10) son:

Las ecuaciones de transformación a los momentos centrales pueden tomarse de [19], y la forma de calcular los parámetros de asimetría (skewness) y curtosis (kurtosis) de [20].

La Función de Distribución Acumulativa K de la amplitud es:

La relación de (11) permite fijar la media de las muestras generadas a 1 si se hace:

Por último, en [21] se afirma que, luego de varias comparaciones, la mejor expresión para la estimación de los parámetros se basa en el segundo y cuarto momentos. Dicha expresión, luego de hacer un pequeño ajuste producto de diferencias encontradas en las notaciones aplicadas, queda como:

Donde m₄ es el momento algebraico de cuarto orden y m₂ es el momento algebraico de segundo orden.

2.2.- DISTRIBUCIÓN K EN EL DOMINIO DE LA POTENCIA

En algunas aplicaciones de radar, el detector opera en la zona cuadrática, razón por la cual se requiere obtener la distribución estadística de la potencia de la envolvente compleja. Nuevamente, la potencia de la distribución K puede darse como la multiplicación de dos componentes, el cuadrado de la media local y el speckle, como se muestra a continuación [17]:

Donde W=|X ̃|², Z=Y² y R=||². La media local, Y, tiene una PDF f_Y(y) dada de acuerdo a (3). Por su parte, la PDF de Z está distribuida gamma, según fue desarrollada en:

La amplitud del componente de capilaridad posee una distribución Rayleigh y su versión al cuadrado (R) tiene una PDF exponencial:

De forma similar, r puede escribirse como:

]]> Si las variables son cambiadas de acuerdo a (18), entonces la PDF condicional f(x|y) queda como:

Luego de varias transformaciones abordadas en [17], la PDF de la distribución K de la potencia del clutter queda:

Donde b y c son los parámetros de escala y v es el de forma.

Los momentos algebraicos de orden n de la distribución K de la potencia son:

Entonces, el promedio de la potencia del clutter y la media del cuadrado de la potencia del clutter son:

Conjuntamente, para generar muestras de media igual a uno se puede hacer:

La función de distribución acumulada K de la potencia se puede obtener luego de adaptar la notación utilizada en [11]:

Por último, la expresión para la estimación del parámetro de forma en el domino de la potencia de la distribución K se puede tomar de [22]:

2.3.- FUNCIONES IMPLEMENTADAS

La tabla 1 muestra las funciones que fueron implementadas en MATLAB para la modelación de la distribución K. Cada una de ellas es comentada un poco más adelante. Nótese que las funciones antecedidas por k_ corresponden al modelo K de la amplitud y las precedidas por k2_ corresponden al de la potencia. En lo adelante, cuando se haga referencia a una función sin especificar el atributo k_ o k2_ debe asumirse que se indican ambas alternativas (por ejemplo _chi_squared hace referencia tanto a k_chi_squared como a k2_chi_squared).

Las funciones _pdf y _cdf permiten graficar la PDF y la CDF K de amplitud y de la potencia para cualquier valor de los parámetros aplicando (8), (12), (20) y (24). La función _gen genera muestras usando (4) y (15) a partir de los mecanismos de generación de variables aleatorias Rayleigh, Exponencial, Gamma y Raíz-Gamma. La función _gen_plot utiliza _gen para generar muestras y luego grafica el resultado en una serie de tiempo. Algo parecido hace _gen_hist que organiza las muestras en un histograma, ofreciéndose así otra forma de visualización. Conjuntamente, _gen_compare genera muestras y grafica una comparación del histograma y la función PDF teórica. Esta última función es quizás la más ilustrativa de las tres en cuanto a la correspondencia de los datos al modelo.

El código colocado en _residual permite calcular los residuos del PDF obtenido a partir de muestras generadas con respecto al PDF ideal. También se grafica este residuo, en lo que constituye un medidor básico de la desviación por el uso de un conjunto finito de muestras. Una alternativa a esta medición es _chi_squared que realiza una prueba de ajuste muy conocida y que es detallada en [23].

