Correlación entre la microestructura de ferritas de bario tipo-M dopadas con Al³⁺ y Co³⁺ y sus propiedades estructurales y magnéticas

Correlation between the microstructure of M-type barium ferrites doped with Al³⁺ and Co³⁺ and their structural and magnetic properties

Dr. C. P. Mariño-Castellanos^I, C. Pupo-Palma^I, A. Vega-García^I, Y. Guerra-Davila^II

^IDepartamento de Física-Química-Electrónica, Universidad de Holguín, Cuba, pmarinocastellanos@gmail.com, cpupo@fcing.uho.edu.cu
^IIPrograma de Pós-Graduação em Ciência de Materiais, CCEN, UFPE, Brasil.

RESUMEN

Las hexaferritas de bario tipo M, cuya fórmula química es BaFe₁₂O₁₉, son uno de los compuestos magnéticos de mayor uso en el mundo debido a las facilidades en su obtención y a sus propiedades físicas, tales como: elevada resistividad, gran coercitividad, relativa baja saturación magnética y alta retentividad. Su estructura cristalina es similar a la del mineral magnetoplumbita. En este trabajo fueron obtenidas por el método cerámico tradicional muestras de hexaferritas de bario tipo M según la fórmula química estequiométrica BaFe_12-2xAl_x³⁺Co_x³⁺O₁₉, con x = 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 1,0; 1,3. Se presentan los resultados de un estudio donde se expone la correlación entre la microestructura del sistema y sus propiedades estructurales y magnéticas. Además, estos se comparan con los resulta dos de las predicciones obtenidas de la aplicación a este sistema de un modelo fenomenológico sobre distribución de los sitios cristalográficos.

Palabras clave: hexaferrita tipo M, modelo fenomenológico de ocupación de sitios, magnetización de saturación.

ABSTRACT

M-type Barium hexaferrites, whose chemical formula is BaFe₁₂O₁₉, are one of the magnetic compounds of more use in the world due to the facilities in its obtaining and to its physical properties, such as high resistivity, great coercitivity, relative low magnetic saturation and high retentivity. Their crystalline structure is similar to that of the mineral magnetoplumbita. In this work samples of M-type barium hexaferrites were obtained by the traditional ceramic method, according to the stoichiometric chemical formula BaFe_12-2xAl_x³⁺Co_x³⁺O₁₉, with x = 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 1,0; 1,3. It is showed up the results of a study, where the correlation is exposed between the microstructure of the system and its structural and magnetic properties. Also, it is compared with the results of the obtained predictions from the application to this system of a phenomenological model of site occupancy.

Keywords: M-type hexaferrites, model of site occupancy, saturation magnetization.

Debido a su amplio campo de aplicaciones, las investigaciones sobre esta ferrita son muy frecuentes dentro de los estudios ferrimagnéticos. La mayoría de las investigaciones actuales en este tema tratan sobre el mejoramiento de determinadas propiedades de este material en dependencia de su empleo potencial, ya sea modificando los diferentes métodos de obtención (síntesis hidrotérmica, método del precursor, cristalización de precursores vítreos, coprecipitación, técnicas de sol-gel, síntesis por técnicas de autocombustión, mezclado a altas energías y método cerámico tradicional), o actuando directamente en su estructura mediante la utilización de dopantes, sobre la cual se han realizado numerosos trabajos en los que se ha empleado (Co, Ti) [13-16], (Zn, Ti) [17], (Mg, Ti) [18], (Ga, Cr) [19], (Co, Si) [20], (Mg, Sn) [21], (Ni, Ti) [22], (Mn, Ti) [23],(A, Sn) donde A = Ni, Co, Zn y (Co, Sn) [24, 25], (Me₁, Me₂) donde Me₁ = Zn, Co, Ni, Me₂ = Zr, Ti, (Co, Zr) [26, 27] y (Co, Al) [28, 29] para sustituir los cationes Fe³⁺ en la estructura de la hexaferrita de bario tipo M.

En este trabajo se muestran los resultados de un estudio donde se expone la correlación entre la microestructura del sistema BaFe_12-2xAl_x³⁺Co_x³⁺O₁₉, con x = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 1,0; 1,3 y sus propiedades estructurales y magnéticas. Además, estos se comparan con los resulta dos de las predicciones obtenidas de la aplicación a este sistema de un modelo fenomenológico sobre distribución de los sitios cristalográficos.

