Búsquedas de caminos mínimos haciendo uso de grafos reducidos

Shortest path search using reduced graphs

Rafael Rodríguez-Puente, Manuel Lazo-Cortés

RESUMEN

Uno de los problemas de optimización ampliamente estudiados consiste en la búsqueda de caminos mínimos desde un origen a un destino.  Los algoritmos clásicos que solucionan este problema no son escalables. Se han publicado varias propuestas utilizando heurísticas que disminuyen el tiempo de respuesta; pero las mismas introducen un error en el resultado. El presente trabajo propone el uso de un algoritmo de reducción de grafos sin pérdida de información, el cual contribuye a reducir el tiempo de respuesta en la búsqueda de caminos. Además, se propone una modificación al algoritmo de Dijkstra para ser utilizado sobre grafos reducidos, garantizando la obtención del óptimo en todos los casos. También se realiza una comparación entre el tiempo de ejecución de la propuesta y los algoritmos de Dijkstra y A*,  la cual muestra que es posible obtener un camino óptimo en tiempos similares, e incluso inferiores, a los obtenidos por algoritmos heurísticos.

Palabras clave: Algoritmo de Dijkstra, búsqueda de camino mínimo, reducción de grafos.

ABSTRACT

One of the widely studied ptimization problems consistsin finding shortest paths from a source to a destination. Classical algorithmsfor solving this problemare not scalable. Several approaches have been proposed, using heuristics, to reduce the run time. These approaches introduce anerrorand, consequently, they do not guaranteean optimum value inall cases. In this paper we propose agraph reductionalgorithm without loss of information, which helps to reduce the run time of algorithms. In addition, we propose a modification to the Dijkstraalgorithmto be used on reduced graphs, guaranteeing an optimalresult in all cases. Besides, a comparison between the run time of the proposed algorithms and Dijkstraand A* algorithms is presented. This comparison shows that it ispossible to obtain an optimal pathin a similar time, and even in less time, than those obtained by heuristic algorithms.

Key words: Dijkstra algorithm, shortest path search, graph reduction.

La búsqueda de caminos mínimos ha sido ampliamente estudiada, se puede encontrar aplicaciones en varias ramas de la ciencia.

Uno de los algoritmos clásicos  y más utilizados para el cálculo  del camino mínimo desde un origen a un destino es el algoritmo de Dijkstra, el mismo fue enunciado por primera vez por Edger Dijkstra en el año 1959 [1] y es uno de los algoritmos más utilizados y discutidos en la literatura de grafos, la complejidad temporal es O(n²) . Sin embargo, este algoritmo no es eficiente para realizar búsquedas de camino mínimo en grafos grandes [2]. Se debe aclarar que el término grande es relativo y depende del hardware que se disponga.

Varios autores definen heurísticas para disminuir el tiempo de respuesta [3, 4], sin embargo, estas heurísticas introducen un margen de error, el cual no permite obtener el óptimo en todos los casos. A continuación, se describen algunos de los algoritmos heurísticos más relevantes.

Uno de los algoritmos heurísticos más utilizados es el algoritmo A* (A-star) [5]. El objetivo principal del mismo es reducir el tiempo de ejecución mediante la reducción del espacio de búsqueda, teniendo en cuenta solo los vértices que tienen mejores posibilidades de aparecer en el camino mínimo. Si la heurística seleccionada es óptima, la complejidad del algoritmo se reduce a O(n) . Por esta razón el algoritmo A* es ampliamente utilizado para búsquedas de caminos mínimos.

Noto y Sato (2000) proponen una extensión del algoritmo de Dijkstra basado en la búsqueda bidireccional [6]. Este algoritmo es capaz de dar respuesta en un tiempo dado. Si el tiempo de búsqueda especificado se alcanza por el algoritmo, se utiliza otro enfoque para el resto de la búsqueda del camino mínimo utilizando algoritmos genéticos. Con este enfoque se logra un tiempo de respuesta bajo, pero este algoritmo está basado en el algoritmo de Dijkstra por lo que no es adecuado para grafos grandes.