La función _ideal_moments calcula los momentos teóricos centrales de los cuatro primeros órdenes mostrados en (10) y (21), a la vez que ofrece estimaciones de la asimetría y la curtosis. Por su parte, _real_moments estima los momentos centrales a partir de un conjunto finito de muestras. La comparación entre los resultados de estas funciones revela la distorsión en los momentos centrales por el uso de un conjunto finito de muestras. Similar a _ideal_moments y a _real_moments se contruyeron las variantes _alg_ideal_moments y alg_real_moments que operan de manera igual forma pero para los momentos algebraicos en lugar de los centrales.

La función _estim_par, implementa las expresiones (14) y (25) para estimar el parámetro v de las distribuciones K y K2 respectivamente. Esta función permite apreciar la convergencia de la estimación con respecto al aumento del tamaño muestral.

Por último, la función _gen_sets permite generar varios conjuntos en una matriz bidimensional que almacena un conjunto en cada columna. La lógica implementada no utiliza ningún algoritmo nuevo; se limita a llamar en múltiples ocasiones a _gen para lograr una generación fácil de múltiples conjuntos. La conformación de este tipo de conjuntos es deseada cuando se entrenan clasificadores basados en redes neuronales como los desarrollados previamente por el Grupo de Radares de la CUJAE [7, 24].

3. –RESUTADOS

La presente sección muestra la aplicación de cada una de las funciones implementadas. Primeramente, se valida la implementación de la PDF por comparación con gráficas proporcionadas por otros autores. Luego, el resto de las funciones son validadas a través de su interacción con la PDF. La sección se divide en varios apartados que agrupan las funciones con propósitos comunes.

3.1.- FUNCIONES DENSIDAD DE PROBABILIDAD Y PROBABILIDAD ACUMULATIVA (PDF Y CDF)

Las funciones de PDF y CDF para la distribución K de la amplitud y de la potencia fueron implementadas a través de _pdf y _cdf. Cada una de las cuatro funciones creadas toma dos parámetros de entrada correspondientes a los parámetros de la distribución. Además, es necesario especificar los puntos del eje de las abscisas donde se desea realizar el gráfico.

La figura 1 muestra resultados obtenidos utilizando la función k_pdf. La gráfica (a) revela el efecto de la variación del parámetro de escala (c) y la gráfica (b) hace lo mismo para el parámetro de forma (v). La distribución K de la amplitud converge con la distribución Rayleigh cuando v→∞; mientras que valores pequeños de v exhiben colas muy alargadas.

Las figuras 3 y 4 despliegan las salidas respectivas de las funciones k_cdf y k2_cdf. Obsérvese que la variación seleccionada para los parámetros coincide con aquella de las figuras 1 y 2. Es importante notar que las funciones acumulativas se acercan a uno cuando las de densidad están muy próximas a cero.

Los resultados ofrecidos en esta sección son básicos para la modelación cabal de la distribución K. La comparación de las curvas obtenidas con aquellas ofrecidas en [10, 17]permite comprobar que se implementó la distribución K tal y como se describe en la literatura. Los siguientes apartados intertuarán con las funciones de PDF para asegurarse que los resultados alcanzados quedan validados.

3.2.- GENERACIÓN DE VARIABLES DISTRIBUIDAS K

Las variables distribuidas K se obtienen de la síntesis de una distribución Rayleigh y una Root-Gamma para el caso de la amplitud. Cuando se opera en el dominio de la intensidad se utilizan en su lugar una Exponencial y una Gamma. En total, se crearon cuatro pares de funciones asociadas a la generación de variables K. El par de funciones básicas está formado por k_gen y k2_gen que permiten generar muestras K y K2 respectivamente, solicitanto la configuración de los parámetros c y v y la cantidad de muestras a generar.

Los tres pares de funciones restantes llaman a k_gen y k2_gen y grafican su contenido de diferentes maneras. El par _gen_plot grafica las muestras en una secuencia, según se muestra en la figura 5. En la gráfica (a) se ilustran las muestras K y en la gráfica (b) las K2, en un esquema que será seguido en el resto de las figuras.