MATERIALES Y MÉTODOS

Las cerámicas de ferritas fueron obtenidas por el método cerámico tradicional (reacción en fase sólida). Los materiales de partida utilizados fueron BaCO₃, Fe₂O₃, Al₂O₃, CoO y Co₂O₃, todos con pureza química superior al 98 %. Estos polvos fueron mezclados a partir de su razón estequiométrica según las fórmulas químicas BaFe_12-2xAl_x³⁺Co_x³⁺O₁₉, con composición del ion dopante de x = 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 1,0 y 1,3. La molida de los polvos de partida fue realizada con un molino de bolas en un medio húmedo de etanol durante 8 h. Los valores de temperatura y tiempo de calcinación elegidos fueron de 1 000 °C y 8 h, respectivamente, y la velocidad de calentamiento de 20 °C/min. El polvo calcinado fue molido en un medio húmedo de etanol durante 4 h en un molino de bolas, y secado durante 24 h. Posteriormente fue tamizado a 80 mesh y se agregaron 3 gotas por gramo de peso de alcohol polivinílico (PVA) como aglutinante. Luego se prensó en una matriz cilíndrica de 9 mm de diámetro a una presión de 2,6 t/cm². Finalmente, las pastillas obtenidas se sinterizaron a 1 200 °C durante 60 min con una velocidad de calentamiento de 10 °C/min.

La caracterización estructural, tanto de las muestras en polvo como de las cerámicas, fue realizada fundamentalmente a partir de los patrones de difracción de rayos X obtenidos en un difractómetro del tipo HZG-4-1, cuyos parámetros principales de trabajo fueron: radiación: Co (λ(k_a1)) = 1,788 9 Å; intensidad fijada por abertura: V = 30 kV, I = 30 mA, punto a punto con paso de 0,02°; y hendiduras de entrada y salida de 0,52 mm y 0,44 mm, respectivamente.

Para la determinación de las fases presentes en cada muestra, fue utilizado el método de Hanawalt y el programa Match! Phase Identification from Powder Diffraction.

La densidad de cada muestra sinterizada se determinó mediante las mediciones de sus dimensiones y su masa. Su densidad teórica se dispuso teniendo en cuenta su estequiometría en sistemas con fórmula química BaFe_(12-2x)A_xB_xO₁₉, donde A = Al³⁺ y B = Co³⁺, a través de la expresión (1):

Para la determinación del tamaño aparente de los granos se asumió que los mismos son cilindros que conservan la simetría de la celda hexagonal, y fue empleado el método Scherrer (2):

Modelo fenomenológico [29]

En las soluciones sólidas sustitucionales los átomos del elemento dopante sustituyen a los átomos del otro elemento, ocupando los mismos lugares de este en la red cristalina [33]. La determinación de la sustancia como catión sustituto se escoge de manera tal que mantengan la neutralidad eléctrica del compuesto.

Los dopantes deben poseer un radio iónico "similar" al del catión original [11], utilizándose como criterio de la capacidad de un ion para actuar como dopante las leyes de Humme-Rothery [33].

En este modelo se asume, en un primer momento, que cada catión puede ser representado por esferas rígidas caracterizadas por un radio iónico que es función del número de coordinación del sitio donde se encuentra en la estructura, su valencia y su número atómico.

Cada magnitud a tener en cuenta en el proceso de interacción entre un dopante y un sitio dado en una estructura puede ser representada por una distribución estadística conocida, siendo el centro de la distribución el valor de la magnitud para el catión que ocupa el sitio.

Por último, se asume que no existe interacción entre los sitios, lo que implica que el proceso de interacción entre un dopante y un sitio cristalográfico dado es independiente de lo que suceda en los demás.

En el modelo se definen dos tipos de parámetros:

- Parámetros tipo II : Parámetros proporcionales a la probabilidad de encontrar al catión en una posición determinada: la concentración del dopante y el catión en los diferentes sitios cristalográficos y la densidad electrónica alrededor de cada posición cristalográfica.

