ARTÍCULO ORIGINAL
Sobre la solución de problemas computacionales en ingeniería mediante grafos dicromáticos. Selección de software de apoyo
About solving computational problems by dichromatic graphs in engineering. Selection of supporting software
Sergio A. Marrero-Osorio
Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. Facultad de Ingeniería Mecánica. La Habana. Cuba. ]]>
RESUMEN
El autor realiza una concisa revisión sobre la aplicación de grafos en la resolución de problemas de cómputo en ingeniería, enfatizando en un método propuesto por Martínez Escanaverino que utiliza grafos dicromáticos y ha sido usado en el ámbito científico técnico de Cuba. Analiza, basado en seis ejemplos, el escaso empleo que se ha dado hasta el momento al software disponible para trazar y editar los sucesivos grafos durante el proceso de resolución; estudiando y evaluando un grupo de 18 editores de grafos por sus aptitudes para aplicar el mencionado método. Finalmente se recomienda uno de ellos para su uso futuro y se confirma la conveniencia de su empleo a través de una comparación.
Palabras claves: análisis estructural, resolución de problemas, algoritmos, modelo matemático, grafos dicromáticos, editores de grafos.
ABSTRACT
Author makes a concise review about employment of graphs in solving engineering computational problems, emphasizing in one method proposed by Martinez Escanaverino which uses dichromatic graphs and has been applied in Cuban technical sciences. Analyzes, based in six examples, lack in use (until this moment) of software for graph drawing and edition through problem solving process, studying and evaluating 18 available graph editors and suggesting one of them for future applications of mentioned method. Finally, making a comparison, are confirmed advantages of its usage.
Key words: structural analysis, problem solving, algorithms, mathematical models, dichromatic graphs, graph editors.
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INTRODUCCIÓN
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La búsqueda y desarrollo de métodos para analizar estructuralmente los modelos matemáticos (MM) y obtener algoritmos de resolución de problemas de cómputo (RPC) en ingeniería; es, sin dudas, una corriente actual. Algunos de dichos métodos utilizan grafos, siendo aplicados principalmente en dos direcciones: la generación automática de algoritmos; y la asistencia en cuanto a la visualización e interacción con la estructura de los MM, para formular adecuadamente los problemas de ingeniería y resolverlos mediante la obtención no automática de algoritmos.
Los métodos utilizados en la segunda dirección confrontan un obstáculo para su empleo sistemático en medianos y grandes MM. Este gravita en lo laborioso de representar y manipular los sucesivos grafos que conducen al algoritmo, lo que inclusive ocurre cuando se utilizan herramientas informáticas comunes. La problemática anterior condujo al autor a enfrentar el presente trabajo, planteándose como objetivos: estudiar la representación de MM mediante grafos enfocada a la RPC en ingeniería; y recomendar un editor de grafos (EG) para la aplicación específica de un Método de Grafos Dicromáticos (MGD) propuesto por Martínez Escanaverino [1, 2, 3, 4, 5].
Representación de modelos matemáticos mediante grafos enfocada a la RPC en ingeniería. Ejemplos
La teoría de grafos, inicialmente elaborada para solucionar problemas combinatorios, ha sido posteriormente usada en problemas computacionales. Pionero en este aspecto es Enn Tyugu, formado en la escuela de la antigua Unión Soviética y uno de los líderes científicos actuales del Instituto Cibernético de Tallinn (http://www.cs.ioc.ee/~tyugu). Por haber propuesto y fundamentado teóricamente en 1970 el empleo de grafos de dos colores para representar la estructura de los MM, Tyugu fue especialmente tomado en cuenta en las referencias [1, 2, 3, 4, 5], de las que se comenta más adelante. Martínez también se refiere a Serrano, un puertorriqueño que en 1989 defendió un doctorado en el Instituto Tecnológico de Massachusetts y cuya tesis [6] se destaca por su enfoque ingenieril. En ella utiliza primero grafos bipartitos y luego hipergrafos en función del diseño conceptual en ingeniería mecánica, incluyendo un algoritmo declarativo y ejemplos de problemas relativamente simples sobre vigas, soldaduras, reductores de velocidad, mecanismos de palancas y otros componentes de máquinas.
