Modelos cinemático y dinámico de un robot de cuatro grados de libertad

Kinematic and Dynamic Models for a 4-DOF robot

Eileen Cardoso ^I, Adel Fernández ^I, Sergio A. Marrero-Osorio ^II, Pablo F. Guardado ^III

^I Facultad de Automática y Biomédica, Departamento de Automática y Computación, Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría. La Habana, Cuba. ]]> ^II Facultad de Ingeniería Mecánica, Departamento de Mecánica Aplicada, Universidad Tecnológica de La Habana José Antonio Echeverría. La Habana, Cuba.
^III Ingeniería Mecatrónica, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Ciudad Juárez, Chihuahua, México.

RESUMEN

En este trabajo se obtienen los modelos cinemático y dinámico de un robot industrial de cuatro grados de libertad. El modelo cinemático se valida a través de una plataforma experimental, un microcontrolador y un programa de computadora de alto nivel. Con base en el modelo dinámico, se determina la capacidad de carga del manipulador. Se toman en cuenta las principales referencias bibliográficas actuales para el análisis de los robots industriales y se realiza una discusión de los resultados de varias simulaciones. Los modelos se pueden aplicar al diseño de mecanismos, componentes y controladores de robots de semejante morfología.

Palabras claves: manipulador robótico, robótica industrial, modelo cinemático, modelo dinámico.

ABSTRACT

In this work the kinematic and dynamic models of an industrial robot of four degrees of freedom is obtained. The kinematic model is validated through an experimental platform, a microcontroller and a high-level computer program. Based on the dynamic model, the load capacity of the manipulator are determined. The main references for the analysis of industrial robots are taken into account and a discussion of the results of several simulations is made. The models are applicable to manipulators with the same morphology in order to design mechanisms, components and controllers.

Key words: robotic manipulator, industrial robotic, kinematic model, dynamic model.

1.- INTRODUCCIÓN

El desarrollo tecnológico y la automatización de los procesos industriales han evolucionado a tal punto, que la mayoría de las grandes industrias, para disminuir los costes de producción y responder a la demanda, han tenido que actualizar sus procesos e insertar los robots industriales. Con estas máquinas se provee a los operadores de mecanismos autónomos que ayudan a ampliar sus capacidades físicas. Este fenómeno de crecimiento de la robotización industrial ha movido al mundo de la investigación para crear máquinas que puedan colaborar con el hombre en un mayor número de funcionalidades, mejor eficiencia energética, mayor capacidad de adaptación a las condiciones del entorno de trabajo, mayor seguridad en las operaciones y para producir bienes en un mínimo de tiempo [1,2].

El objetivo de este trabajo es la obtención y validación de los modelos cinemático y dinámico de un robot industrial de cuatro grados de libertad. Para validar el modelo cinemático se construyó una plataforma experimental que utiliza el brazo robótico S5 de carga/descarga modelo DIY de Sain Smart, que en lo delante denominaremos abreviadamente BRCD. Los modelos matemáticos a obtener son una herramienta útil para el diseño de robots que tengan esta configuración; considerando que la actividad de diseñar incluye el dimensionado y la selección de materiales para las uniones, brazos, soportes y otras partes; y también la selección de componentes como actuadores, cojinetes, pernos, y otras componentes. Desde el punto de vista de control, el modelo dinámico es utilizado para el control de posición, velocidad, fuerza entre otros. Es posible encontrar robots con esta morfología en procesos industriales de estibación, embalaje, soldadura, corte y pintura [3–5].

Los objetivos específicos del trabajo se enumeran a continuación:

1.       Obtener el modelo cinemático directo de posición, inverso de posición, directo de velocidad e inverso de velocidad para el BRCD.

