Análisis para la modelación y optimización geométrica de un reactor tipo tornillo sin-fin empleando el método de grafos dicromáticos

Analysis for geometric modeling and optimization of a worm type reactor using the method of dichromatic graph

Armando Díaz-Concepción^I, José Martínez-Escanaverino^II, Roberto García-Ramírez^III, Reinaldo-I Benítez-Montalvo^IV, Sergio Marrero-Osorio^V

^I Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. Centro de Estudios en Ingeniería de Mantenimiento. La Habana, Cuba
^II Consultor Internacional. Toronto, Canadá ]]> ^III Chief Executive Officer and Product Development en LATAMCONTROL S.L. Barcelona, España
^IV Centro de Inmunología Molecular. La Habana, Cuba
^V Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. Facultad de Ingeniería Mecánica. La Habana, Cuba

RESUMEN

En el presente trabajo se realiza la modelación, simulación y optimización de un reactor utilizado en las plantas para la obtención de un alimento animal, sobre la base de la predigestión del bagacillo de caña y el hidróxido de calcio en presencia de vapor denominado PREDICAL utilizando grafos dicromáticos. Se obtuvo el modelo matemático para el diseño del reactor, donde se vinculan las variables geométricas y tecnológicas. El modelo formulado permitió la optimización de la variable costo a partir de minimizar la variable geométrica diámetro exterior del reactor.

Palabras claves: modelación reactor tipo tornillo sinfin, grafos dicromáticos, modelo matemático.

ABSTRACT

The present work performs modeling, simulation and optimization of a reactor used in plants for the obtencion of animal feed. It's made on the basis of pre-digestion of cane bagasse and calcium hydroxide in the presence of steam called PREDICAL and using dichromatic graphs. It was achieved the mathematical model for the design of the reactor, where are linked geometric and technological variables. The model developed allowed cost optimization based on minimize the geometric variable outside diameter of the reactor.

INTRODUCCIÓN

Los transportadores sinfín constituyen el medio más frecuentemente usado por el hombre para el transporte de materiales a granel a corta distancia desde hace más de 200 años. Hoy en día la tecnología ha hecho de este, uno de los métodos más eficientes y baratos, pues pueden operar desde un plano horizontal o inclinado y presentar varias entradas y salidas.

En el presente trabajo se pretende diseñar un transportador de tornillo sinfín para la transportación de alimento animal a base de PREDICAL [8] teniendo en cuenta los criterios de costo y las restricciones de dimensión de la instalación donde será emplazado. Para la selección se empleará un algoritmo de cálculo que optimiza las dimensiones (diámetro y longitud) del sinfín y con ello su costo, obtenido a través de generador de grafos dicromáticos.

Las plantas de producción de alimento animal base PREDICAL, son compactas y deben tener un diseño óptimo de los equipos que disminuya el costo de la inversión. En las mismas, es esencial contar con un reactor, en el que se lleva a cabo la reacción en fase sólida del bagacillo mezclado con hidróxido de calcio. Este proceso se realiza en presencia de vapor durante un tiempo de cocción determinado, con vistas a aumentar la digestibilidad de la fibra para finalmente mezclarlo con miel u otros productos según se formule el alimento.

Aunque existe en la literatura diferentes métodos o herramientas para realizar este proceso de simulación y optimización, un ejemplo es el algoritmo de Lee y Christensen [3, 5, 12] que se basa en un análisis a través de la creación de matrices, el que resulta muy complejo, trabajoso e ineficiente y otro ejemplo de esto es la utilización de los algoritmos Nassi – Scheeiderman donde se vuelve engorroso el trabajo a la hora de realizar simulaciones buscando opciones de selección. [9]

Para mejorar la eficiencia en el proceso de diseño o selección de estos equipos se utilizarán grafos dicromáticos y resolvedores matemáticos.