En la Concise Encyclopedia of Modelling & Simulation [7], edición de 1992, Richetin realiza una reseña teórica sobre el análisis estructural de MM mediante grafos dicromáticos, la cual da idea aproximada del estado en que se encontraba el tema en occidente. En este caso no se examina la asimetría de ciertas relaciones, la posible incompatibilidad de los problemas primariamente planteados y otros aspectos frecuentes en la realidad científico-técnica.
La tesis de maestría de Jianjun Oung [8] es un ejemplo práctico más reciente, donde se implementa el software FRONTIER que cuenta con medios para visualizar grafos elaborados internamente por el programa, los cuales reflejan la estructura del objeto modelado y del MM.
Gran relevancia en el tema tiene el proyecto Modelica (http://www.modelica.org) [9], que constituye un lenguaje de alto nivel creado para modelar y simular sistemas físicos en general, idea de Mattsson, S.E. y Elmqvist, H. [10] impulsada por investigadores como Fritzon [11, 9], Bonus [12, 13], Aronsson. A partir de las partes del sistema y de las conexiones entre ellas Modelica puede generar grafos dicromáticos que muestran los MM de forma esquemática, facilitando la obtención de algoritmos de simulación de sistemas físicos, tanto de carácter continuo como discreto. Encuentra incluso aplicaciones al diseño y desarrollo de productos como la que se detalla en [14], y emula con análogos como EcosimPro/EL, Simulink y DinaFlexPro; manifestando más actual y completamente la tendencia a visualizar MM y algoritmos utilizando grafos.
Con relación al diagnóstico automático de sistemas (estáticos o dinámicos) existen también ejemplos; como la tesis de maestría de Rattfält [15], dirigida por Frisk y Krysander, en la que se comparan dos métodos que se valen del análisis estructural de MM para la detección y aislamiento de fallas en sistemas dinámicos; y también la aplicación de Bonus y otros autores [16] a la industria aeronáutica. Ambos utilizan exitosamente matrices y grafos dicromáticos para programar los algoritmos.
Quizás el ejemplo más difundido de la propensión a representar simbólicamente los MM es la herramienta de rastreo de precedentes y sucesores de Microsoft Office Excel, que ofrece una especie de grafo del resolvente (no dicromático) obtenido a partir de un algoritmo programado con antelación por el usuario. La mayor utilidad en este caso está en que se pueden localizar ciclos (referencias circulares), rectificar errores y comprender el problema computacional, pero no en su formulación ni en la obtención directa del algoritmo. En el caso de Excel la visualización comprensible del grafo se ve limitada por la posición que el usuario asigna a las casillas programadas con fórmulas. ]]>
El MGD desarrollado por Martínez Escanaverino se incluye en la actual corriente, fundamentalmente en lo que respecta a la interacción del ingeniero (no necesariamente informático) con el problema computacional. A diferencia de otros (que en alguno de sus pasos emigran a representaciones distintas) este método aprovecha las particularidades teóricas de los grafos dicromáticos durante todo el proceso de RPC; que es rigurosamente ordenado para pasar por la caracterización del problema, por su correcta formulación y culminar con la obtención del algoritmo. Un grupo de sucesivas transformaciones permiten descartar (por innecesarias) algunas partes de los grafos que podrían ser complejas, lo que contribuye a simplificar los algoritmos y sus procesos de obtención. Lo anterior se refiere específicamente al paso de o que se denomina situación al problema y del denominado resolvente al algoritmo.El MGD ayuda a resolver problemas de simulación (tanto directa como variacional) y de optimización (incluso con criterios múltiples); que pueden estar asociados a grandes MM (lineales o no) y contener relaciones asimétricas, algoritmos multicíclicos y muchos grados de libertad. Funciona tanto al utilizar vías numéricas como algebraicas, y suministra herramientas para solucionar algunos problemas declarados en primera instancia como incompatibles. Ha sido divulgado en eventos [3, 5, 4, 2], publicaciones [1] y cursos sobre RPC, simulación, optimización y diseño racional en ingeniería mecánica, lo que ha permitido a otros conocerlo y aplicarlo. No se ha visto acompañado, sin embargo, de ningún proyecto de envergadura (como Modelica, por ejemplo), lo cual ha limitado su desarrollo.