La relación que debe existir entre los parámetros de tipo I se expresa a través de las leyes de Hume-Rothery primera y tercera, la segunda regla de Pauling [33] y el número atómico efectivo. Como lo que se desea es la mayor "similitud" entre el catión ocupante del sitio y el dopante, se puede asumir que estos parámetros siguen una distribución normal cuyo valor esperado coincide con el valor de la magnitud para el catión que ocupa el sitio en la estructura, y el ancho a la media altura de la distribución (s) tenga en cuenta las consideraciones de las reglas de Pauling o las condiciones experimentales específicas.

Los parámetros de tipo II se expresan a través de una distribución binomial [34], siendo el parámetro de la distribución de concentración del catión que ocupa el sitio en la estructura, de forma tal que la suma de la concentración del catión que ocupa el sitio y el dopante sea igual a la unidad.

De las distribuciones asumidas en el modelo [34, 35] para las diferentes dependencias o factores en la ocupación de un sitio cristalográfico se pueden determinar las probabilidades asociadas a cada uno de estos factores.

Para conocer la posibilidad que tiene el dopante de ocupar el sitio se tendrá que buscar un parámetro que dé una medida cuantitativa de la facilidad de realizar la sustitución relacionada con todos los factores descritos (seis factores de tipo I, un factor de tipo II y el factor de "llenado" de la estructura). Este parámetro se denominará índice de sustitución del dopante en el sitio i-ésimo IS_xDj(i) y se define como la probabilidad que tiene el dopante de ocupar el sitio i-ésimo teniendo en cuenta que todos los factores se cumplan simultáneamente.

Por otra parte, como en una misma estructura puede tenerse más de un sitio cristalográfico donde el ion dopante puede alojarse, será conveniente definir otro parámetro que caracterice todas las posibles ocupaciones. A este parámetro se le denominará probabilidad de sustitución relativa en el sitio i-ésimo (PS_xDj(i)).

Otros parámetros de interés en este modelo se relacionan con la distribución de cationes por fórmula unidad, por lo que resulta conveniente definir el parámetro C_xDj(i)como la cantidad de cationes del dopante (o del catión original (c_c(xDj,i))) en el sitio i-ésimo por fórmula unidad y la FO_xDj(i) como la fracción de ocupación del dopante (o del catión original) en el sitio i-ésimo por fórmula unidad respecto al número total de cationes que caben en ese sitio.

En el caso de dos dopantes introducidos simultáneamente en la estructura cristalina, los factores de tipo I no cambian en comparación con el caso de un solo dopante, pues solo caracterizan a cada uno de los dopantes, pero estas expresiones se duplicarían (3, 4):

y para el catión original, el índice gaussiano de sustitución (5) en cada sitio será:

El factor de tipo II (función de la concentración de cada dopante) se define, para cada dopante, mediante la expresión (6):

El factor de concentración de la pareja es la sumatoria de los mismos (7):

y para el catión original es (8):

El índice de sustitución del dopante en el sitio i-ésimo para cada dopante y para el catión original es el producto del factor resultante de los parámetros de tipo I por el parámetro de tipo II y por el factor de llenado (9, 9a, 9b):

De manera que el índice de sustitución relativa para el caso del catión original será (9c)

y normalizando la ecuación respecto a la muestra sin dopar, se obtendrá (10):

El parámetro de población fraccional para cada dopante es igual a (10a, 10b):

De este modo, la probabilidad de sustitución relativa del catión original para el sitio i-ésimo es (11):

obteniéndose una ecuación análoga para el mismo parámetro en el caso de cada catión dopante en el sitio i-ésimo. La cantidad de cationes en cada sitio para el caso de dos dopantes quedará (12):

La cantidad total de dopantes en cada sitio [36, 37, 38, 39] queda de la forma siguiente (13):

y la cantidad de cada dopante por sitio será (13a, 13b):

La fracción de ocupación de cada dopante por sitio resultará (14, 14a):

La fracción de ocupación del catión original en cada sitio finalmente será (14b):

Las expresiones desde la (13) hasta la (14b) son también análogas a las utilizadas en [36, 39] al interpretar la data de la espectrometría Mössbauer para el caso de dopajes con un par de dopantes.

Los resultados aportados por el modelo fenomenológico-estadístico representan los valores a obtener en el caso de sustituciones ideales que, además, no involucran ningún método de obtención. Es por ello que se esperan posibles desviaciones entre el experimento y la teoría.

