Dimensión fractal de redes de drenaje controladas estructuralmente en cuencas hidrográficas de Pinar del Río, Cuba

Fractal dimension of structurally controlled river networks of Pinar del Río, Cuba

Robert Ramírez Hernández¹, Alina Rodríguez Infante², Alexis Ordaz Hernández³

¹Máster en Ciencias, Profesor Auxiliar, Universidad de Pinar del Río, Pinar del Río, Cuba robertrh@upr.edu.cu
²Doctora en Ciencias Geológicas, Profesora Titular, Instituto Superior Minero Metalúrgico de Moa, Holguín, Cuba rinfante@ismm.edu.cu
³Doctor en Ciencias Técnicas, Profesor Categoría B, Universidad Autónoma del Estado de México, México alexisordaz.1978@gmail.com

Resumen

Se investiga, bajo el enfoque de los sistemas fractales y con base en parámetros morfométricos, la red de drenaje conformada por las cuencas hidrográficas de los ríos Cangre, Los Pozos, Paso Viejo, San Diego, Los Palacios, Santa Cruz y San Cristóbal (Pinar del Río, Cuba). A partir de la configuración de las curvas de nivel y la longitud de los ríos se extrajeron las áreas de drenaje de cada una de las corrientes y se calcularon las longitudes real y euclidiana de estas como paso intermedio para estimar los parámetros del cálculo de la dimensión fractal. Se encontró que para cuencas con características geológicas como las aquí estudiadas, la dimensión fractal promedio de las corrientes según Takayasu parece ser la más apropiada. El desplazamiento de las corrientes de orden 2 con respecto a las de orden 1 se atribuye a zonas de drenaje asociadas a corrientes de corto recorrido, propias de zonas tectónicamente activas. El factor litológico parece influir en las características del drenaje de la cuenca Cangre, aunque la mayor influencia sobre el sistema la ejercen las abundantes fallas y fracturas existentes en el área, lo que se sustenta en los altos valores fractales de las cuencas Cangre, San Diego y Los Palacios. El coeficiente de Hurst de estas cuencas es próximo a uno, lo que revela el comportamiento autosimilar de la red. Para el resto de las cuencas no es posible asumir un tipo de comportamiento debido a que el valor de Hurst es muy superior a uno.

Palabras clave: dimensión fractal; tectónica; red de drenaje; parámetros morfométricos; cuencas hidrográficas; Pinar del Río.

River networks were studied applying the fractal systems approach and based on morphometric parameters. Procedures are applied to Cangre, Los Pozos, Paso Viejo, San Diego, Los Palacios, Santa Cruz and San Cristóbal river basins (Pinar del Río, Cuba). Drainage areas were extracted taking into account isolevel lines configurations and river lengths. For every stream the Euclidian length was also estimated, to calculate the river network fractal dimension. It seems that Takayasu approach is the most appropriate to describe basins with the geological characteristics like those included in this study. The shift of order 2 streams with respect to order 1 streams is explained by the presence of drainage zones where streams have short lengths, typically in tectonically active areas. The lithologic factor seems to have influenced the drainage characteristics of Cangre basin, although, in general, the numerous faults and fractures exert a major control on every basin, which is supported by the high fractal values of Cangre, San Diego and Los Palacios basins. The Hurst coefficients of these basins are close to one, revealing a self-similar behavior of the river network. For the remaining basins it is no possible to assume a typical behavior because of the Hurst values are greater than one.

Keywords: fractal dimension; tectonics; drainage networks; morphometric parameters; hydrographic basins; Pinar del Río.

1.  INTRODUCCIÓN

En el origen del relieve las fuerzas internas de la tierra juegan el papel primordial, sin embargo, su evolución queda sujeta a la combinación de estas fuerzas con los factores climáticos. Diversos trabajos abordan el estudio del relieve desde el punto de vista tectónico y estructural; otros consideran el papel de estructuras primarias como la estratificación y su influencia sobre el desarrollo del drenaje.

Clark et al. (2004) asocian anomalías del drenaje a factores tectónicos y litológicos; Huggett (2007) realiza un estudio de las formas de relieve, así como la orientación de los ejes de estas formas en ambientes transpresionales y transtensionales. Las características de la red de drenaje han sido descritas en varios trabajos, prestando especial atención a los parámetros morfométricos introducidos por Horton (1932, 1945), Strahler (1946) y Hack (1957).