Algunas aplicaciones del MGD en investigaciones
Entre las aplicaciones publicadas del MGD están las de Rivero [17] y Ortíz [18], en cuyos casos se desarrollan algoritmos más o menos sencillos para resolver respectivamente problemas de transmisiones por tornillo sinfín y de resortes helicoidales.
Morejón [19] en su investigación doctoral se vale del MGD para obtener algoritmos más complejos partiendo de un MM de 190 vértices que es dividido en cuatro sub-modelos interconectados; planteando y cumpliendo el objetivo de conceptualizar un hidromotor de alto par. En su tesis Llamos [20] maneja MM bastante mayores (de 444 vértices en total), que separa en seis sub-modelos primero de acuerdo al sentido común y al tema tratado, y posteriormente (para su resolución) de acuerdo a la estructura representada en los grafos. Obtiene eficientes algoritmos y llega, entre otras, a una importante confirmación, que se refiere a la reutilización del MM en múltiples problemas con diferentes funciones objetivo a su vez. Tanto Llamos como Morejón hacen un correcto uso del MGD, pero les faltan herramientas para procesar MM más complejos en función del diseño, que consideren otras partes de las respectivas máquinas, así como aspectos económicos, medioambientales, etc.
Rivero en su tesis doctoral [21] también divide el MM (de 122 vértices) en cuatro sub-modelos de acuerdo a los temas y a la tradición. Alemán [22], sin embargo, recurre al MGD para representar un MM de grandes dimensiones y para obtener varios algoritmos. En este último caso, a pesar de ser el mayor de los MM aquí comparados, los grafos visualizados no son complejos, debido al estricto orden impuesto por las matrices en el Método de los Elementos de Contorno y a una compacta notación que simplifica los grafos. Descompone el MM en un grupo de 15 submodelos.
Abordando el diseño de engranajes cónicos González Rey [23] usa el MGD en la representación estructural de un MM, pero no en la obtención del algoritmo; mientras que en [24] se apoya en dicho método para determinar algoritmos.
Un importante aporte de los trabajos y tesis antes mencionados [19, 20, 21, 22, 23, 24, 18, 17] es haber probado en nuevas aplicaciones la validez del MGD, que sirvió para la RPC y para formalizar el uso de MM durante el diseño y otras acciones de ingeniería. En la generalidad de los citados casos es evidente que no se utilizaron medios automáticos para el trazado y manipulación de los grafos. Esto no sólo dificulta hacerlo a mano ó con instrumentos informáticos rudimentarios, sino que restringe las posibilidades de aplicación del método, obligando a limitar la complejidad de los MM y a descomponerlos intuitivamente.
La práctica y el estudio de los citados trabajos confirman que, ordenar el MM según la intuición o de acuerdo a temas o especialidades (y no conforme a su estructura), puede ser conveniente desde el punto de vista de su construcción, pero en general no lo es cuando el enfoque está en la RPC. La forma óptima de fraccionar el modelo podría ser, por ejemplo, obtenida a partir de la correcta agrupación del grafo por cadenas, árboles o racimos (además de las islas que son más evidentes); y esto sólo puede ser sistematizado si se utiliza el software adecuado.
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Software para trazado y edición de grafos en general
El desarrollo alcanzado por la teoría de grafos y su gran utilidad han ido conduciendo a la producción de software para el trazado y edición de grafos (EG). Exploraciones realizadas al respecto (para dar respuesta a la necesidad antes declarada) muestran que numerosos trabajos son expuestos año tras año en eventos como Graph Drawing y en publicaciones como Journal of Graph Algorithms and Applications; encaminados específicamente a representar grafos en las formas más adecuadas.
El proyecto GRAFOS, de la Universidad Politécnica de Valencia, dirigido por Rodríguez Villalobos [25, 26) ofrece una aplicación (sobre Dotnet Framework) para crear, importar y realizar análisis de grafos representables en diferentes formas (circular, orgánica, aleatoria, jerárquica, etc.). Dicho EG resuelve un importante número de problemas clásicos de optimización de rutas, flujos, árboles y otros; destacándose por su carácter educativo y por su utilidad práctica en grafos de escala pequeña.