Otro enfoque estudiado para la búsqueda de caminos mínimos en grafos grandes está relacionado con el uso de determinadas propiedades de la red que representa el grafo para la reducción del espacio de búsqueda. En este sentido se pueden mencionar varios trabajos; por ejemplo, Gutman (2004) propone un algoritmo en el cual se define un atributo formal llamado reach [7]. Este atributo es una medida de la relevancia del vértice, es precalculado utilizando el grafo y contribuye a la reducción del tiempo de ejecución de la búsqueda de caminos mínimos.

Goldberg y Harrelson (2005) definen el algoritmo Landmark-A* [8], el aporte en este caso es una técnica basada en preprocesamiento para realizar el cómputo de los puntos de referencia. Una vez elegidos dichos puntos, se calcula y almacena el camino mínimo desde cada vértice del grafo a cada punto de referencia y viceversa. Esta información luego es utilizada para reducir el espacio de búsqueda. Este algoritmo es similar al propuesto por Gutman, los dos basan su estrategia en determinar puntos "importantes" para la búsqueda de caminos mínimos atendiendo a distintos criterios. Como se puede apreciar, el tiempo de preprocesamiento crece considerablemente con el crecimiento de la cantidad de vértices del grafo y la cantidad de puntos de referencia.

Otro enfoque relevante que utiliza las propiedades de la red sobre la que se realiza el análisis está relacionado con el uso de la jerarquía presente en una red de viales. Varias estrategias utilizan este enfoque; por ejemplo, Sanders y Shultes (2005) proponen un algoritmo para la construcción y consulta de redes jerárquicas [9], los autores logran obtener un tiempo de ejecución bajo mostrando la viabilidad de este método. Gonzalez et al. (2007) utilizan la jerarquía de las calles para particionar la red de viales en áreas y precalcular caminos mínimos en estas áreas [10]. Este enfoque utiliza el hecho de que algunas calles son más transitadas que otras y los choferes usualmente utilizan las calles más largas y anchas.

Geisberger et al. (2008) proponen un enfoque que utiliza solamente las aristas que están relacionadas con vértices "importantes" [11]. Efentakis et al. presentan un algoritmo de búsqueda de camino mínimo que imita el comportamiento de los conductores humanos explotando la jerarquía de la red de viales [12].

Sanders y Shultes (2007) definen un método que es similar al propuesto por Gutman [14]. Los autores tienen en cuenta vértices relevantes (transitnodes) para precalcular caminos mínimos para viajes de larga distancia. Para ello, realizan el cálculo del camino mínimo entre cada par de vértices relevantes y el camino mínimo desde cada origen o destino potencial hasta los vértices relevantes más cercanos. Este enfoque necesita una noción efectiva de viaje de larga distancia, por otra parte, el óptimo se garantiza dependiendo del filtro seleccionado.

Los enfoques descritos anteriormente se basan en la idea de que para el cálculo de caminos largos (en redes grandes), solo se necesitan las calles de los niveles más altos (autopistas, calles más transitadas, etc.) de la red jerárquica. Esta consideración reduce el tiempo de ejecución de la búsqueda de caminos mínimos pero no garantiza la obtención del camino óptimo.

Los sistemas comerciales utilizan algoritmos heurísticos para el cálculo de caminos mínimos con el objetivo de reducir el tiempo de respuesta a este tipo de petición. Varios autores han diseñado algoritmos para este propósito, a continuación se describen dos de ellos.

Liu y Yang (2009) proponen un algoritmo heurístico, en el cual se define una función de restricción espacial para disminuir el costo de la búsqueda de caminos mínimos [15]. Los autores prueban, en los resultados experimentales, que el tiempo de respuesta de este algoritmo está cercano al del algoritmo A*.

Fei et al. (2010) describen un sistema que puede mostrar información espacial y atributos de varias secciones de una calle, analiza información del estado del tráfico y de accidentes de tráfico y es capaz de mostrarla en tiempo real [16]. Este sistema utiliza el formato TAB de MapInfo para almacenar la cartografía y la información adicional (datos socio-económicos) la almacena en SQL Server 2000. Se utilizan completamente sistemas propietarios que en este caso se descartan por las implicaciones que tiene en la economía del país y en la soberanía tecnológica.