La geometría fractal permite describir patrones irregulares y fragmentados, los que se repiten a diferentes escalas, generalmente, de forma isotrópica. Cuando estos patrones sufren variaciones anisotrópicas al cambio de escala estamos en presencia de un sistema fractal autoafín (Nikora y Sapozhnikov 1993; Nikora et al. 1996). La invarianza de escala no es constante en procesos autoafines y los modelos basados en autoafinidad parecen ser más adecuados para describir los patrones de drenaje (Veltri et al. 1996). Partiendo de las condiciones de autosimilitud, entre la longitud de los ríos y el área de las cuencas de drenaje Mandelbrot (1977) llegó a la conclusión que la dimensión fractal para corrientes individuales (d), era igual a 1,2, mientras que la dimensión fractal de todo el sistema (D), era igual o próximo a 2. Los estudios de autosimilitud de la red de drenaje se iniciaron con las leyes de Horton (1932, 1945) cuya definición matemática es:

                            (1)

Este trabajo aborda el cálculo de la dimensión fractal de varias cuencas hidrográficas, aplicando modelos fractales de autosimilitud y autoafinidad, con el propósito determinar a qué modelos se ajustan estas cuencas, y analiza la influencia de las condiciones geológicas de cada una de ellas sobre el cumplimiento de los modelos fractales mencionados.

1.1. Características del área de estudio

El área de estudio se ubica en la zona occidental de Cuba y se extiende desde la cuenca del río Cangre, en el municipio Pinar del Río, hasta la cuenca del río San Cristóbal en el municipio del mismo nombre, provincia Artemisa. Los límites del área están entre los 22° 25’ 0.0’’ y 22° 50’ 0.0’’ de latitud norte y los 83° 0’ 0.0’’ y 83° 50’ 0.0’’ de longitud oeste. Las cuencas estudiadas ocupan una superficie de 343 km², Figura 1.

Geológicamente las cuencas se ubican en las unidades tectónicas de Sierra del Rosario/Alturas de Pizarras del Norte/Esperanza, Alturas de Pizarras del Sur y Cinturón Cangre, definidas por Cobiella (2008). Estas unidades constituyen una de las áreas más extensas de afloramientos del margen continental pasivo norteamericano.

Existen notables diferencias entre los cortes terrígenos de las unidades Sierra del Rosario/Alturas de Pizarras del Norte/Esperanza y Alturas de Pizarras del Sur. Aunque en ambas unidades están presentes las rocas de la Fm. San Cayetano, en las Alturas de Pizarras del Sur predominan los sedimentos de aguas someras. Depósitos de turbiditas predominan en la unidad Sierra del Rosario/Alturas de Pizarras del Norte/Esperanza. Hay que destacar que junto a las rocas carbonatadas aparecen intercalaciones de material silíceo (Cobiella 2008).

Las alturas de Pizarras del Sur están formadas casi exclusivamente por las rocas de la Fm. San Cayetano. En esta unidad se encuentra, ocupando una pequeña área, el Cinturón Cangre, considerado el equivalente metamorfizado de la Fm. San Cayetano. Piotrowska (1978) plantea que su metamorfismo de alta presión no está vinculado a la orogénesis cubana y es posiblemente un evento Cretácico, aunque su actual posición estructural es resultado de los sobrecorrimientos del Paleoceno tardío-Eoceno temprano.

En los últimos años se han realizado trabajos de detalle para precisar las características estructurales del corte de la parte oriental de la Sierra del Rosario y esclarecer aspectos relacionados con la orogenia cubana, así como con movimientos neotectónicos, en especial, relacionados con falla Pinar (Cofiño y Cáceres 2003; Ordaz 2013).

2. MATERIALES Y MÉTODOS

Se estudiaron las cuencas de siete ríos: Cangre, Los Pozos, Paso Viejo, San Diego, Los Palacios, Santa Cruz y San Cristóbal, Figura 2. El área de trabajo es cubierta por 17 hojas topográficas escala 1:25 000.

En una primera etapa se extrajo la red de drenaje que aparece representada en las hojas cartográficas. Además, la red de ríos se completó con todos los posibles cauces que pueden ser cartografiados a partir de la configuración de las curvas de nivel. Las corrientes fueron clasificadas según el método de Strahler (1952), como se muestra en la Figura 3.

La configuración de las curvas de nivel permitió extraer las subcuencas superficiales y asociarlas a las corrientes que las drenan. Además de la longitud real de las corrientes se calculó la longitud euclidiana de las mismas, como paso intermedio para la estimación de parámetros que intervienen en el cálculo de la dimensión fractal.