2.       Obtener el modelo dinámico del BRCD.

3.       Validar de forma práctica y/o simulada cada uno de los modelos obtenidos.

La estructura del contenido es la siguiente: En la sección 1 se realiza una revisión de las metodologías para la modelación de los manipuladores robóticos que existen en la actualidad. En la sección 2 se establece el marco teórico para el análisis de la cinemática del manipulador robótico y se aplican las técnicas necesarias para resolver la cinemática de posición y de velocidad. En la sección 3 se describen los materiales y componentes que se utilizaron para la construcción de la plataforma experimental y se discuten los resultados prácticos y teóricos obtenidos de la validación del modelo cinemático. En la sección 3 se establece el marco teórico para la modelación dinámica, se obtiene el modelo y se valida a través de una simulación. Además, mediante un algoritmo se calcula la capacidad de carga del manipulador.

2.-CONCEPTOS BÁSICOS Y TRABAJOS RELACIONADOS

En la literatura se reportan varios métodos para enfrentar el proceso de modelación de un manipulador. La estructura mecánica del robot que es objeto de estudio es fundamental a la hora de seleccionar una metodología a seguir.

Para el análisis cinemático, en el caso de estructuras simples, se utilizan técnicas basadas en trigonometría y geometría elementales. En particular se aplican las propiedades de los ángulos interiores de los triángulos, el teorema de Pitágoras, las relaciones trigonométricas y la ley de los cosenos. El álgebra lineal es otra de las ramas fundamentales. En casi todas las etapas de modelación se necesita efectuar operaciones matriciales y vectoriales, aplicadas a los movimientos de traslación y rotación de un cuerpo rígido en el espacio.

Es de vital importancia el dominio de las matrices de rotación dadas en (1a, b, c), donde sin(θ) = s y cos(θ) = c. Estas matrices permiten expresar las coordenadas de un vector sobre un marco de referencia, en función de otro marco de referencia que se encuentre rotado con respecto al primero [6,7]. La rotación de un marco de referencia sobre el eje x un ángulo ϴ se calcula con la matriz de rotación R_x,θ, sobre al eje y con la matriz R_y,θ, mientras que sobre eje z con R_z,θ.

En el análisis de un manipulador robótico se debe asignar un marco de referencia a cada eslabón que conforma su cadena cinemática (Figuras 1 y 2). El primer marco representa la base del manipulador y el último su punto terminal (PT). Aunque los marcos pueden asignarse arbitrariamente es aconsejable seleccionar un convenio para la localización de los marcos, esto favorece la modelación del manipulador y la eficiencia computacional. La convención fundamental para la asignación de marcos de referencia es la de Denavit y Hartenberg (DH)[6,7].

Para la modelación cinemática y dinámica es necesario aplicar el convenio DH de forma tal que se describa el robot en función de los parámetros estáticos de los eslabones y las variables de cada articulación. Estas variables pueden ser de desplazamiento o de rotación. La modelación se divide en cinco partes:

Modelo cinemático directo de posición: determina la posición del PT a partir de las variables de articulación [8–11].

Modelo cinemático inverso de posición: determina el valor de las variables de articulación en función de la posición del PT deseada. Su solución puede obtenerse mediante una relación matemática explícita o por medio de procedimientos numéricos iterativos [8,10,11]. Para casos de robots con 6 GDL se recomienda el uso del método de desacoplamiento cinemático. Este método permite resolver los tres grados de libertad dedicados al posicionamiento de manera independiente a los tres grados de libertad dedicados a la orientación [6]. Los métodos numéricos tienen el inconveniente de que su convergencia no siempre está garantizada.

Modelo cinemático directo de velocidad: determina la velocidad del PT a partir de las velocidades de las variables de articulación. Para obtener este modelo se debe definir la matriz jacobiana del manipulador. Esta puede considerarse como la versión vectorial de la derivada ordinaria de una función escalar [8,11].

Modelo cinemático inverso de velocidad: determina las velocidades de las variables de articulación a partir de la velocidad del PT deseada. Este modelo es fácil de obtener si se calcula la inversa de la matriz jacobiana. En caso de que la matriz jacobiana sea no cuadrada, deberá utilizarse la denominada pseudoiversa [8,11].