El par de funciones _gen_hist arregla las muestras en histogramas. Así proporciona una manera mucho más cómoda de estudio del conjunto generado. En la figura 6 se grafican dos conjuntos de 3000 muestras K y K2 para los parámetros c=1 y v=3.

Adicionalmente, las funciones k_gen_compare y k2_gen_compare están concevidas para comparar los histogramas con las curvas teóricas de PDF. De esta forma se logra la validación del componente de generación de la variable K. Obsérvese en la figura 7 quedos conjuntos de 1000 muestras fluctúan alrededor del valor ideal del PDF de amplitud y potencia K. Este es el comportamiento esperado para un tamaño muestral reducido.

3.3.- AJUSTES DE LAS MUESTRAS AL MODELO

El presente apartado incluye dos pares de funciones que permiten comprobar la pertenencia de las muestras generadas al modelo. Los dos mecanismos clásicos implementados son: la medición de los residuos y la prueba de ajuste chi-cuadrado (chi-squared).

En ocasiones en difícil deducir si un determinado valor medio o máximo en los residuos niega la pertenencia de un conjunto de muestras a una distribución. Precisamente, la prueba Chi-cuadrado brinda un algoritmo de bondad de ajuste que sintetiza la decisión sobre la pertenencia de las muestras a la distribución en un valor único. El valor, comúnmente denotado p, acepta la hipótesis de pertenencia siempre que esté por encima de 0,05.

La figura 9 grafica 200 pruebas Chi-Cuadrado realizadas sobre 100 conjuntos K (gráfica a) y 100 conjuntos K2 (gráfica b). Obtenidos utilizando la función _chi_squared,  los gráficos revelan una diferencia importante entre las distribución K y K2. La K2 parece ser más spiky porque rechaza la hipótesis de pertenencia más seguido para un tamaño muestral común.

3.4.- ESTIMACIÓN DE MOMENTOS Y PARÁMETROS

El último grupo de funciones está destinado a la estimación de los momentos algebraicos y centrales de la distribución K en el dominio de la amplitud y de la intensidad, así como a la estimación del parámetro de forma que tiene especial importancia en la detección según se ha comprobado en [6].

Un ejemplo del uso de las funciones k_ideal_momentsy k_real_moments se muestra en la figura 10. En ella fueron estimados la media, varianza, asimetría y curtosis ideales y reales de 100 conjuntos de 1000 muestras distribuidas K. Como puede apreciarse, las funciones están correctamente implementadas pues los valores reales calculados de los conjuntos oscilan alrededor de los teóricos. Un comportamiento similar fue obtenido para los pares de funciones (k2_ideal_moments,k2_real_moments), (k_alg_ideal_moments,k_alg_ideal_moments) y (k2_alg_ideal_moments,k2_alg_ideal_moments).

El siguiente par de funciones, k_estim_pary k2_estim_par, implementan la estimación del parámetro de forma de las distribuciones K y K2 utilizando los momentos segundo y cuarto. La estimación no es exacta y su precisión mejora con el aumento del tamaño muestral. La figura 11 grafica un ejemplo de la estimación para 100 conjuntos de 1000 muestras cada uno, generados con v=3. Es fácil apreciar que el esquema de estimación funciona correctamente pues los valores obtenidos fluctúan alrededor de la magnitud de v con que fueron generadas las muestras.

Por último, la funciones k_gen_sets y k2_gen_sets permiten generar conjuntos de muestras especificando los parámetros deseados. Por ejemplo, para conformar la figura 11 fue necesario generar los conjuntos apropiados con _gen_sets antes de llamar a _estim_par.

4.–DISCUSIÓN

El presente artículo contribuye al desarrollo del Grupo de Radares de la CUJAE pues define el conjunto de funciones necesarias para la modelación, en MATLAB, de la distribución estadística K, tanto en su versión de la amplitud como de la potencia. El desarrollo aquí logrado viene a ser una continuación de lo implementado en para las distribuciones Weibull, Log-Normal, Gamma, Exponencial y Rayleigh.La implementación de las funciones relacionadas con los momentos y con la estimación de parámetros facilita el desarrollo de estudios vinculados a los detectores DRACEC[25] (Detección de blancos de Radar por Análisis y Clasificación Estadística de la emisión Celular) y NATE-CFAR (Neural Adaptive Threshold Estimation- Constant False Alarm Rate, Estimación Neuronal Adaptativa del Umbral con Razón de Falsa Alarma Constante)[7, 26], dos de las líneas principales de investigación del grupo de radares del ISPJAE.

