Se definen 7 índices de asimetría, se establecen sus propiedades, y se aplican al análisis cuantitativo de las asimetrías encefálicas, a partir de un estudio encefalométrico "in vivo" -hecho mediante la tomografía axial computadorizada- de 180 individuos sanos de uno y otro sexos y un amplio rango de edades. Los índices de asimetría relativa y los de desproporción o repartición (4 en total) poseen propiedades óptimas de invariancia respecto a sexo y edad. Además, los miembros de cada una de las 3 parejas posibles de índices (de asimetría absoluta, de asimetría relativa, y de desproporción) están correlacionados también en forma óptima. Ellos muestran que la configuración anatómica considerada es asimétrica en individuos sanos y que no puede serlo arbitrariamente, sino de una manera bien definida.
Palabras clave: CEREBRO/anatomía e histología; TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA POR RAYOS X; CEFALOMETRIA.
INTRODUCCION
El estudio de las asimetrías morfológicas y funcionales del encéfalo humano ha cobrado gran importancia en los últimos a?os, tanto por su aporte al conocimiento de las características anatomo-funcionales normales del sistema nervioso central,1-3 como al de las alteraciones de patrones normales que han sido detectados en varias enfermedades neurológicas y psiquiátricas.4,5 En el presente trabajo se desarrolla un sistema de índices que constituyen una base métrica para la investigación de la asimetría axial plana en general, y mediante ellos se realiza un análisis de la asimetría cerebral a partir de un estudio encefalométrico "in vivo" hecho a través de la tomografía axial computadorizada mediante un equipo Somaton 2 de Siemens.
MATERIAL Y METODO
Sujetos: Se dispuso de 180 estudios tomográficos normales de cráneo (69 hombres y 111 mujeres), con los requisitos que el estudio fuese indicado sólo por cefaleas, no hubiese antecedentes de accidentes vasculares encefálicos, no se hubiese sufrido trauma craneal con pérdida del sensorio, no se presentase enfermedad neurológica ni psiquiátrica alguna, ni al sujeto se le hubiese practicado cirugía intracraneal, ni se le hubiese administrado contraste en un período anterior no menor de 30 días. A cada caso se le practicó un corte axial con un espesor de 2 mm paralelo a la línea órbito-meatal al nivel de los cuernos anteriores de los ventrículos laterales. Dicho corte permitió realizar las mediciones de las siguientes distancias (derechas e izquierdas): ventrículo frontal anterior craneal (VFAC), ventrículo frontal anterior encefálica (VFCAE), ventrículo frontal lateral craneal (VFLC), ventrículo frontal lateral encefálica (VFLE), ventrículo occipital craneal (VOC), ventrículo occipital encefálica (VOE), ventrículo parietal craneal (VPC), ventrículo parietal encefálica (VPE). (Ferrer Milián DA. Estudio morfométrico de algunas variables craneales y encefálicas en pacientes normales y envejecidos, mediante la tomografía axial computadorizada [tesis de especialidad, La Habana, ISCBP "Victoria de girón, 1989]).
Métodos numéricos: Consideremos 2 vectores A y B de dimensión n:
A=(a1, ..., an), B=(b1, ..., bn),
con componentes ai0, bi0 (i = 1, ..., n) que provienen de pares (ai, bi) de distancias rectas respecto a cierto eje en un plano, como indica la figura.
Fig.
En la figura formada por los puntos ai y bi existe simetría respecto al eje de referencia cuando y sólo cuando ai = bi, o sea, si y sólo si:
ai/bi = 1, bi/ai = 1 para i = 1, ..., n.
Luego, puede considerarse el vector
S = (1, ..., 1) ]]>
como el vector que expresa la simetría perfecta.