Modelo dinámico: es imprescindible para diseñar y evaluar la estructura mecánica del robot, así como dimensionar los actuadores y otras partes. Para la resolución de este modelo se usan métodos y procedimientos basados en la mecánica Newtoniana y Lagrangiana [6,7,12]. La formulación del modelo dinámico por el método Euler–Lagrange fue presentado por Uiker en 1965. Este modelo conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento (inercia, centrifuga, Coriolis, gravedad). ^.La desventaja del modelo radica en que es ineficiente desde el punto de vista computacional, pues el número de operaciones crece con una potencia de cuatro en relación con el número de grados de libertad que presente el robot [6,8,13,14]. Otro método utilizado para la obtención del modelo dinámico es mediante la formulación de Newton-Euler [15]. Para usar este método se parte de la ley de conservación de par y fuerza. Se aplica habitualmente en robots de 6 grados de libertad, ya que el coste computacional es mucho menor en comparación con el método Euler–Lagrange.

3.- MODELO CINEMÁTICO

La Figura 1 muestra la representación simbólica del BRCD, sobre esta representación aparecen los 5 marcos de referencias necesarios para modelar el brazo. Note que el BRCD tiene cuatro grados de libertad, debido a sus cuatro articulaciones rotacionales y sus cinco eslabones, contando la base. Este manipulador se denomina angular o articulado y posee un área de trabajo esférica. De acuerdo con el convenio DH los marcos de referencia se colocan considerando las siguientes pautas:

1.       Las articulaciones se enumeran desde i = 1 hasta n, siendo i, la i-ésima articulación.

2.       Los ejes z_i se colocan a lo largo de la siguiente articulación i+1.

3.       Si z_i y z_i-1 se interceptan, el origen del marco x_iy_iz_i se sitúa en ese punto. Esto sucede tanto entre los marcos x₀y₀z₀ y x₁y₁z₁, como entre los marcos x₂y₂z₂ y x₃y₃z₃.

4.       El eje x_i se toma a lo largo de la normal común entre los ejes z_i y z_i-1 con dirección desde la articulación i hacia i+1.

5.       El eje y_i se toma de forma que se complete el marco.

7.       Para el último eslabón no hay marco i+1. En general la articulación n es de rotación y el eje z_n se escoge alineado con z_n-1.

En la Tabla 1 se muestran los datos particulares del BRCD, se observan datos constantes que representan las dimensiones de los eslabones y los ángulos de torsión entre las articulaciones 1 y 2, y las articulaciones 3 y 4 respectivamente. Note que en cada fila de la tabla solo hay una variable, en este caso el ángulo de rotación de cada una de las articulaciones θ_i.

Para conocer la posición del PT se puede simplificar el esquema mostrado en la Figura 1, ya que es obvio que la articulación 4 no influye en la posición final del manipulador. La Figura 2 muestra la nueva representación y la Tabla 2 los parámetros asociados.

Note que la Tabla 2 disminuye en una fila con respecto a la Tabla 1, lo cual repercutirá en la cantidad de operaciones a realizar para calcular la cinemática directa del manipulador. Al eliminar la articulación 4 no hay ángulo de torsión entre 2 y 3 y la distancia de articulación d₄ se convierte en el largo de eslabón a₃. 

El convenio DH indica que cada fila de la Tabla 2 debe ser convertida en una matriz homogénea A_i^i-1 que se obtiene de la composición de 4 matrices homogéneas básicas según la siguiente ecuación:

La matriz R_z,_ϴi indica rotación en el eje z un ángulo ϴ_i, la matriz T_z,di indica traslación sobre el eje z una distancia d_i, la matriz R_x,αi indica rotación en el eje x un ángulo α_i, mientras que la matriz  T_x,ai indica traslación sobre el eje x una distancia a_i. Al efectuar estas operaciones matriciales se tiene como resultado la ecuación (3), que es una matriz homogénea en función de ϴ_i ya que el resto de los parámetros son constantes.