En el trabajo se persigue como objetivo describir la modelación, simulación y optimización de un reactor, tipo tornillo sinfín, utilizado en las plantas para la obtención de un alimento animal base PREDICAL

El reactor tipo tornillo sinfín utilizado en este tipo de planta, consta de un tornillo helicoidal continuo de paso constante, montado en un tubo, que rota a velocidad constante, accionado por un motor eléctrico a través de un reductor de velocidad. Este tornillo traslada la mezcla y la retiene durante el tiempo necesario en una atmósfera de vapor de agua para garantizar la reacción de la mezcla de bagacillo con hidróxido de calcio. Las dimensiones del reactor son mucho mayores que las de los otros equipos de la planta y constituye el 55 % del costo de todos los equipos instalados y un 25 % del valor total de la inversión. Ver figura 1.

Los componentes principales de un reactor tipo tornillo sinfín utilizado en estas plantas son el grupo de accionamiento, la tolva de carga, el tornillo helicoidal, el sistema de vapor, entre otros.

En la figura 2 se muestran varios de sus componentes básicos

Durante el proceso de diseño deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos [11]:

Material a transportar, tamaño de la partícula, volumen en porcentaje de tamaño de partícula, capacidad requerida, distancia a la que se debe transportar.

Clasificar el material en abrasivo, explosivo, fluido, etc.

Capacidad de diseño (tipo de accionamiento, diámetro del eje o del tubo, etc.)

Normalizar diámetro exterior de la helicoide

Determinar el tipo de buje a emplear

Determinar la potencia y el torque: potencia total necesaria en función del tipo de transmisión a utilizar. Además del torque se evalúa la resistencia de los componentes móviles que van a transmitir el movimiento (tubo y eje recomendado

Normalizar la potencia y el torque

Seleccionar el resto de los componentes.

Deflexión: cuando la longitud en el tramo final es mayor que la recomendada o sea fuera de los cuales la deflexión puede ser critica.

Existen diferentes procedimientos a seguir cuando se decide utilizar la simulación [2, 4, 6]. En general, todos presentan una serie de etapas que deben ser transitadas a la hora de planificar un experimento de simulación y entre ellos no se presenta ninguna contradicción, sólo que [4, 6] integran en una etapa dos o más de las dadas por otros. Uno de estos pasos siempre lo constituye el diseño del modelo matemático.

Modelo Matemático

El modelo matemático que describe el diseño de un reactor, tipo tornillo sinfin, consta de las variables y relaciones que se emplean para el diseño [7]: ecuación 1

Este modelo da un criterio de las diferentes variables geométricas (D, d, S), físicas (ρ) y de operación (n, φ), donde a partir del mismo se derivan las diferentes ecuaciones (relaciones) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que interrelacionan la geometría y la operación. A continuación se presentan las variables así como las relaciones que describen el modelo anterior. [7]:

Variables:

Q: capacidad del transportador, en kg/s (t/h).

ρ :densidad del producto, en kg/m³.

D: diámetro exterior del helicoide, en m.

w: peso de la helicoide en kg/m.

d: diámetro interior del helicoide o diámetro del tubo, en m.

η: eficiencia de la transmisión  (a dimensional).

d*: diámetro de los muñones, en m

S: paso del helicoide, en m.

N_m: potencia producida por el motor, en kW.

n: frecuencia de rotación del tornillo, en Hz.

i: relación de transmisión de la transmisión (a dimensional).

n_m: frecuencia de rotación del motor, en Hz.

f: coeficiente de fricción entre el material de los muñones y el material del buje de apoyo (adimensional).

T: tiempo de retención, en s.

F: factor que tiene en cuenta la fricción del material con el cuerpo del transportador (adimensional).

L: longitud del transportador, en m.

φ: coeficiente de llenado del transportador, en %.

s: espesor del tubo, en m.

Relaciones:

Para la ayuda en el proceso de diseño o selección se empleará el método de grafos dicromáticos y resolvedores matemáticos que agilizan el proceso de toma de decisiones

La teoría de grafos ha sido ampliamente estudiada y en la actualidad es aplicada en la solución de un sin número de problemas en diferentes ramas de la ciencia y la técnica. Entre estas aplicaciones se pueden mencionar la solución de problemas de camino óptimo, de flujo máximo, de costo mínimo, la representación y análisis de redes complejas (redes sociales), entre otras. Se basan en que una vez que esté planteado el problema de cómputo, se van realizando pasos desde la eliminación de los datos o variables de entrada hasta obtener el grafo del modelo y llegar al diagrama del problema. [9]

El modelo matemático propuesto (M), está formado por un conjunto de variables Vm y un conjunto de relaciones Rm.