La magnitud en que se aparta un vector
P = (x1, ..., xn)
de dicha simetría perfecta puede expresarse mediante algún tipo de "distancia" d(P,S) entre P y S. Consideraremos la distancia6,7 definida por:
n d(P,S) = S |xi - 1| i=1
Teniendo en cuenta que para nosotros un vector P puede tener una de las 2 formas siguientes:
P1= (a1/b1 , ..., an/bn) ó P2 = (b1/a1, ..., bn/an), sustituyendo en d(P,S) se obtienen sendas expresiones d(P1 ,S), d(P2 , S). Se divide cada una por n para hacer comparables las magnitudes que provengan de vectores de distinta dimensión. Definimos así los "índices" J y K mediante:
n J = d(P1,S)/n = [S |ai - bi|/bi] /n i=1 n K = d(P2,S)/n = [S |ai - bi|/ai ] /n i=1
Consideramos además los "índices" siguientes:
J/K, K/J, E= J/K + K/J - 2, J/(+K), K/(J+K)
Las 7 variables definidas, a las que llamaremos índices de asimetría, poseen las propiedades siguientes:
Todos los índices son positivos y carentes de unidad de medida. Además, son invariantes bajo transformaciones de cambio de escala, de modo que no dependen de la unidad de medida utilizada, y por consiguiente expresan una propiedad intrínseca de la figura. Al mismo tiempo, ellos son funciones continuas de los vectores A y B, por lo que peque?os errores en la medición de las distancias ai, bi, causan también sólo errores peque?os en el cálculo de los índices. Si se toman índices J* y K* definidos por J* = cJ, K* = cK para una constante c0, los índices que ellos generan coinciden con los generados por J y K.
]]>
J = K = 0 representa la ausencia de asimetría, o sea, una simetría perfecta. (En este caso el resto de los índices se indefine algebráicamente, lo cual no tiene importancia).
Si J = K ¹ 0, entonces J/K = K/J = 1, E = 0, J/(J+K) = K/(J+K) = 0,5.
Recíprocamente, el cumplimiento de una cualquiera de estas 3 últimas igualdades es suficiente para que J = K ¹ 0.
J/(J+K) + K/(J+K) = 1 para todos los valores de J y K diferentes de cero. Como consecuencia, si J/(J+K) y K/(J+K) se consideran como variables aleatorias, entre ellos existe una correlación lineal negativa perfecta: P = -1.
J<K implica que J/K < 1, K/J 1, J/(J+K) < K/(J+K), mientras que J K implica que J/K 1, K/J 1, J/(J+K) K/(J+K).
Si ai<bi (resp. aibi) para i = 1, ..., n entonces J < K (resp. J K).
ai fijos, bi ® ¥ para i = 1, ... , n implica que J ® 1, K ® ¥, y por ende J/K ® 0, K/J ® ¥, E ® ¥ J/(J+K) ® 0, K/(J+K) ® 1. Además, ai ® ¥, bi fijos para i = 1, ..., n conlleva que J ® ¥, K ®1, y consecuentemente J/K ® ¥, K/J ® 0, E ® ¥, J/(J+K) ® 1, K/(J+K) ® 0.
ai fijos, bi ® 0 para i = 1, ... , n obliga a que J ® ¥, K ® 1, y por tanto J/K ® ¥, K/J ® 0, E ® ¥,J/(J+K) ®1, K/(J+K) ® 0. Adicionalmente, ai ® 0, bi fijos para i = 1, ..., n implica que J ® 1, K ® ¥, y por consiguiente J/K ® 0, K/J ® ¥, E ® ¥, J/(J+K) ® 0, K/(J+K)®1.
Todas estas propiedades son de demostración inmediata, excepto que E ³ 0, E = 0 sólo si J = K ¹ 0, que requieren utilizar la teoría de máximos y mínimos de funciones, del cálculo diferencial. Ellas sugieren pruebas de hipótesis adecuadas cuando se les da los índices un tratamiento estadístico.