A partir de la ecuación anterior se obtienen las matrices asociadas a cada eslabón:

El primer resultado A₁⁰ brinda información de la orientación del marco x₁y₁z₁ referido al marco base. Ambos marcos están superpuestos uno encima del otro, pero con una orientación diferente. El segundo marco está trasladado una distancia [a₂cosθ₂ a₂sinθ₂ 0]^T respecto del primer marco y también con una orientación diferente a este. Por último, el marco x₃y₃z₃ está desplazado [a₃cosθ₃ a₃sinθ₃ 0]^T respecto del segundo marco y también con una orientación diferente.

La composición de estas matrices homogéneas según la ecuación (4) permite encontrar las coordenadas del PT del manipulador en función del marco base y por tanto la posición de este punto respecto a la base.

Donde cosθ_i= c_i y sinθi = s_i. De la matriz (5) se obtiene el modelo cinemático directo de posición para el BRDC.  La posición del PT es:

Ejemplo 1: Para θ₁=30°, θ₂=45°, θ_­3=60°, la posición alcanzada por el PT fue de (2.6195, 1.5123, 23.8454). En la Figura 3 se observa la representación gráfica del manipulador para estos ángulos.

Resolver el modelo cinemático inverso, o sea, obtener los valores de q a partir de O₃⁰ implica resolver el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas que se observa en (6). Sin embargo, estas ecuaciones trigonométricas no son sencillas de resolver, la mayor parte de las veces hay más de una solución posible e incluso infinitas soluciones. Para el BRCD se aplica el método geométrico que se describe a continuación.

De la Figura 4 se observa que el ángulo θ₁ se obtiene de la ecuación trigonométrica:

A partir de la Figura 4 y el teorema de Pitágoras se plantea la ecuación:

Para obtener los valores de θ₂ y θ₃ se utiliza la construcción geométrica que se muestra en la Figura 5. La misma muestra dos posibles posturas del BRCD para alcanzar la misma posición final.

Aplicando la ley de cosenos y (12) se tiene:

Despejando cosθ₃ en (14) y combinando con (13) se obtiene:

Combinando (16) y (17) en (9) se obtiene:

El valor de θ₂ se obtiene:

Donde β se calcula a partir de (13) y (15):

Y α se calcula usando (9) y (11):

Las ecuaciones (10), (18) y (19) conforman el modelo cinemático inverso de posición para el BRCD. Estas ecuaciones quedan en función de los parámetros constantes del manipulador a₂, a₃ y el PT dado por las coordenadas (p_x, p_y, p_z).

Ejemplo 2: Si se desea que el PT esté en la posición (10, 10, 15).  La primera solución está dada por los ángulos: θ₁=45°, θ₂ = -8.6°, θ₃ = 85.7°; mientras que la segunda solución por: θ₁ = 45°, θ₂ = 102°, θ₃ = -85.7°. La Figura 6 muestra la representación en 3 dimensiones para las dos posturas posibles del BRCD.

Para calcular la cinemática directa de velocidad se debe tener en cuenta que cada articulación rotacional aporta velocidad angular y velocidad lineal al PT. El aporte de cada articulación depende de la posición del robot para cada instante de tiempo t. La ecuación (22) muestra la forma correcta de adicionar las velocidades angulares en un manipulador robótico [7]. 

En (22) n es la cantidad de articulaciones del manipulador. Note que las velocidades angulares solo pueden sumarse si están referidas al mismo marco de referencia. El término R⁰_i-1ω_i^i-1 permite adicionar la velocidad angular ω_i^i-1 que aporta la articulación i, por medio de su actuador, al PT. Para ello se multiplica esta cantidad por la matriz de rotación R⁰_i-1 del marco x_i-1y_i-1z_i-1 respecto de la base.