La implementación cabal de la distribución K lograda por los autores viene a suplir las carencias encontradas en investigaciones anteriores  donde los resultados estuvieron limitados por el incompleto entendimiento y modelación de la distribución. El presente documento tiene además la ventaja de sintetizar una descripción teórica importante y unificada de las expresiones relacionadas con la distribución K. Los autores encontraron en la revisión de la literatura, que ninguna investigación previa había recogido y relacionado todas las expresiones referentes a la distribución K y que al mismo tiempo el modelo está entre los más usados en investigaciones actuales [13, 27]. El aporte actual cobra también una significación educativa porque ayuda a entender el mecanismo compuesto de generación de muestras de amplitud del clutter marino y puede ser incluido en análisis y experimentos conducidos en los cursos de postgrados de radares impartidos en el ISPJAE.

El aporte de [28] se une al actual para comenzar a formar una pequeña biblioteca de modelación de clutter de radar. El objetivo perseguido por los estudios es el de contribuir a la creación del producto informático MATE-CFAR 2 (MAtlab Test Environment- Constant False Alarm Rate detectors 2, Ambiente de Pruebas en MATLAB para detectores de Razón de Falsa Alarma Constante que a su vez sería una progresión del MATE-CFAR versión 1 presentado en [5]. La nueva herramienta pretende incluir modelación de diversos tipos de clutter, blancos y detectores CFAR de radar, así como técnicas de estimación de parámetros.

5.–CONCLUSIONES

Se logró implementar la distribución K  en MATLAB para la modelación de clutter de radar tanto en su versión de la amplitud como para el caso donde se opera con mediciones de potencia. La modelación adquiere un carácter novedoso pues la aplicación MATLAB no cuenta con ninguna función de modelación K, a diferencia de lo que sucede con otras distribuciones estadísticas. Las funciones implementadas incluyen la modelación de la PDF, la CDF, la función generadora de variables aleatorias, algoritmos de bondad de ajuste, momentos y estimación de parámetros, entre otros. La validez de la solución fue comprobada mediante la comparación con curvas de PDF y CDF dadas por otros autores, y mediante la interacción entre las diferentes funciones implementadas.

El aporte de este artículo pretende unirse a otros para la constitución de una biblioteca informática de simulación de radares que se denominará MATE-CFAR 2 y tiene un aporte educativo e investigativo. Conjuntamente, la implementación actual viene a suplir defectos de investigaciones anteriores que no contaban con una definición y modelación cabal de la distribución K como la lograda. Consecuentemente, se viabiliza la realización de estudios relacionados con convergencia de los momentos K y técnicas de estimación de parámetros de distribuciones estadísticas.

Los autores de la presente recomiendan la modelación de otras distribuciones de radar como la Pareto e Inversa Gaussiana, y la simulación de procesadores CFAR. Sería provechoso también agregar al conjunto de funciones simuladas métodos alternativos de estimación de parámetros, un medidor de residuos con respecto al CDF y la prueba de bondad de ajuste K-S (Kolmogorov-Smirnov) en sus versiones clásica y mejorada. Igualmente, es necesario lograr modelar las propiedades de correlación del clutter marino en el ánimo de evaluar su influencia en los esquemas de detección. Por último, los autores recomiendan la realización de estudios bibliográficos sobre el rango de parámetros que pueden tomar las distribuciones abordadas cuando se ajustan a datos de clutter.

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Recibido: 4 de marzo de 2016
Aprobado: 8 de julio de 2016

  ]]> José Raúl Machado Fernández. Grupo de Investigación de Radares, Departamento de Telecomunicaciones y Telemática, Facultad de Telecomunicaciones y Electrónica, Universidad Tecnológica José Antonio Echeverría (CUJAE), La Habana, Cuba. E-mail: josemf@electrica.cujae.edu.cu.