Obtención de la característica geométrica a la torsión de perfiles delgados cerrados multiconexos
Obtaining geometric characteristic to torsion in multiply connectedthin-walled closed profiles
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Carlos-Eulalio Novo-Soto, Iván Pérez-MalleaUniversidad de las Ciencias Informáticas. La Habana, Cuba
En el presente trabajo se dedujeron y obtuvieron las expresiones que permiten determinar la característica geométrica de una barra de perfil delgado cerrado multiconexa, uniforme a lo largo de su eje,sometida a torsión, adicionalmente se obtuvo la aplicación de las expresiones para la obtención de la característica geométrica a la torsión a través de dos ejemplos, uno donde los tabiques que conforman la sección transversal de la barra son de espesores uniformes y el otro con espesores variables, ambos se desarrollaron a través de la metódica establecida en el trabajo para el cálculo de esta característica geométrica.
Palabras claves: característica geométrica, torsión, perfiles cerrados multiconexos.
In this paper we derive and disclose the expressions for determining the geometric characteristic of a closed bar multiply connected profile, uniform along its axis, subjected to torsion, further application of the expressions shown for obtain the geometric feature to the torque through two examples, one where the partitions that form the cross section of the bar is of uniform thickness and the other with varying thicknesses, both examples are developed through methodical work established for calculating this geometric feature.
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Keywords: geometric characteristic, torsion, multiply connected closed profiles.
INTRODUCCIÓN
Las actuales posibilidades en el desarrollo de la computación [1-3], tanto en los programas de cómputo [4], como en la tecnología, han posibilitado que los no especialistas en la materia sean capaces de simular cuerpos, someterlos a cargas y determinar las tensiones y desplazamientos [5] que se generan en el sólido.
Por otro lado el desconocimiento de los fundamentos para la obtención de las características geométricas de las secciones transversales de las barras sometidas a torsión y las facilidades que brindan los programas de elementos finitos para el cálculo [6] y selección de las características geométricas de las secciones transversales para elementos lineales estructurales provocan sensibles errores por parte de los profesionales en la determinación de las tensiones en cuerpos sometidos a torsión.
Es objetivo del presente trabajo dar a conocer las expresiones y ejemplificar el método de cálculo que permiten obtener la característica geométrica a la torsión de elementos lineales con perfiles delgados cerrados multiconexos, como se muestra en la figura 1, donde se observa que el perfil está constituido por cinco celdas y se indican los sentidos de los flujos tangenciales F a lo largo de las paredes que conforman el perfil.
DESARROLLO
Seguidamente se deducirán las expresiones que permiten obtener la característica geométrica a la torsión de perfiles delgados cerrados multiconexos, figura 2 ]]>
Como se conoce de la Resistencia de Materiales [7] y se puede observar en la figura 2 el momento torsor generado en la sección transversal de un perfil de pared delgado cerrado viene expresado por:
Se define el flujo tangencial como el producto del esfuerzo tangencial por el espesor, ecuación 1
De tal forma que en presencia de un perfil delgado cerrado compuesto por i celdas el momento torsor resultante viene dado por la expresión, ecuación 2:
El flujo entre celdas contiguas es, ecuación 3 ]]>
Donde i, j identifican dos celdas contiguas, Fij será positivo si va en el sentido de F*i
En la figura 3, correspondiente a un elemento diferencial sometido a la acción de los esfuerzos tangenciales provocados por la torsión [8], se observa que existe un arco común que suspende a los ángulos γ y dφ, por lo que se cumplirá la relación:
γdx=(ρ+dρ)dφ
Donde
γ: Distorsión o deformación angular unitaria
dφ: Diferencial de ángulo de giro
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Despreciando los diferenciales de segundo orden se obtieneγdx=ρdφ
Despejando la distorsión angular γ se tendrá:
Siendo θ: el ángulo de giro unitario
Por lo que, ecuación 4
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Por otro lado se sabe que, ecuación 5
Donde G: Módulo de distorsión
Despejando la distorsión γ en la ecuación 5 y sustituyendo en la ecuación 4 se obtiene la ecuación 6:
Haciendo, ecuación 7
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Considerando que para todas las combinaciones donde i,j no son contiguas Aij=0Por lo tanto sustituyendo la ecuación 7 en la ecuación 6 se obtiene la ecuación 8
Teniendo en cuenta la ecuación 3
Por lo que para n flujos:
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Esta última resulta ser la expresión fundamental [9-10] que posibilita la determinación de la característica geométrica a la torsión de perfiles delgados cerrados multiconexos.
Para facilitar la aplicación de las expresiones a continuación se ejemplificará el procedimiento empleando una sección transversal con perfil uniforme (ver Fig. 4) y otra con perfil de espesor variable (ver Fig. 5) para brindar la mayor generalidad posible.