Los algoritmos heurísticos son muy importantes en la solución de problemas de alto costo computacional; sin embargo, introducen un margen de error y por tanto no garantizan la obtención del camino óptimo en todos los casos. La complejidad de aplicación está ligada en gran medida a la selección de una heurística óptima

Por otra parte, existen varios algoritmos que permiten reducir un grafo [17 - 19], al aplicar cualquier algoritmo sobre el grafo reducido evidentemente se logrará un menor tiempo de respuesta, pero en los mismos la reducción trae como consecuencia pérdida de información,  por lo que no se puede garantizar que se obtenga el  óptimo.

En el presente artículo se propone un mecanismo para disminuir el tiempo de respuesta de las búsquedas de caminos mínimos haciendo uso de un algoritmo de reducción de grafos sin pérdida de información. Además, se expone una modificación al algoritmo de Dijkstra para realizar búsquedas de caminos mínimos en grafos reducidos. Los resultados experimentales muestran que los costos obtenidos por los algoritmos de Dijkstra y A* son superiores a los obtenidos por el Dijkstra modificado sobre los grafos reducidos.

El problema de la búsqueda de caminos mínimos en un grafo ponderado G = (V, E, fc)  desde un vértice v_i hasta otro v_j consiste en buscar un camino desde v_i a v_j, tal que el valor   sea mínimo.

En varios problemas que son resueltos haciendo uso de la teoría de grafos, es común la necesidad de transformar un grafo. En particular, una transformación puede tratarse como reducción si el nuevo grafo obtenido tiene una menor cantidad de vértices.

A continuación se muestran notaciones y definiciones necesarias para la comprensión del presente trabajo.

Las gramáticas de grafo se pueden clasificar según varios criterios, atendiendo a la forma en que se transforman los grafos y siguiendo el enfoque clásico de Janssens y Rozenberg se pueden clasificar en gramáticas NCE [20], NLC [21], HR y NR [22], etc., la especificación de cómo se debe transformar un grafo, se denomina mecanismo de empotrado.

Debido al mecanismo de empotrado que utilizan los tipos de gramáticas antes mencionadas, se selecciona para utilizar en este trabajo el tipo de gramáticas NCE. Para profundizar sobre las diferencias entre los distintos mecanismos de empotrado, el lector puede remitirse a [23].

Definición. Una gramática de grafo NCE es un sistema  donde:

·  Σ es un conjunto finito y no vacío denominado alfabeto.

·   Δ es un subconjunto de Σ denominado alfabeto de los símbolos terminales.

·  Prod  es un conjunto finito de producciones o reglas de reescritura de la forma ( α , β , ψ), donde α  es un grafo conexo, β es un grafo y , ψ se denomina función de empotrado y está determinada por el mecanismo de empotrado que se utilice.

La aplicación de una producción o regla de reescritura consiste en eliminar el subgrafo α  del grafo al que se le va a aplicar la regla, adicionar el grafo β  a dicho grafo y conectarlo según se especifique en ψ.

La formalización de gramática NCE utiliza como base la definición de grafos no dirigidos y etiquetados por lo que cuando el grafo es dirigido se deben tener en cuenta consideraciones adicionales. Para dar soporte a grafos dirigidos  se puede seguir el mismo enfoque que en [21], sustituyendo la función ψ  por dos funciones: ψ_in  y ψ_out  para las aristas que entran o salen de un vértice respectivamente.

En correspondencia con las definiciones y enfoques analizados, se enuncian las siguientes definiciones de regla de reescritura y grafo reducido. 

Definición. Una regla de reescritura de grafos sobre un grafo G = (v, E) es un cuádruplo de la forma , donde:

•  es un grafo donde .
• , es un grafo.
•  ψ_in  y ψ_out  son dos conjuntos de información de empotrado, de la forma , donde: . En el caso de ψ_in , , luego de aplicar la regla de reescritura, se obtiene el grafo  y se cumple que  . Análogamente a ψ_in, se define ψ_out , con la única diferencia de la orientación de las aristas.

Las aristas que unen el vértice v_i y los vértices del grafo  G - G_i se denominan aristas preempotradas. Después de aplicar una regla de reescritura, las aristas que unen los vértices del grafo G_j con los vértices del grafo G - G_i  se denominan aristas postempotradas.

El conjunto ψ_in  permite transformar el conjunto de aristas preempotradas que inciden en el vértice  V_i en aristas postempotradas que inciden en uno o más vértices , de forma similar ψ_out permite transformar las aristas preempotradas que salen de V_i en aristas postempotradas que salen de uno o más vértices .