La representación de la velocidad lineal y angular del PT se escribe en forma vectorial Ẋ = [v_x v_y v_z ω_x ω_y ω_z]^T.  El modelo matemático de la cinemática de velocidad directa del manipulador implica obtener la matriz jacobiana J de la ecuación (23).

Los valores de J_ωi se pueden inferir directamente de la ecuación (22). Para ello se reescribe esta ecuación de la siguiente forma:

Donde v es el vector velocidad lineal, ω el vector velocidad angular y r = d_n^i-1, o sea la distancia entre el origen del marco de referencia de la i-ésima articulación O_i-1 y el marco de referencia del PT, O_n, según se puede ver en la Figura 7. Reescribiendo (29) en función de las variables de articulación se tiene:

En (24) los términos J_i se obtienen de la siguiente forma:

Los valores de R_i⁰ y O_i se calculan a partir de las ecuaciones de la cinemática directa desde la base hasta la articulación i. Por ejemplo, las variables asociadas con el segundo eslabón y basados en la Tabla 1, son:

El resultado final es:

Donde s₂₃ = sin(θ₂ + θ₂), c₂₃ = cos(θ₂ + θ₂).

3.4.- MODELO CINEMÁTICO INVERSO DE VELOCIDAD

Para obtener el modelo cinemático inverso de velocidad se debe invertir la ecuación (23) o la ecuación (35)

J⁺J=I [1,7]. Una forma para obtener la pseudoinversa es J⁺ = (J^TJ)^-1J^T. Por tanto, si se tiene la matriz jacobiana por la ecuación (35) también se tiene su modelo cinemático inverso:

3.5.- VALIDACIÓN DEL MODELO CINEMÁTICO

Para validar teóricamente el modelo cinemático de posición, basta con obtener los ángulos de articulación θ₁, θ₂, θ₃ del modelo cinemático inverso de posición para una o varias posiciones deseadas del PT P_f(x, y, z) y luego comprobar, con el modelo cinemático de posición directo que estos ángulos brindan como resultado la misma posición P_f(x, y, z). Sin embargo, esto no implica que en la práctica los modelos queden validados.

La Plataforma de Validación Experimental (PVE) que se construyó está formada por los siguientes componentes:

1.       Brazo robótico S5 de carga/descarga modelo DIY de Sain Smart (BRCD): posee cuatro grados de libertad y una pinza de agarre. Los actuadores son 4 servomotores modelo MG996R y uno modelo DS3218. Los primeros con un torque máximo de 11 Kg.cm, y el segundo hasta 15 Kg.cm, ambos con un voltaje de alimentación que puede variar entre 4.8 V y 7.2 V.

2.       Microcontrolador Arduino UNO: dotado con un procesador Atmega 328, posee 6 salidas PWM, de las cuales 5 se utilizan para manipular los servomotores del BRCD.

3.       Fuente de alimentación 5V, 2.5 A.

4.       Programa de computadora de alto nivel desarrollado en C++.

El programa de alto nivel, recibe del usuario la posición final que desea colocar en el BRCD, permite manipular la orientación del cuarto eslabón de forma independiente y también abrir y cerrar la pinza de agarre. Con estos datos calcula la cinemática inversa de posición y envía los resultados, utilizando comunicación serie, al Arduino UNO. En el Arduino se recibe la información, se calcula la trayectoria desde el punto actual hasta el siguiente y se manda la señal correspondiente a cada servomotor a través de las salidas PWM asociadas.