Cuando ai < bi (resp ai bi) para i = 1, ..., n diremos que el lado derecho (resp. izquierdo) de la figura predomina, y tanto en una como en otra situación diremos que la figura es consistentemente asimétrica. La asimetría consistente es una condición suficiente para la asimetría, pero el recíproco no es cierto. La expresión "índice ligado a un lado" significará que dicho índice es mayor que el índice que forma pareja con él cuando el lado en cuestión predomina. Si la figura se considera vista de frente, los índices ligados al lado izquierdo son J, J/K, J/(J+K), mientras que los ligados al lado derecho son K, K/J, K/(J+K). ]]>
Utilizando tanto la definición de los índices como las propiedades relacionadas, es posible interpretarlos de la manera siguiente:
J y K son los porcentajes en que contribuye cada lado de la figura a la asimetría.
J/K y K/J representan las proporciones en que un lado es más asimétrico que el otro.
E es la magnitud en la cual J y K se exceden de la igualdad entre sí.
J/(J+K) y K/(J+K) son los porcentajes en que se distribuye la figura a cada lado.
Utilizamos la siguiente denominación:
J y K: Indices de asimetría absoluta
J/K y K/J: Indices de asimetría relativa
E: Indice de exceso
J/(J+K) y K/(J+K): Indices de desproporción o repartición ]]>
En el presente trabajo se consideraron los índices J* = 800J, K*= 800K, J/K, K/J, E* = 10000E, J/(J+K) (%), K/(J+K) (%), siendo:
J =[VFACD-VFACIô / VFACI + |VFAED-VFAEI ô /VFAEI + |VFLCD-VFLCI ô /VFLCI + |VFLED-VFLEI ô / VFLEI + |VOCD-VOCI|/VOCI + |VOED-VOEI|/VOEI + |VPCD-VPCI|/VPCI+VPCI+ +VPED-VPEI| ]/8
K = [ôFACD-VFACI ô / VFACD + VFAED-VFAEI| /VFAED + VFLCD-VFLCI VFLCD + VFLED - VFLEI VFLED + |VOCD-VOCI ô / VOCD + |VOED-VOEI|/VOED + |VPCD-VPCI ô /VPCD + |VPED-VPE ô / VPED] /8
Por otra parte, se realizó un análisis de covarianza (ANCOVA), para investigar la relación entre los índices (variables de respuesta), el sexo (tratamientos), y la edad (covariable) de los sujetos, se calculó el coeficiente de correlación lineal con la edad de los índices que dependen significativamente de ésta, y entre las 3 parejas posibles de índices, y se llevaron a efecto pruebas de hipótesis sobre varianzas y medias8,9 (nivel de significación: 0,05).
RESULTADOS
La edad tiene una varianza homogénea para los sexos (F=1,45, p = 0,07) y sus valores promedio tampoco exhiben diferencia significativa (t = =0,16, p = 0,87), de modo que los tratamientos no influyen en la covariable. Sus estadígrafos (n = 180) son X = 39,8 (a?os), D.S. = 20,8, valor mínimo = 3, valor máximo = 88.
El ANCOVA realizado (tabla 1) puso de manifiesto que en ningún índice se presenta una interacción significativa entre el sexo y la edad (columna F(a )), lo que permitió ajustar para cada uno de ellos el modelo usual con estos 2 predictores y un coeficiente de regresión único. A partir de aquí se encontró (columna F(b)) que en cada índice las medias ajustadas para la edad son iguales en uno y otro sexos, razón por la cual para todos ellos el análisis de su dependencia de la edad puede realizarse de forma global, esto es, sin separar por sexos. Por último, el ANCOVA reveló también que solo J* y E* dependen significativamente de la edad (columna F(c)); los coeficientes de correlación correspondientes son r = 0,16 y r = 0,15.