Similar al anterior es uDraw (Graph), de la Universidad de Bremen, caracterizado por ser rápido en la entrada de datos y en el ordenamiento al tener predeterminados muchos aspectos del trazado, lo que le hace, sin embargo, perder flexibilidad frente a otros programas. Himeli, de la Universidad de Helsinki, está designado para manipular y editar grafos complejos, de gran tamaño, difíciles de representar y en los cuales no se distinguen regularidades. Es un software libre cuya versión 3 funciona muy bien, y que, como suele suceder, comenzó como proyecto estudiantil que mejoró posteriormente su personalidad.
Con menor grado de acabado y capacidad que éste último están Giden, GRIN 40, Algraf y otros. En Cuba también se realizan esfuerzos en esta dirección, ejemplo de lo cual es la tesis doctoral de Rosete [27] donde se expone una investigación aplicable en la elaboración eficiente de software, pero que por el momento no responde a las características del MGD, ni a las dimensiones ni complejidad de los MM a manejar.
Especial interés despierta un software libre llamado yEd, programado en JAVA, que cuenta con algoritmos realmente espectaculares para trazado, ordenamiento y edición de diagramas y grafos de gran tamaño y complejidad. Asociada a yEd se edifica una biblioteca llamada yFiles con numerosas posibilidades de aplicación que hacen de yEd una herramienta flexible. Todo esto, junto a sus algoritmos de agrupación (parte de ellos automáticos a partir de cadenas, árboles, racimos, islas y otros criterios) y a sus posibilidades de intercambio, viabiliza su empleo en la aplicación del MGD.
Otro sofisticado programa para trazar y editar diagramas UML (grafos en definitiva) es Visual Paradigm, competidor del conocido Microsoft Visio y perfectamente capaz de apoyar al MGD en MM bastante grandes. También lo son Edraw, GTE, GDToolkit, Graphviz, CAIDA y GUESS. En los casos de Found in Space y Nodes3D la representación en pantalla de grandes grafos (que casi nunca son planos) es espacial. Prácticamente todo el software analizado exporta imágenes de los grafos, siendo hasta cierto punto compatibles mediante lenguajes de intercambio como: gml (Graph Modeling Languaje), xgml (xml based Graph Modeling Languaje), tgf (Trivial Graph Format), ged (geneological data) y otros.
Selección de editores de grafos para la aplicación del MGD
Se han realizado ya comparaciones entre EG, pero el punto de interés ha estado en aspectos como la elaboración de diagramas (http://www.umsl.edu/~s1028363/DiagrammingMethods.html). Queda entonces por saber cuál de ellos es recomendable específicamente en cuanto a la asistencia sistemática al uso del MGD. ]]>
El MGD se puede resumir en el proceso representado en el diagrama de la figura 1. Todo parte de un grafo de dos colores que representa el MM, el cual se va transformando sucesivamente y aportando la información necesaria para descomponer, caracterizar y resolver el problema planteado. Para obtener el algoritmo de resolución de un problema compatible y determinado es preciso realizar al menos seis transformaciones del grafo inicial; y a su vez debe ser posible observar, manipular y realizar varias acciones de edición en cada grafo. La cantidad y complejidad de las transformaciones se incrementa notablemente en problemas con múltiples grados de libertad o con incompatibilidades eliminables mediante la adición de variables de error. Todo este trabajo, aunque necesario, puede convertirse en algo realmente arduo cuando el modelo es de medianas o grandes dimensiones y su algoritmo multicíclico; y por la frecuencia con que se presenta este último caso se reafirma que es vital el uso metódico de un EG con determinadas aptitudes.Desde el punto de vista del usuario, un EG que va a ser destinado a la aplicación del MGD se puede evaluar por sus prestaciones en cuanto a: eficiencia en el ordenamiento con diferentes formas (orgánica, jerárquica, circular, etc.); capacidad para manipular grafos de gran complejidad; facilidad de localización de cualquier elemento; trazabilidad de caminos; posibilidad de identificar ciclos e islas; facilidad para la agrupación manual y automática de vértices y aristas (por cadenas, racimos, componentes, árboles, etc.); capacidad de edición de las propiedades de los elementos; posibilidad de realizar pareos máximos en grafos dicromáticos; capacidad para analizar grafos y brindar información sobre sus características; posibilidad de vínculo con software externo; y calidad de la visualización de los grafos.