3.5.1- VALIDACIÓN DEL MODELO CINEMÁTICO DE POSICIÓN

Para analizar la posición que alcanza el PT con respecto al resultado del modelo, se calculan los errores cometidos [19]. Por definición si se mide una magnitud cuyo valor verdadero es M_v y cuyo valor medido es M, el error absoluto cometido es:

Para realizar las mediciones se consideró una orientación de la muñeca fija y la pinza cerrada. En la Tabla 3 aparece la medición de cada una de las posiciones reales alcanzadas por el BRCD a partir de los resultados obtenidos por el modelo cinemático directo de posición. Para la primera medición el BRCD parte de su posición inicial, para el resto de las mediciones que se realizaron el punto de partida es la postura anterior. Además, se presentan los errores absolutos cometidos con respecto a los ejes x, y, z. Los errores se calcularon considerando como valor verdadero los valores de posición que se obtuvieron aplicando el modelo cinemático inverso de posición.

Varias mediciones tienen un error absoluto muy superior al error medio en los tres ejes de coordenadas. Para verificar estas mediciones se realiza un estudio de dispersión. La dispersión se produce cuando se obtienen valores diferentes en sucesivas tomas de datos. Lo habitual, para enfrentar este fenómeno, es realizar tres repeticiones de la medición y comprobar el valor de la dispersión, la cual se calcula como:

Para el análisis de la dispersión se consideraron las mediciones 5, 7, 12. En estas mediciones los errores absolutos superan o igualan, en los tres ejes, la media de los errores. Primero se hicieron tres repeticiones de estas mediciones, pero la dispersión calculada fue superior a 1mm, sensibilidad del aparato de medición (regla), por lo tanto, se procedió a incrementar el número de repeticiones a seis. En la Tabla 4 se observa que con seis repeticiones se logró alcanzar dispersiones entre un 2 y un 8% lo que se considera correcto para esta cantidad de repeticiones. En este caso el valor de la medición que se considera es la media aritmética de las seis mediciones tomadas [19]. Utilizando el método del análisis de la dispersión se logró reducir el error absoluto de las mediciones.

Durante este experimento se observó que los errores de medición, además de ser provocados por imprecisiones humanas, también se afectan por: la sensibilidad del instrumento de medición, errores estructurales del manipulador y la sensibilidad de los servomotores. Durante los experimentos y la calibración de los servomotores se observó que los servomotores tienen una sensibilidad de ±1°, lo cual equivale a 0.01745 radianes. Como error de la estructura mecánica del BRCD se observó que cuando las articulaciones se posicionan, el eslabón tres no permanece en la posición fijada, tienen un pequeño desplazamiento en el sentido negativo del eje z del marco de referencia base, producto del propio peso del eslabón.

q_M = q±1°

Donde qM es el vector de coordenadas generalizadas modificado y q = [60° 30° 45°] es el valor escogido para la prueba.El valor verdadero del PT para q es M_v = [6.7466, 11.6854, 21.6707]. En la Tabla 5 se puede apreciar los errores absolutos de posición provocados por los servomotores.

Note que los errores absolutos de tiempo están en el orden de la precisión de la cámara y como se están utilizando intervalos de tiempo pequeños no cabe duda que esta precisión altera los resultados. También se puede apreciar que los E_r(ω) más elevados corresponden con el análisis realizado con los tiempos máximos, y para este caso particular aumenta con la velocidad. Cuando E_a(t) es cero el E_r(ω)se afecta por el error de posición en 1.1 %.

Por otro lado, la velocidad lineal se relaciona con la velocidad angular por v = ωr, donde r es el radio desde el eje de rotación hasta el PT. Para este experimento se consideró una postura fija, donde el radio es el mismo en todas las trayectorias. Luego, el error relativo de la velocidad lineal es:

Desde el punto de vista teórico, la validación de la ecuación (35) implica la validación de la matriz jacobiana. Uno de los resultados que brinda esta matriz es el conocimiento de las denominadas singularidades del robot [1,7]. Las singularidades representan:

a)       Límites del espacio de trabajo.

b)       Posturas donde se pierden grados de libertad del manipulador.

c)       Velocidades limitadas del efector final, representan velocidades no limitadas de las articulaciones.

d)       Corresponden a posturas donde hay infinitas soluciones en la cinemática inversa de posición.