Una vez definida la línea media de las celdas que conforman el perfil se pasa a obtener las áreas Ai de cada celda, así como la relación perímetro espesor λi y la relación perímetro espesor λij correspondiente a los tabiques comunes a celdas contiguas.
Así se determinan los parámetros planteados para el perfil mostrado constituido por dos celdas y un tabique común
Estos parámetros se introducen en la expresión fundamental para el cálculo de la característica geométrica a la torsión:
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Teniendo en cuenta las celdas en el orden 1-2
Para 1-2 i=1 j=2
La expresión fundamental (10) adopta la forma
Sustituyendo los parámetros correspondientes:
Simplificando: ecuación 11 ]]>
La expresión fundamental (10) tomará la forma
Sustituyendo los valores correspondientes:
Simplificando se obtiene la ecuación 12
Resolviendo el sistema de ecuaciones 11 y 12 ]]>
Se obtienen las ecuaciones 13 y 14
Sustituyendo A1 y A2 en la ecuación 2 se tendrá la ecuación 15
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Sustituyendo 13 y 14 en la ecuación 15 y despejando la característica geométrica a la torsión, It:
Para el caso de una sección transversal de espesor no uniforme como se muestra a continuación en la figura 5
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Para 2-1 i=2 j=1
Resolviendo el sistema de ecuaciones 16 y 17
Se obtienen las ecuaciones 18 y 19
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Sustituyendo A1 y A2 en la ecuación 2 se obtendrá la ecuación 20
Sustituyendo 18 y 19 en la ecuación 20 y despejando la característica geométrica a la torsión, It
Como se muestra en la solución de los ejemplos mostrados para facilitar la determinación de los parámetros que aparecen en la expresión fundamental (10) es conveniente comenzar por definir las celdas que componen la sección transversal del perfil, así como sus líneas medias, seguidamente obtener las áreas de las celdas y delimitando los tabiques determinar por la línea media la relación perímetro espesor
CONCLUSIONES
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Simultaneando la expresión fundamental (10) con la ecuación 2 y sabiendo la relación que existe entre el momento torsor y la característica geométrica a la torsión se determina la magnitud de esta última.
La solución de los ejemplos seleccionados evidencia la importancia de iniciar la determinación de la característica geométrica a la torsión con la definición de las líneas medias de las celdas para seguidamente calcular las áreas y las correspondientes relaciones de perímetros espesores de cada tabique.
REFERENCIAS
1. Chennakesava, R. Alavala: Finite Method: Basic Concepts and Applications. New Delhi, India: PHI-Learning Pvt. Ltd, 2009. Vol. 408, p. 63-66. ISBN 978-8120335844.
2. Edward Akin, J. Finite Element Analysis Concepts. New Jersey, USA: World Scientific, 2010. Vol. 335, p. 27-28. ISBN 978-9814313018.
3. Beer, G., Wsmith, L. y Duenser, C. The Boundary Element Method with Programming for Engineers and Scientists. New York: Springer, 2010. Vol. 508, p. 31-32, 76-81. ISBN 978-3211715765. ]]>
4. Khennane, A. Introduction to Finite Element Analysis Using Matlab and Abaqus. Florida, USA: CRC Press, 2013. Vol. 487, p. 5-7. ISBN 978-1466580206.
5. Oñate Ibáñez De Navarra, E. Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Barcelona, España: Artes Gráficas Torres, S. A., 1992. Vol. 838, p. 21-26. ISBN 978-8487867002.
6. Öschsner, A. y Merkel, M. One-Dimensional Finite Element: An Introduction to the FE Method. New York, USA: 2012. Vol. 398, p. 51-54. ISBN 978-3642317965.
7. Pisarenko, G. S., Yákovlev, A. P. y Matvéev, V. V. Manual de resistencia de materiales. Moscú: MIR, 1985. Vol. 693, p. 215-218.
8. Feodosiev, V. I. Resistencia de Materiales. Moscú: MIR, 1997. Vol. 579, p. 81-90. ISBN 978-5884170346. ]]>
9. Neuber, H. Mecánica Técnica, Elastostática y Teoría de la Resistencia de Materiales,tomo II. Madrid, España: DOSSAT, S. A, 1977. Vol. 392, p. 307-311. ISBN 978-8423703657.
10. Beer, F. P., Johnston, E., Russell, J., et al. Mechanics of Materials. USA: McGraw-Hill, 2010. p. 189-191. ISBN 9780071284226.
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Recibido: 14 de marzo de 2014.
Carlos-Eulalio Novo-Soto.Universidad de las Ciencias Informáticas. La Habana, Cuba.
Correo electrónico: novo@uci.cu ]]>