M (Rm, Vm)

Vm (20) (Variables)

Rm (9) (Relaciones)

Vm (Q, D, d, S, n, φ, ρ, L, T, w, f, F, d*, H, I, n_m, N_m, N, η, s)

El problema formulado P, tomando como base el modelo matemático, M, está compuesto por un conjunto de variables de entrada, E y el de variables de salida S.

E (Q, T, w, f, F, H, η, ψ, ρ, n m, s)

S (D, d, S, L, I, n, N, N m, d*)

En la figura 3 se muestran las dimensiones generales del reactor tipo tornillo sin-fin, así como su integración con el sistema motriz, de donde entre la variable L y los parámetros del reductor y el motor se obtendrá una velocidad de traslado del producto que está intrínsecamente relacionado con el tiempo de retención, para lograr un nivel de digestibilidad planificado.

En la figura 4 se pueden observar las diferentes variables geométricas de un reactor tipo tornillo sinfín.

El proceso de simulación se realiza en el reactor utilizado en las plantas de producción de PREDICAL La función objetivo para la optimización será el costo. Se emplean los softwares Yed Graph Editor 7.0 y el TK Solver 5.0

El proceso de optimización se realizará a partir de obtener una función objetivo partiendo del análisis de la relación de los diferentes costos implícitos en el problema, tanto de mantenimiento, montaje, construcción y del sistema motriz. Anteriormente se había explicado la influencia de este equipo en el costo total del equipamiento, por lo que este proceso debe tomar como base la obtención de un equipo, tanto en su diseño como selección, óptimo en cuanto a costo para obtener una planta en valores de inversión adecuada

Relación total del costo, ecuación 10

Donde:

C_mont.: Costo de montaje del equipo y sus accesorios.

C_cost.: Costo de construcción del equipo.

C_s.motriz: Costo del sistema motriz.

C_mtto: Costo de mantenimiento.

C_mat: Costo del material.

Los costos de montaje, construcción, montaje y selección del elemento motriz no presentan variaciones significativas respecto a las variaciones de los parámetros geométricos del equipo

Por lo que partiendo de la ecuación 10 y despreciando los otros indicadores quedaría la ecuación 11

Donde:

V_Tmat.: Volumen total del material.

P: Precio del acero, el mismo es prácticamente es constante en un período determinado.

ρ : Peso específico de acero, es constante

Quedando el costo del material (C_mat) como relación directa del volumen total del material (V_Tmat).

Función Objeto     

La función objeto relaciona los diferentes volúmenes del transportador sin-fin, así como su carcaza, ecuación 13

V₁: Volumen del material de la helicoide.

V₂: Volumen total del tubo que soporta la helicoide.

V₃: Volumen total de la alteza o carcasa.

Como:

Sustituyendo las ecuaciones 14 y 15 en la ecuación 12 y resolviendo se obtiene la ecuación 16

Donde:

S₂=0.006 m.

S₁=0.004 m.

C₁=0.005 m

C₂=0.3 m

L = 8 m

Sustituyendo los valores en la ecuación 15 y agrupando:

Quedando así definida en la ecuación 17 de la función objeto.