Es fácil verificar que para θ₃ = π/2 + kπ, k ∈ ℤ, se anula la ecuación (44). Esta condición corresponde a las singularidades señaladas por a) y b), ya que el manipulador solo puede moverse en un plano y siempre recorre el límite de su espacio de trabajo. La Figura 8 muestra el plano xz para diferentes posturas del BRCD, las articulaciones 1 y 2 están superpuestas en el origen de coordenadas, el resto se distinguen de forma individual. La postura inicial θ₁ = θ₂ = θ₃ = θ₄ = 0 se representa por 1, mientras que las posturas representadas por 2, 3 y 4, están dadas por valores de θ₃ = π/2 y valores de θ₂ = 0, θ₂ = π/4, θ₂ = π/6 respectivamente. En los últimos tres casos, sin importar el valor de θ₂, el PT se encuentra en el borde de su espacio. Aquí la articulación 4 no influye en la posición y si se varía θ₁, saliendo o entrando del plano, la condición de límite tampoco se pierde.

La solución del segundo factor en (44) es más complicada. Algunas soluciones particulares, obtenidas mediante procedimientos numéricos son:

Ⅰ. θ₂ = 2.9096, θ₃ = -0.4129 rad

Ⅱ. θ₂ = -0.3844, θ₃ = 4.1356 rad

Ⅲ. θ₂ = -2.5868, θ₃ = 3.1395 rad

Las posturas para las soluciones Ⅰ, Ⅱ y Ⅲ se muestran en la Figura 8 representadas por 5, 6 y 7 respectivamente. En todos los casos la cinemática inversa de posición da como resultado infinitas soluciones para θ₁, ya que el PT se encuentra sobre el eje z. En estas soluciones se está en presencia de las singularidades del tipo b), c) y d); se pierde un grado de libertad, ya que al variar θ₁ no es posible mover el PT ni modificar su velocidad lineal.

El método utilizado para obtener el modelo dinámico del manipulador robótico está basado en las denominadas ecuaciones de Euler-Lagrange que se presentan a continuación:

La ecuación (47) muestra que la energía cinética tiene una componente de traslación lineal K_l más otra componente rotacional K_r.

Cada elemento de la cadena cinemática del BRCD aporta energía de traslación y de rotación al manipulador. Para el análisis se considera la masa de los eslabones concentrados en su centro de gravedad tal y como se muestra en la Figura 9. El tensor de inercia I es referido a este punto también.

A continuación se analiza la energía del 3er eslabón y a partir de la misma se puede generalizar el resultado para el resto de los eslabones. La ecuación (50) obtiene la velocidad lineal y angular del centro de masa del tercer eslabón en forma vectorial. Note que el cuarto eslabón no aporta energía de traslación o rotación al tercero, mientras que los dos primeros si lo hacen. Por lo tanto, la matriz jacobiana solo considera términos no nulos hasta el 3er eslabón.

La ecuación (51) permite calcular la energía total del eslabón.

El producto R₃⁰I₃(R₃⁰)^T permite expresar el tensor de inercia respecto del marco de referencia en la base. Al sustituir en (51) las variables v₃ y ω₃ en términos de las coordenadas generalizadas se tiene:

La energía potencial del tercer eslabón en forma vectorial se expresa:

La ecuación (54) puede ser escrita en forma compacta:

Donde D es una matriz simétrica de 4×4 que se conoce como matriz de inercias. Sustituyendo (55) y (56) en (46) y luego en (45) es posible obtener el modelo dinámico del BRCD. La solución general de la ecuación (45) para manipuladores robóticos se expresa en función de tres términos:

Donde:

D: matriz de inercia formada por elementos d_ij, 1 ≤ i ≤ 4; 1 ≤ j ≤ 4

C: matriz de términos de Coriolis y de las fuerzas centrífugas (4×4). Relacionada con la interacción física de los eslabones. Sus elementos c_kj, 1 ≤ k ≤ 4; 1 ≤ j ≤ 4 se calculan de la siguiente forma:

Los símbolos de Christoffel son:

El modelo dado por la ecuación (57) se puede utilizar para conocer las fuerzas y pares que se aplican sobre cada eslabón mientras el manipulador sigue determinada trayectoria. No es posible medir en la PVE, de forma directa o indirecta las fuerzas y torques que se ejercen sobre los eslabones del manipulador. En este caso, la validación se hará realizando una simulación que permitirá corroborar las siguientes hipótesis:

1.       Los pares de los eslabones 1 y 4 deben ser inferiores a los eslabones 2 y 3 ya que los últimos actúan en contra de la gravedad.

3.       El par mínimo en el segundo y tercer eslabón debe presentarse cuando el eslabón se encuentre en posición vertical, ya que la incidencia de la fuerza de gravedad es la menor posible.

En la Tabla 7 se encuentran los datos referentes a las masas y tensores de inercia del BRCD que se utilizaron en la simulación.

La posición, velocidad y aceleración de cada articulación durante la simulación se muestra en la Figura 10. Los resultados de la simulación se muestran en la Figura 11; esta se divide en tres partes, a la izquierda se encuentran las gráficas de los pares o torques que se ejercen sobre los eslabones 1-4 y 2-3, mientras que a la derecha se representan las posiciones relevantes, en el plano xz, del BRCD para esta trayectoria.

Note que cada una de las hipótesis planteadas se cumple cabalmente. El BRCD parte de la posición inicial identificada con el punto 1. El par máximo en el segundo eslabón se produce cuando el centro de gravedad del eslabón 2 está alineado en la horizontal con el centro de gravedad del sistema que forman los eslabones 3 y 4, o sea cuando la fuerza de gravedad actúa en su dirección perpendicular, esto se representa en el punto 2 de las gráficas. Por el mismo motivo, el par máximo del tercer eslabón se produce cuando este se encuentra en la horizontal, es decir el punto 3.  El punto 4 representa la posición vertical, los pares de los eslabones 2 y 3 se anulan, pues no es necesario contrarrestar la fuerza de gravedad y, además, la aceleración angular debido al movimiento de las articulaciones es cero (Figura 10). Note que la posición final, dada por el punto 5, es similar a la posición inicial, pero en sentido opuesto. Por tanto, el valor del par en todos los eslabones es igual en magnitud a las del punto 1, pero de signo contrario.

4.2- OBTENCIÓN DE LA CAPACIDAD DE CARGA DEL MANIPULADOR

Utilizando el modelo dinámico se puede determinar la capacidad de carga del manipulador [20]. Es evidente que su capacidad está dada por los pares que se ejercen en los eslabones 2 y 3, pues como ya se dijo, son los que actúan en contra de la fuerza de gravedad. Para calcular este valor se ha utilizado el algoritmo heurístico que se muestra en el Listado 1. En la evaluación del modelo se considera la ecuación (57) expresada en función de la masa del cuarto eslabón (m₄), y la distancia desde la articulación 4 hasta el centro de gravedad del cuarto eslabón l_eq. El centro de gravedad debe ser calculado de acuerdo con la masa adicional que sostiene la pinza. La ecuación (65) tiene en cuenta el análisis anterior.

Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 8. La capacidad del eslabón 2 es inferior a la del eslabón 3 debido a que el primero soporta la mayor parte del peso. La trayectoria escogida está dada por la posición más comprometida en cuanto al peso, o sea partiendo de la posición horizontal.

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Recibido: 11 de mayo del 2017
Aprobado: 9 de septiembre del 2017

Eileen Cardoso Espinosa, Ingeniero en Automática, negece23@gmail.com. Principales intereses de investigación: Modelación matemática aplicada a la ingeniería, Robótica industrial, Automatización.