Teniendo en cuenta la definición de regla de reescritura enunciada anteriormente, en la Figura 1 se muestra un ejemplo de regla de reescritura. En la parte izquierda se muestra el grafo , en la parte derecha se muestra el grafo G_j y en la parte inferior se muestra la información de empotrado ψ_in  y ψ_out . Se puede comprobar, que luego de aplicar dicha regla al grafo de la Figura 2 b según el mecanismo seleccionado, se obtiene el grafo de la Figura 2a.

Para referirse a los grafos G_i y G_j  de la regla de reescritura asociada a un vértice reducido v_r  se utilizará la notación v_r G_i  y v_r G_j respectivamente. Análogamente, se utilizará la notación v_rψ_in y v_rψ_out para referirse a las funciones  ψ_in  y ψ_out de la regla de reescritura asociada al vértice v_r.

 

Definición. Un grafo reducido es una tuplaG= (V_r , E_{r ,} f_, R), donde:

·   V_r es un conjunto de vértices.

·   E_r es un conjunto de aristas.

·   , es una función que para cada (V_i, V_j, V_k) retorna el costo de ir desde  V_i hasta V_k a través V_j

·  R es un conjunto de reglas de reescritura sobre (V_r, E_r).

Definición. Sean G y G_r dos grafos, un conjunto de reglas de reescritura de grafos, se puede afirmar G_r que  es un grafo reducido a partir de G si al aplicar las reglas de reescritura especificadas en R al grafo G se obtiene el grafo G.

A partir de lo anterior, se enuncia un algoritmo de reducción de grafos sin pérdida de información relevante para la búsqueda de caminos mínimos. Posteriormente, se presenta una modificación al algoritmo de Dijkstra para realizar búsqueda de caminos mínimos en grafos reducidos con el algoritmo de reducción propuesto.

Reducción de grafos

En el caso del algoritmo de reducción que se propone, se debe garantizar que no existan vértices reducidos [1] que sean adyacentes con el objetivo de poder obtener un camino óptimo de igual costo al obtenido en una búsqueda en el grafo original, para contribuir al logro de este objetivo, se enuncia la siguiente definición:

Definición. Sea un grafo G = (V, E) y una relación de equivalencia RE sobre V, un vértice  es interior si , tal que v_i y v_j son adyacentes, se cumple que RE(v_i , v_j) (o sea, ([v_i] = [v_j]). Un vértice   es exterior si  o .

Si la entrada del algoritmo es una relación de equivalencia, lo primero que se hace es obtener una partición a partir de dicha relación. Para  crear  esta partición  se puede seguir una estrategia voraz que divida el conjunto de vértices V  en subconjuntos disjuntos según RE. La estrategia consistiría en comparar cada elemento del conjunto V con los restantes elementos para determinar cuáles están relacionados (según RE) y a partir de estos crear las clases que forman la partición. Si una clase está formada por un solo elemento, este será un vértice exterior. Si la clase tiene más de un elemento, entonces todos estos serán vértices interiores.

Para construir el conjunto de vértices del grafo reducido, se crea un vértice por cada clase de P.

Para adicionar una arista al grafo reducido, los dos vértices que la forman deben pertenecer a clases distintas. En caso de que exista más de una arista, en el grafo de entrada del algoritmo, entre los vértices que pertenecen a dos clases distintas, se adiciona la de menor costo.

Algoritmo 1: Reducción de grafos.

Entrada: Un grafo ponderado y posiblemente reducido  que representa un mapa, donde R es un conjunto de reglas de reescritura, posiblemente vacío. Una relación de equivalencia RE que permite crear una partición P en V o una partición P en V.

Salida: Un grafo ponderado reducido que representa el mapa

1. Si la entrada es una relación de equivalencia

2. Obtener la partición , donde 

3. Fin Si

4. Construir el conjunto de vértices V_r  del grafo reducido G_r a partir de las clases de la partición P

5. Construir el conjunto de aristas E_r, donde si y sólo si  y  sea mínimo. Hacer

6. Para todo

7.  Si , escribir una regla de reescritura que permita sustituir el vértice reducido v_ri  por el subgrafo que representa dicho vértice.