La caracterización estructural se efectuó mediante el análisis de Rietveld, empleando el programa FullProf Suite -2008. De la información obtenida del refinamiento de cada uno de los patrones de difracción se utilizaron los resultados del análisis cuantitativo de fases, los parámetros de la red, el volumen de la fase de BaM dopada, el ancho a la media altura de cada reflexión, la distribución de átomos, los parámetros de población y las posiciones atómicas.

La ocupación de cada sitio (n_s) se expresó como el producto del parámetro de población (g) por la multiplicidad del sitio (m_s) dividida por la multiplicidad de la posición general (M_s) (15):

El parámetro de población fraccional (g) varía desde cero (sitio vacío) hasta uno (sitio ocupado completamente) y depende de las propiedades fisicoquímicas del catión en cuestión.

La densidad teórica de un compuesto se calculó a través de la expresión (16):

Por su influencia en los parámetros magnéticos extrínsecos también es importante el cálculo del porcentaje de porosidad (FP) de cada muestra, que es igual a (17):

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Caracterización micro estructural

Distribución de cationes en los sitios del Fe³⁺ en las muestras de BaM dopadas con Al³⁺ y Co³⁺

En la figura 1 se aprecia una aceptable congruencia entre las distribuciones del catión Fe³⁺, en cada sitio, predicha por el modelo y los resultados experimentales en las cinco posiciones correspondientes a este catión en el rango de concentraciones 0 ≤ x ≤ 1,3. El sitio de mayor dispersión respecto al modelo es la posición 12k.

En la distribución del Co³⁺ en las posiciones del hierro-3+ (figura 2) se observan mayores coincidencias entre teoría y experimento para x ≤ 0,3 (0,6 total de dopante por fórmula unidad) por lo dicho con anterioridad. En este sistema, el Co³⁺ se sitúa fundamentalmente en las posiciones 12k, 4fiv y 2b, respectivamente.

En la figura 3 se observa que la distribución del Al³⁺ en las posiciones del hierro-3+ posee mayores coincidencias entre teoría y experimento para x ≤ 0,3 (0,6 total de dopante por fórmula unidad) por lo dicho con anterioridad, excepto para el sitio 4fvi, donde el modelo predice que muy poca o ninguna cantidad de este catión va a esta posición cristalográfica. En este sistema, el Al³⁺ se sitúa fundamentalmente en las posiciones 12k, 4fiv y 2b, respectivamente, al igual que el Co³⁺, por lo que se afirma que para el sistema de la pareja de dopantes (Al³⁺, Co³⁺) ninguno de los dopantes va a los sitios octaédricos 2a y 4fvi.

Caracterización estructural

Para x ≤ 0,5; 0,7 y 1,3 los patrones de difracción ya no son los característicos de la BaM. Con la inclusión de esta pareja de dopantes en la estructura disminuye la probabilidad de obtención de esta fase para las condiciones de obtención del presente estudio, no obstante, la temperatura y el tiempo de calcinación son menores respecto a los óptimos de la muestra sin dopar. Se observa, además, que se ha obtenido de forma mayoritaria la fase de hexaferrita de Bario M, tanto para las muestras dopadas para x = 0,5, como para la muestra sin dopar.

En las reflexiones se aprecian, en el rango de concentraciones arriba mencionado, variaciones de la intensidad relativa respecto a la muestra sin dopar, que demuestran la ocurrencia de sustituciones, así como paulatinos cambios en las posiciones de las líneas con la concentración, que implican distorsiones apreciables de la celda unidad debido, en primer lugar, a la duplicación de la cantidad de dopantes y a la diferencia entre la concentración electrónica media de la pareja de dopantes (Co³⁺, Al³⁺) respecto al Fe³⁺.

Para las muestras con x = 0,7 y x = 1,3 ya no aparecen los dos picos característicos de la BaM, ((107) y (114)) debido a que la red cristalina se ha distorsionado tanto que ya no corresponde a la hexaferrita de bario M; proceso que ha ido ocurriendo paulatinamente con el aumento de la concentración de la pareja de dopantes, como se aprecia claramente en la figura 4. También es importante destacar que esta "ruptura" con la celda unidad característica de la BaM ocurre, para este sistema, a una concentración de dopante mayor que 8% respecto a las posiciones del catión Fe³⁺ en la referida estructura, lo cual corrobora la influencia de otros factores, tales como el número atómico efectivo y la electronegatividad, entre otros.