Los parámetros morfométricos dependen directamente de propiedades litológicas, tectónicas y estructurales, los que a su vez determinan las características geométricas de la red de drenaje y la cuenca hidrográfica. Debido a la existencia de modelos de autosimilitud (Mandelbrot 1977, 1983; Liu 1992) y modelos de autoafinidad (Nikora y Sapozhnikov 1993; Nikora et al. 1996; Veltri et al. 1996) para las redes de drenaje se aplicaron métodos de cálculo que tienen en cuenta los fundamentos de ambos modelos (Tabla 1).

Adicionalmente el modelo de autoafinidad plantea que los exponentes de escala en las direcciones longitudinal y transversal de la red de drenaje son diferentes. Las relaciones entre los tamaños característicos longitudinal y transversal del drenaje con respecto a la longitud total de las corrientes (Z) y la relación entre el tamaño característico longitudinal de la cuenca y la longitud de una corriente principal son:

                                                                  (11)

En estas ecuacionesV_lyV_wrepresentan los exponentes de escala en las direcciones longitudinal y transversal, al tiempo que l y w son los tamaños característicos de la red en las direcciones mencionadas; de forma práctica los exponentes de escala se calculan como:

                                 (12)

Gráficos logarítmicos de longitud euclidiana vs longitud real de las corrientes permiten probar la hipótesis que plantea que las corrientes a escalas pequeñas son autosimilares: V_li = 1 (Sapozhnikov y Nikora 1993; Nikora 1994b en Nikora et al. 1996). El valor ε se determina a partir de la pendiente de la recta del mejor ajuste en el gráfico de longitud total de las corrientes vs área de las subcuencas, mientras que β es dos veces la pendiente de la recta del mejor ajuste en el gráfico de longitud de la corriente principal vs área de las subcuencas. Si los exponentes V_ly V_w son iguales la red es autosimilar, de lo contrario se plantea que la red es autoafín. En el caso en el cual ambos exponentes son diferentes la dimensión fractal es reemplazada por la dimensión de lagunaridad (D_G), ecuación 12.

Nikora y Sapozhnikov (1993) interpretaron la relación Vw/Vl como el exponente de Hurst, H, el cual caracteriza el grado de autoafinidad de la red; mientras más alejado de 1, más autoafín es la red.

3. RESULTADOS

El estudio del comportamiento fractal de la red de drenaje comenzó con el cálculo de los parámetros morfométricos para siete cuencas hidrográficas; los resultados se recogen en la Tabla 2.

Los valores en itálica y negritas son aquellos que exceden o están en los límites de los valores máximos probables observados para la mayoría de las cuencas. Puede apreciarse que casi todos los valores se encuentran en los intervalos más comunes. En la Tabla 3 se muestran los resultados del análisis fractal para las siete cuencas.

+: valores estimados según las pendientes de las rectas ajustadas en gráficos de longitud-área.

- valores estimados según las pendientes de las rectas ajustadas en gráficos de longitud-longitud

Se aprecian en la tabla anterior marcadas diferencias entre los valores estimados y calculados de la dimensión fractal promedio de las corrientes. La diferencia fundamental entre los métodos radica en empleo o no de los coeficientes de Horton para la determinación de los valores fractales. Otro aspecto a tener en cuenta es efecto del área de drenaje que es asignada a cada una de las corrientes. Hack (1957) calculó la dimensión fractal de las corrientes en las cuencas de los ríos Virginia y Maryland, encontrando d igual a 1,2. Este autor también realizó cálculos para cuencas en el oeste de los Estados Unidos y encontró un valor promedio de 1,4, llegando a la conclusión que d variaba de región a región.

Eagleson (1970 en Tarboton et al. 1990) estableció el valor 1,14 como valor fractal promedio para la corriente principal. Este valor fue confirmado más tarde por Tarboton (1988, en Tarboton et al. 1990). Gray (1961), Muller (1973) y Hjelmfelt (1988), todos en Tarboton et al. (1990), calcularon valores de 1,14, 1,2 y 1,16 respectivamente. Todos los cálculos anteriores se basan en el supuesto del cumplimiento de las leyes de Horton sobre la composición del drenaje. La dimensión fractal de la red, D, se estimó empleando los valores de d^3-, obtenidos según Takayasu (1990). Como se aprecia sólo coinciden en los cálculos los valores de D estimados por Mandelbrot (1983) y Nikora y Sapozhnikov (1993). La Figura 4 muestra la comparación entre diferentes métodos de cálculo de la dimensión fractal d.

Los valores d según Mandelbrot (1983) son: 0,7 y 0,62, los cuales carecen de interpretación práctica. El parámetro ε se estima a partir de las pendientes de las rectas que se muestran en la Figura 5.

Figura 5. Gráficos para la estimación del parámetro ε, empleado en cálculo de la dimensión fractal de la red: a) río San Cristóbal, b) río Santa Cruz. El eje de las ordenadas representa la longitud total de todas las corrientes que caen dentro de una subcuenca.