TABLA 1. ANCOVA para los índices. sexo y edad
Indice
Fa
p
Fb
]]>
p
Fc
p
J*
0,080
0,78
2,11
0,15
4,90
0,028
K*
0,065
]]>
0,80
1,67
0,20
3,28
0,072
J/K
0,41
0,52
0,10
0,75
1,97
]]>
0,16
K/J
0,57
0,45
0,099
0,75
1,32
0,25
E*
0,34
0,56
0,011
]]>
0,92
4,19
0,042
J/(J+K)
0,50
0,48
0,096
0,76
1,62
0,20
K/(J+K)
0,50
]]>
0,48
0,096
0,76
1,62
0,20
Leyendas: a Interacción sexo*edad, b) Tratamiento (sexo), c) Covariante (edad).
Las medidas descriptivas globales de los índices se ofrecen en la tabla 2.
TABLA 2. Medidas descriptivas globales (n=180)
Indice
X
]]>
DS
Min
Máx
CV(%)
J*
35,03
18,69
6,67
166,01
53,35
K*
35,37
]]>
17,93
6,56
121,20
50,69
J/K
0,99
0,076
0,84
1,37
7,68
K/J
1,01
]]>
0,073
0,73
1,19
7,24
E*
56,04
110,65
0,00
998,00
197,45
J/(J+K)
49,74
]]>
1,85
45,63
57,80
3,72
K/(J+K)
50,26
1,85
42,20
54,37
3,68
Las comparaciones apareadas entre las 3 parejas de índices no produjeron diferencias significativas (J* vs K*: t = =0,91, p = 0,36; J/K vs K/J: t = 1,87, p=0,064; J/(J+K) vs K/(J+K): t = 1,89, p = 0,061). Entre esas parejas hay correlaciones altamente significativas (J* - K*: r=0,96, p = 0,0000; J/K-K/J: r = -0,99, p = 0,0000; y se sabe que J/(J+K) y K/(J+K) están correlacionados de manera negativa perfecta: r = -1.
J/(J+K) no difiere significativamente del 50,0 % (t = 1,88, p = 0,0610), y tampoco K/(J+K) (t = 1,88, p = =0,061), como era de esperar entonces, lo que no es más que otra forma de expresión de la ausencia de diferencia apareada significativa, ya que la suma de estos índices es 100,0 %. ]]>
Tanto J* como K* y E* son positivos de forma altamente significativa (t = 25,15, p (cola derecha) = 0,0000; t = 26,47, p (cola derecha) = 0,0000; t=6,79, p = 0,0000).
Ahora, J/K no es significativamente superior a 1 (t = -1,33, p (cola derecha) = 0,91), mientras que K/J sí lo es (t = 2,41, p (cola derecha) = 0,0085).
DISCUSION
De la dependencia de la edad que tienen J* y E*, se desprende que la asimetría absoluta (ver denominación en Material y Método) de la configuración determinada por las mediciones hechas en los ventrículos laterales se incrementa con la edad debido a cambios en el lado derecho anatómico, lo que según Ferrer Milián (obra citada) está influido por un proceso atrófico a los niveles considerados, que se evidencia fundamentalmente a partir de los 55 a?os. Sin embargo, la independencia de la edad manifestada por K* es con una p "no muy alta", por lo que es muy posible que este resultado se vea alterado por la variación muestral; algo parecido sucede con E*, pero en orden inverso: es plausible que al tomar otra muestra éste se manifieste independiente de la edad. Por otra parte, la no diferencia de los índices entre los sexos es para cada uno con p "muy alta", especialmente para J/K, K/J, E*, J/(J+K), K (J + K), por lo que estos resultados no deben alterarse sustancialmente por la variación muestral (resultados "confiablemente no significativos").
Los resultados de las comparaciones apareadas y las correlaciones entre las parejas de índices revelan que la estructura anatómica objeto de análisis no puede ser arbitrariamente asimétrica en individuos sanos.
La positividad altamente significativa de J*, K* y E* conlleva que la configuración anatómica analizada es realmente asimétrica en sujetos sanos.