Como se puede observar esta ecuación está en función de dos de los parámetros fundamentales de diseño, el diámetro D y longitud L. Para poder obtener la mejor variante ante un diseño o selección de un reactor tipo tornillo sin-fin, se deberían realizar diferentes corridas, discutiendo los resultados obtenidos en cada una, preferiblemente dentro de un grupo de especialistas y en bases a estos decidir la mejor opción.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En la figura 5 se observa el diagrama del modelo general (M) obtenido a partir del Yed Graph Editor 7.0, el cual sirve de base para formular el problema (P). El diagrama del modelo vincula con líneas cada relación (representadas con rectángulos sombreados) con las variables que incluye (rectángulos sin sombrear), este diagrama permite observar la relación entre las variables que componen el modelo, de forma gráfica. [1, 10, 13]

En la figura 6 se muestra el grafo dicromático del problema (P) que resulta compatible e indeterminado, quedando como variable de asignación o grado de libertad la variable D, diámetro exterior del helicoide. Como es un ciclo cerrado y no se encuentran lazos, al asignar valores a dicha variable (D), que es de asignación, se obtienen los valores de salida que caracterizan a dicho reactor.

Del proceso de simulación, se obtuvieron a través del diámetro exterior D, los demás parámetros de la geometría del sin-fin y los del motor a utilizar, a estos últimos los llamaremos parámetros tecnológicos que tienen estrecha vinculación con el funcionamiento del equipo. Para el proceso de optimización se calculará el costo de la construcción completa del reactor, el cual tiene en cuenta no solo los parámetros del sin-fin, sino también la geometría de la carcasa o alteza del equipo. Se llevará a cabo el cálculo del costo debido a que el equipo es el de mayor incidencia en los costos totales del equipamiento y de la inversión total, en muchos casos se parte de tener una cantidad de dinero inicial y lo que se desea evaluar es si el diseño que se está realizando se encuentra por debajo del costo máximo para este equipo.

Para realizar la simulación, con el empleo del modelo del problema, se utilizó el resolvedor matemático TK Solver.

En la tabla No. 1 se muestra los datos de entrada al programa atendiendo las características del material para el problema formulado y en la tabla No. 2 a las características constructivas y de proceso. Por medio de esta el diseñador define los valores de las variables que emplea en el proceso de simulación.

Dada que la densidad del producto es 180 kg/m³ =11,23 lb/ft³ se obtiene Fm de 2 y carga en la alteza de 30 %A.

En la tabla No. 3 se muestran los datos de entrada al programa en base a parámetros geométricos y tecnológicos

En las tablas 4 y 5 se muestran los resultados de la simulación después de prefijado el diámetro D, la capacidad de transportación Q y el tiempo de retención como variables tecnológicas.

Del proceso de simulación de los parámetros geométricos del reactor utilizados en las plantas de PREDICAL se obtuvieron los resultados de las variables geométricas, las que fueron mostradas en las figuras 3 y 4.

d^*: Diámetro interior del tubo que soporta la helicoide m

s: Espesor del tubo.

C₁: Holgura existente entre el diámetro exterior de la helicoide y la carcasa.

S₂: Espesor de la pared de la carcasa.

h: Altura del centro del sin fin a la parte superior de la carcasa.

C₂: Altura del diámetro exterior de la helicoide a la carcasa.

L: Longitud del sin fin.

S: Paso de la helicoide.

D₁: Diámetro interior de la carcasa.

D₃: Diámetro exterior de carcasa.

Además se obtendrá el número de espiras (n_esp).

Sobre los valores obtenidos en las tablas 4 y 5, a partir de prefijar el diámetro exterior de la helicoide D como variable geométrica y el tiempo de retención T y la capacidad de transportación Q como variables tecnológicas se obtienen diferentes opciones para la toma de decisiones de los especialistas donde pueden decidir la opción más efectiva para el diseño de la planta o en la selección de alguna alternativa de poderse contar con transportadores en existencia.

CONCLUSIONES

En el trabajo se obtuvo un proceso para el diseño y simulación de un reactor, tipo tornillo sinfín, utilizado en las plantas de producción de PREDICAL, donde se vinculan las variables geométricas y tecnológicas.

El modelo del problema formulado permite la optimización de la variable costo a partir de minimizar la variable geométrica diámetro exterior de la helicoide y el largo del reactor.

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Recibido: 16 de marzo de 2015.
Aceptado: 2 de mayo de 2015.

Armando Díaz-Concepción. Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría. Centro de Estudios en Ingeniería de Mantenimiento. La Habana, Cuba
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