Ha quedado demostrada la influencia de la cantidad de dopantes en los patrones de DRX en los cuales las variaciones en las intensidades relativas son debidas a los cambios en las posiciones atómicas del Fe³⁺ y los corrimientos en las diferentes reflexiones de Bragg son consecuencia de los distintos parámetros de la red en función de la cantidad de dopante por fórmula unidad.

Comportamiento de los parámetros de la red

En las figuras 5a) y 5b) se reportan los parámetros de la red de la celda hexagonal de la BaM en función de la cantidad de cada dopante por fórmula unidad.

En general, al comparar estos resultados con los desplazamientos observados en los patrones (figura 1) donde se muestra la existencia de cambios en la red cristalina con el incremento de la cantidad de dopante, se nota la poca sensibilidad del parámetro "a" en este rango de concentración de las sustituciones.

En la figura 5a) se aprecia la tendencia a la disminución suave del parámetro "a" con la cantidad de dopante hasta x ≤ 0,2. Para valores mayores de x se produce una disminución brusca del parámetro analizado debido a la significativa variación de los factores del tipo I para el aluminio respecto al catión Fe³⁺, hasta donde el modelo puede seguir el comportamiento de este sistema (x ≤ 0,7).

En las figuras 6a) y 6b) se muestra el comportamiento de la relación c/a y el volumen de la celda elemental, respectivamente, con el contenido del dopante para el sistema analizado. El comportamiento de la relación "c/a" es análogo a lo explicado en la figura 5.

En la figura 6b) se observa que el volumen de la red posee similar dependencia que el parámetro "a", de lo cual se infiere la influencia tanto de los factores fenomenológicos, como de concentración; prevaleciendo para x ≤ 0,7 los factores propiamente fenomenológicos.

En las figuras 7a) y 7b) se reportan la densidad experimental y teórica, respectivamente, para todas las muestras en función de la cantidad de cada dopante por fórmula unidad. La densidad experimental (parámetro extrínseco) depende de algunos parámetros microestructurales, tales como la forma y el tamaño del grano, la porosidad, entre otros, además de su dependencia del tipo y concentración de los dopantes. Esta densidad (figura 7a)) decrece primero de forma brusca para x ≤ 0,1 y posteriormente de manera monótona con la concentración, debido a la superposición de dos efectos: el crecimiento de los granos y del volumen de poros en cada muestra.

La densidad teórica crece de forma ligeramente no lineal para x ≤ 0,7 y decrece con una mayor pendiente para concentraciones mayores al límite elástico de la estructura cristalina.

En las figuras 8a) y 8b) se observa la dependencia del tamaño promedio de las cristalitas y el coeficiente de tensión en la estructura cristalina, respectivamente, con la cantidad de cada dopante por fórmula unidad. En la mayoría de las muestras el tamaño promedio de las cristalitas (figura 8a)) es menor que 0,30 µm (micrómetros) y varía poco con su concentración.

Dado que una mayor distorsión del enrejado cristalino implica un mayor coeficiente de tensión, la figura 8b) es congruente con todo lo planteado anteriormente; el coeficiente de tensión aumenta significativamente para x ≥ 0,5, aunque este efecto es menos apreciable para este sistema, pues ambos cationes sustitutos presentan factores fenomenológicos inferiores al catión original.

En la figura 9 se reportan las fracciones de poros en función de la cantidad de cada dopante por fórmula unidad. La fracción de poros en cada muestra posee un comportamiento inverso respecto a la densidad experimental (figura 7a)) debido a que se trata de dos magnitudes extrínsecas fuertemente correlacionadas. El aumento brusco de este parámetro en el rango de concentración del dopante entre 0,0 y 0,1 por fórmula unidad depende del tipo de dopante y de su número atómico efectivo.