La instalación de un grupo de EG, su estudio y su análisis crítico por parte de personas entrenadas (teórica y prácticamente) en el uso del MGD; han permitido sopesar los criterios del párrafo anterior y reflejar en la tabla 1 el resultado de una evaluación comparativa, que se obtuvo básicamente resolviendo tres problemas de optimización; publicados en [19, 20, 28]; mediante cada uno de ellos, sometiéndolos a la evaluación de conocedores del MGD en cuanto a los criterios (ya mencionados) previamente discutidos y establecidos. Se distinguen las puntuaciones ponderadas de yEd y Visual Paradigm con amplio margen respecto a los restantes programas. Ambos EG fueron expuestos a pruebas y análisis en problemas de mayor envergadura; como resultado de lo cual se ha considerado que yEd es superior en cuanto a la complejidad de los grafos que maneja, a las posibilidades de agrupación y a la libertad de edición; aparte de la conveniencia de su carácter de software libre.
Los programas analizados no son los únicos disponibles, pero sí constituyen una buena representación de herramientas útiles en la asistencia al MGD cuando se aplica a problemas de ingeniería, incluyendo la formación de nuevos ingenieros y especialistas.
En su tesis doctoral el autor usa el editor yEd para el trazado y manipulación de los grandes grafos obtenidos al realizar sistemáticamente el diseño paramétrico basado en modelos matemáticos, en este caso orgánicamente vinculado al MGD [28, 29, 30]. De la figura 2 a la figura 4 se refleja una comparación respecto a las características de los grafos manipulados en varios de los trabajos citados [19, 20, 22, 23, 24, 18, 30, 21]. A modo de indicador de complejidad, en la figura 2 y la figura 3, aparecen los números de vértices de los respectivos grafos de los MM y de los algoritmos; destacándose en este sentido los trabajos [20] y [30], aunque realmente el modelo (no el grafo) más grande y complejo es el de Alemán [22]. Por otro lado (figura 4), los problemas de optimización más complicados son los de Morejón [19], Llamos [20] y el autor [30], subrayándose este último por sus 14 grados de libertad y cuatro criterios diferentes. Nótese como la ingeniería de la más sencilla máquina de un sistema [28, 30] pudo ser representada y manipulada con un grafo único de 292 vértices; a diferencia de [19, 20, 22, 21], donde se descomponen los MM en cantidades mayores de submodelos figura 5.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
1. A partir del estudio teórico del MGD, de su aplicación sistemática, y del análisis de un grupo de aplicaciones del mismo, se elaboró diagrama (mostrado en la figura 1) que sirve de guía para el uso de esta herramienta por parte de científicos e ingenieros.
2. En la inmensa mayoría de las aplicaciones publicadas del MGD se detectan limitaciones en su alcance, dadas fundamentalmente por el escaso manejo de software para el trazado y la edición de los sucesivos grafos durante el proceso de RPC.
3. En la actualidad se encuentra disponible una gama de editores de grafos capaces de ampliar considerablemente la utilidad y las posibilidades de aplicación del MGD, principalmente al trabajar con grandes MM. Con base en el estudio, análisis y evaluación de un grupo importante de ellos, se recomienda utilizar yEd como software de apoyo el MGD.
4. De todo lo planteado se desprende la necesidad de trabajar en los procedimientos de uso del EG y en la automatización futura del proceso de RPC de una manera interactiva, de modo que quienes aplican el MGD participen conscientemente y se concentren en los proceso de obtención de algoritmos, sin desviar su atención hacia las dificultades con el trazado, la visualización y la manipulación de los grafos ]]>
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Recibido: 23 de noviembre de 2010
Aceptado: 6 de mayo de 2011
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Sergio A. Marrero-Osorio. Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. Facultad de Ingeniería Mecánica.
E-mail: smarrero@mecanica.cujae.edu.cu ]]>
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