Los resultados que J/K no son significativamente superiores a 1, mientras que K/J sí lo es, implican que existe una asimetría relativa (ver Material y Método) con predominio del hemisferio izquierdo, lo que coincide con lo obtenido por Ferrer Milián (obra citada) mediante un análisis directo de las mediciones.
Se concluye que los 7 índices definidos poseen un conjunto de propiedades que los hacen aceptables como índices de asimetría. Aplicados al estudio de las asimetrías encefálicas resultan ser invariantes para el sexo y son confiablemente no significativos (p muy altas) en este respecto, especialmente 5 de ellos. Otros 5 índices son invariantes para la edad, y 4 de estos confiablemente (p muy altas). Como resultado, 4 en total (los de asimetría relativa y los de desproporción o repartición) poseen propiedades óptimas de invariancia respecto a sexo y edad. Además, los miembros de cada una de las 3 parejas posibles de índices están correlacionados, también en forma confiable (p muy bajas). Ellos muestran que la configuración anatómica considerada es asimétrica en individuos sanos y que no puede serlo arbitrariamente, sino de una manera bien definida.
SUMMARY
The asimmetry indexes are defined, their properties are established, and they are applied to the quantitative analysis of encephalic asimmetries, starting from an encephalometric study in vivo carried out by the computerized axial tomography of 180 sound individuals of both sexes and of a wide range of ages. The indexes of relative asimetry and those of disproportion or distribution (4 in all) have optimal properties of invariance as regards sex and age. Moreover, the member of each one of the 3 possible couples of indexes (of absolute asimmetry, of relative asimmetry, and of disproportion) are correlated in an optimal form, too. They show that the anatomical configuration considered is asimmetric in sound individuals, and that it can't be arbitrary but in a well-defined way.
Key words: BRAIN/anatomy and histology; TOMOGRAPHY; X-RAY COMPUTED; CEPHALOMETRY.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Tassoni G, Bucherelli C, Bures J. Lateralized contributions of the cerebral cortex, parabrachial nucleus, and amygdala to acquisition and retrieval of passive avoidance reaction in rats: a functional ablation study. Behav Neurosci 1992;106(6):933-9.
Fitch RH, Brown CP, Tallal P. Left hemisphere specialization for auditory temporal processing in rats. Ann NY Acad Sci 1993;682:346-7.
Gordon HW. Laterality for music perception in musicians, mathematicians, and dancers: jumping to conclusions. Percept Mot Skills 1993;76:941-2.
Susuki M, Yuasa S, Minabe Y, Murata M, Kurachi M. Left superior temporal blood flow increases in schizophrenic and schizophreniform patients with auditory hallucination: a longitudinal case study using 1231-IMP SPECT. Eur Arch Psychiatr Clin Neurosci 1993;242(5):257-61.
Choquet G. Cours d'analyse. Topologie. Paris:Masson, 1964;T2:57-60.
Simmons GF. Introduction to topology and modern analysis. New York: McGraw-Hill, 1963:49-59, 85-90.
Snedecor GW, Cochran WG. Statistical methods. 7ed. Ames: The Iowa State University, 1980.
Dixon WJ, ed. BMDP statistical software manual: to accompany BMDP release 7. Berkeley: University of California, 1992.
Recibido: 31 de octubre de 1995. Aprobado: 21 de marzo de 1996.
Lic. Humberto Martínez Canalejo. Hospital Pediátrico Docente "Juan Manuel Márquez". Avenida 31 y 76 municipio Marianao, Ciudad de La Hababa, Cuba.
Bioestadístico, Profesor Auxiliar. Hospital Pediátrico Docente "Juan Manuel Márquez", La Habana.
Especialista de I Grado en Anatomía, Profesor Auxiliar, Jefe del Departamento de Anatomía, ICBP "Victoria de Girón".
]]>
Especialista de I Grado en Anatomía. Instructor. Instituto Superior de Ciencias Médicas de Holguín. ]]>199210666933-91993682346-7199376941-219934344725-7199324255257-611964T257-60196349-59, 85-90198071992