8. Fin Para

9. Crear el grafo reducido

10. Para todo

11. Si , 

13. Retornar G_r

Por cada clase de equivalencia A_i, tal que en la misma existan varios vértices, se crea una regla de reescritura. Este paso es esencial en el algoritmo de reducción, es lo que garantiza que no haya pérdida de información en el proceso de reducción. La regla de reescritura especifica la forma en que estaban conectados los vértices que pertenecen a A_i con el resto de los vértices en el grafo de entrada del algoritmo. Esta información es vital para que el proceso de reducción sea reversible.

El paso 11 es el encargado de actualizar la función de costo del grafo reducido. Esta función, almacena el costo de ir desde un vértice hasta otro pasando por uno reducido.

El Algoritmo 2 muestra una forma de calcular esta función. En el caso de ir desde un vértice V_ia otro A_i que no están reducidos, se utilizaría la misma función f(v_i, v_i, v_j). Note que por definición f_c(v, v) y por tanto f(v_i, v_i, v_j) = f_c(v, v).

Búsqueda de caminos mínimos en grafos reducidos

La modificación que se propone realizar al algoritmo de Dijkstra para realizar búsqueda de caminos mínimos sobre un grafo reducido es sustituir:

·       

·    

Como se puede apreciar en la Figura 3, el efecto que tiene el costo de ir desde el vértice 2 al 13 en  el cálculo de un determinado camino, depende si se llega al vértice 2 desde el vértice 6 o desde el 7. Debido a que cada vértice reducido representa un subgrafo del grafo original el costo de recorrer dicho subgrafo dependerá, en cierta medida, del vértice desde el cual se llega al mismo.

Algoritmo 2: Cálculo de la función f

Entrada: Un grafo ponderado y reducido G = (V, E, f, R) , los subgrafos  y  de la regla de reescritura asociada a una clase de equivalencia A_i de la partición P.

Salida: La función f para el vértice reducido correspondiente a A_i.

1. Crear un grafo auxiliar

2. Vértices Adyacentes={}

3. Para todo

4.  tmp={}

5. Para todo b ∈ Adyacentes (v)

7. G_aux. adicionar Vertice (b)

8. G_aux. adicionar Arista (v,b)

9. 

10.  Vértices Adyacentes. Adicionar(b)

11. Fin Si

12. Fin Para

13. Fin Para

14. Para todo v_o ∈ vertices Adyacentes

15. Dijkstra (v_o,G_aux)

17. (D y P forman parte del resultado del paso 15)

18. Fin Para

19. Fin Para

20. Retornar f

Experimentos

Para las pruebas experimentales se utilizaron dos grafos. El primero, obtenido a partir de la cartografía del estado Carolina del Norte [2], tiene 41810 vértices (G₁). Este grafo fue reducido dos veces (utilizando una relación de equivalencia basada en el código postal) obteniéndose un grafo de 250 vértices (G_r1.1)y otro de 1826 vértices (G_r1.2). El segundo grafo, representa la red de viales de la ciudad de San Francisco [3], cuenta con 149756 vértices  (G₂) y también fue reducido dos veces, obteniéndose un grafo de 769 vértices (G_r2.1) y otro de 2617 vértices (G_r22).

Los algoritmos propuestos fueron implementados utilizando el Lenguaje de Programación Python, la biblioteca de clases NetworkX [24], entre otras bibliotecas auxiliares. La biblioteca NetworkX, brinda una implementación de los algoritmos de Dijkstra, A*, entre otros; esto permitió comparar el tiempo de ejecución del algoritmo de búsqueda de camino mínimo propuesto (algoritmo de Dijkstra modificado) con el tiempo de ejecución de los dos antes mencionados haciendo uso de la misma tecnología.

Los experimentos fueron ejecutados en una computadora con un procesador Intel(R) Pentium(R) 4 de 3.20 GHz [512 Kb de cache] con 1.5 Gb RAM, sobre el sistema operativo Kubuntu 11.10.

A continuación se enumeran los experimentos realizados:

· Experimento 2: Aplicar el algoritmo de Dijkstra modificado a los cuatro grafos reducidos.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Los resultados de los experimentos 1 y 2 se muestran en la Tabla 1.