Para valores entre 0,1 < x ≤ 0,7 crece con la concentración, debido a la compensación del efecto de la ocupación de los sitios cristalográficos por los dopantes (registrado a través del parámetro fracción de ocupación), entre los sitios octaédrico y bipiramidal, por un lado, y por el otro, a su dependencia de las condiciones de calcinación y sinterización; no dependiendo, en general, de los parámetros fenomenológicos de acuerdo con el modelo. Para valores de x ≥ 0,7 se produce una variación de la dependencia a causa de la distorsión de la red para estas cantidades de la pareja de dopantes.

Caracterización magnética

Cálculo de la magnetización de saturación teórica a partir de los resultados del modelo fenomenológico

Asumiendo un arreglo colineal de los dominios magnéticos en los sitios del Fe³⁺ en el interior de la BaM se puede calcular el valor teórico de la magnetización de saturación [18, 32] a través de la expresión (18):

Extendiendo la expresión anterior para el caso de la BaM dopada con dos dopantes se tendrá (19):

Magnetización de saturación y anisotropía

En la figura 10 se muestra el comportamiento de la magnetización de saturación con la concentración del dopante por fórmula unidad para la hexaferrita de bario pura y el sistema que se estudia. Se reportan los valores de magnetización teórica predicha de acuerdo con las expresiones (18) y (19) según el modelo de distribución de cationes por sitios y los valores experimentales obtenidos de las mediciones en el MMR, respectivamente.

Se observa un decrecimiento lineal con la concentración, cuya pendiente depende en proporción inversa al aumento de la fracción de ocupación de los cationes sustitutos en las posiciones 12k y 4fiv [41, 42]. Los menores valores de la magnetización de saturación se deben a la mayor cantidad de los dopantes en los sitios 12k y 4fiv.

Al comparar las dependencias entre las curvas experimental y teórica de la magnetización de saturación en función de la cantidad de dopante por fórmula unidad con la composición de fases se infiere que para estas muestras, además de la distribución de cationes ya mencionada, es la superposición de diferentes fases magnéticas lo que provoca tal comportamiento de la curva de magnetización experimental. Esta afirmación es confirmada en [41].

Todos los valores de magnetización de saturación medidos se encuentran en el mismo orden de magnitud respecto a los valores reportados por otros autores en el rango de concentraciones considerados [7, 11, 38].

En la figura 11 se reportan las constantes de anisotropía magnética K₁ (figura 11a)) y K₂ (figura 11b)), las constantes del material W₁ (figura 11c)), W₂ (figura 11d)) y W₀ (figura 11e)), y el coeficiente de textura del material C_tex (figura 11f )), respectivamente, en función de la cantidad de dopante por fórmula unidad.

En la figura 11a) se observa un mínimo correspondiente a x = 0,3, lo cual demuestra que estos compuestos tienen menores fracciones de poros formados por poros grandes [29, 40, 41].

Para este sistema se cumple que W₀ ≥ W₁ ≥ W₂, mostrándose que las constantes del material se encuentran fuertemente regidas por el comportamiento de las constantes de anisotropía magnética, lo cual provoca que aunque las muestras desde el punto de vista cristalográfico posean una débil anisotropía, desde el punto de vista magnético tengan una componente anisotrópica apreciable.

En la tabla 1 se reportan el tipo de anisotropía y el campo de anisotropía para todas las muestras. Se observa que tanto el tipo de anisotropía como el campo de anisotropía varían con la concentración del dopante.

TABLA 1. TIPO DE ANISOTROPÍA Y CAMPO DE ANISOTROPÍA (Han)

Para la BaM el campo de anisotropía calculado es algo mayor que el reportado en [31], lo cual se debe a la presencia de huecos, inclusiones y pequeñas fracciones de otras fases presentes en la muestra, que contribuyen de forma apreciable a la anisotropía de la muestra como un todo.

Para este sistema el mínimo es debido a cambios en el tipo de anisotropía y también a puntos de inflexión en las curvas de constante de anisotropía magnética "K₁" con la cantidad de dopante por fórmula unidad (figura 11a)).

CONCLUSIONES

Las propiedades estructurales y magnéticas de la ferrita BaFe_(12-2x)Al_x³⁺Co_x³⁺O₁₉ para 0,0 ≤ x ≤ 1,3 son funciones de la distribución, en los sitios cristalográficos del hierro, tanto de los dopantes como del catión original. A su vez, esta distribución es función del tipo dopante.

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Recibido: 28/08/2015
Aceptado: 20/11/2015