La complejidad temporal del algoritmo A*, utilizando una heurística óptima, es O(n),donde n es el número de vértices del grafo sobre el cual se realiza el análisis. Por otra parte, la complejidad temporal del algoritmo de Dijkstra modificado que se propone es O(n₁²), donde n₁  es la cantidad de vértices del grafo reducido. Por tanto, si en el proceso de reducción se obtiene un grafo G_r = (V_r, E_r)a partir de un grafo G = (V, E), tal que , la complejidad temporal del algoritmo propuesto sería, en teoría, similar y en ocasiones menor, a la complejidad del algoritmo A* utilizando una heurística óptima. Los resultados experimentales obtenidos están en correspondencia con este análisis.

El análisis anterior se corresponde con los resultados mostrados en la Tabla 1, solo se obtuvo un tiempo superior al algoritmo A* en el grafo G_r1.2, el cual tiene una cantidad de vértices superior, en más de 1500 unidades, a la raíz cuadrada de la cantidad de vértices del grafo G₁ (el grafo a partir del cual se obtuvo G_r1.2). En el caso del grafo G_r22 pasa algo similar con relación a la cantidad de vértices, sin embargo se obtiene un tiempo inferior al algoritmo A* debido a la diferencia que hay entre la cantidad de vértices de los grafos  G₂ y G_r22.

Adicionalmente se puede observar que el algoritmo propuesto obtiene el óptimo en todos los casos, mientras que el algoritmo A* no obtiene el óptimo en ninguno de los casos, para los experimentos realizados.

Es importante señalar que la complejidad del algoritmo de Dijkstra puede ser menor , si se utiliza una cola con prioridad, en particular si se utiliza la implementación que hace uso de la estructura de datos heapde Fibonacci. En este trabajo no se utilizó la implementación antes mencionada para evitar tiempos de respuesta inferiores debido al uso de estructuras de datos diferentes en los algoritmos utilizados.

Generalmente existe una relación inversamente proporcional entre la eficiencia y la exactitud de un algoritmo que tiene como entrada un volumen elevado de datos. El principal resultado que se muestra en este trabajo es la mejora en la eficiencia en la búsqueda de camino mínimo sin afectar la exactitud del resultado.

Adicionalmente, Inda et al. presentan una implementación de la propuesta realizada en esta investigación, mostrando la viabilidad de implementación como parte de un motor de persistencia de grafos que realiza el análisis en memoria externa [25]; lo cual sería conveniente si se cuenta con una computadora que no tiene recursos de hardware suficientes para realizar el análisis en Memoria de Acceso Aleatorio.

En este caso, la implementación relacionada con análisis de redes se realizó como parte del propio motor de persistencia, lo que garantiza la eficiencia en cuanto al acceso a los datos, sin necesidad de utilizar memoria adicional para los mismos.

CONCLUSIONES

Como resultado de la presente investigación se obtuvo un algoritmo de reducción de grafos sin pérdida de información, el mismo permite obtener tiempos menores en la búsqueda de caminos mínimos. Además se realizó una modificación al algoritmo de Dijkstra para ser utilizado en grafos reducidos, lo cual contribuye a disminuir el tiempo de respuesta ante una petición de búsqueda de camino mínimo. En base a los resultados obtenidos se ha arribado a las siguientes conclusiones:

· La búsqueda de caminos mínimos en grafos reducidos con el algoritmo propuesto permite obtener un camino óptimo de igual costo al obtenido en una búsqueda realizada en el grafo sin reducir haciendo uso de algoritmos clásicos (Dijkstra, etc.).

· Con la propuesta realizada se garantiza escalabilidad respecto al tamaño del grafo sobre el que se realiza el análisis.

· Haciendo uso de grafos reducidos se disminuye considerablemente el tiempo de respuesta en la búsqueda de caminos mínimos por lo que se garantiza la eficiencia, lo cual queda evidenciado en los resultados experimentales obtenidos.

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Recibido: 22 de octubre de 2013.
Aprobado: 21 de octubre de 2016.

Rafael Rodríguez-Puente. Universidad de las Ciencias Informáticas, Facultad 3. La Habana, Cuba
Correo electrónico: rafaelrp@uci.cu

[1]             Si un vértice de un grafo reducido es creado a partir de una clase de equivalencia Ai , tal que |Ai| > 1, el vértice se considera reducido. Si |Ai| = 1 el vértice se considera no reducido.

[2]             Disponible en http://grass.osgeo.org/sampledata/north_carolina/