Al analizar los parámetros morfométricos de las cuencas llama la atención los valores de la relación de área (R_A) para las cuencas de los ríos Los Pozos y Santa Cruz principalmente. Los valores de ambas cuencas exceden el valor máximo probable de 6.Las variaciones de estos valores promedio fuera de rangos más observados: R_L: 1,5-3; R_B: 3-5; R_A: 3-6; R_S: 0,3-0,6; es el resultado del control tectónico sobre las redes de drenaje. Ríos cortos con amplias áreas de drenaje, ríos extensos con pequeñas subcuencas, ríos de orden superior de pequeña longitud y áreas de drenaje grandes son el resultado de los efectos de los movimientos neotectónicos sobre la conformación del relieve actual y de la configuración del drenaje como el elemento más dinámico dentro del paisaje.

La cuenca Los Pozos posee varios ríos de orden 4, pero uno de ellos es especialmente largo, recorriendo casi toda la cuenca. A diferencia de esta cuenca el río Santa Cruz presenta dos pequeñas corrientes de orden 4 y su corriente de mayor orden, 5, posee una gran longitud. Las corrientes de orden 4 y 5 en las cuencas estudiadas poseen una dirección preferencial NW-SE, siguiendo la dirección de fallas de gran magnitud que según Cofiño y Cáceres (2003) son el resultado del avance diferencial de los mantos durante los cabalgamientos. Un terreno fragmentado en bloques, la presencia de numerosas fallas tectónicas y la existencia de los frentes de cabalgamientos justifican estos comportamientos anómalos, que su vez, alteran los valores promedios de los parámetros morfométricos.

Los puntos encerrados en elipses en las Figuras 4c) y 4d) representan los ríos de orden 2 en adelante, para los cuales sus áreas de drenaje crecen más rápidamente que sus longitudes. Este comportamiento es similar para todas las cuencas estudiadas y ejerce influencia en el cálculo de la dimensión de lagunaridad, así como en la determinación del coeficiente de Hurst (H_lw).

Los esfuerzos que originaron la estructura de mantos cabalgados que hoy se observa en toda la cordillera de Guaniguanico cambiaron de dirección al terminar los cabalgamientos. En el Eoceno Medio temprano comienza la rotación horaria del máximo estrés compresivo, al mismo tiempo que s₃ se acerca también al plano horizontal. Esto favorece las condiciones de transcurrencia, dando lugar a la Zona de Falla Pinar, y con ella a todo un patrón de fracturas de Riedel de segundo orden asociadas a esta, por las cuales circulan las aguas superficiales.

Ríos alargados y rectos, corrientes principales encajadas en sus cauces, con vertientes de pendientes elevadas, pocos afluentes y un medio geológico con presencia de rocas carbonatadas hacen que se violen sistemáticamente las leyes de Horton sobre la composición del drenaje. En opinión de los autores de este trabajo, las condiciones de tectónica activa, transcurrente y vertical, así como el factor litológico, que permite el desarrollo del carso y por lo tanto no favorece el escurrimiento superficial, actúan de forma conjunta impidiendo el desarrollo de la red de drenaje.

4.1. Comportamiento fractal de la red de drenaje

Los valores de la dimensión fractal para las corrientes (Tabla 3) demuestra que los métodos de Mandelbrot (1983) y Rosso et al. (1991) no son apropiados para condiciones en las cuales la tectónica y la litología ejercen un fuerte control sobre el drenaje. Valores demasiado bajos (d²⁺) o demasiado altos (d⁴) no son correctos para la dimensión fractal de la corriente.

Tomando como ejemplo el valor d=1,71 para la cuenca del río San Diego y sustituyéndolo en ecuación (7) ofrece D=2,8; si d se sustituye en ecuación 8 el resultado D = 5,69. Ambos valores carecen de significado práctico, debido a que D no puede ser mayor que 2, que es la dimensión topológica de una red que cubre por completo el espacio. Según Robert y Roy (1990) la dimensión fractal de las corrientes no debe estimarse a partir de la relación longitud-área porque es probable que este valor sea dependiente de la escala. Todos los valores de D fueron calculados utilizando d^3-, que es la dimensión según Takayasu (1990).

En la cuenca Los Palacios los ríos corren casi exclusivamente sobre calizas. Tomando en cuenta que los valores D, obtenidos según los diferentes autores, varían entre ellos se calcula el valor promedio para cada cuenca: Cangre (1,84), Los Pozos (1,69), Paso Viejo (1,63), San Diego (1,81), Los Palacios (1,63), Santa Cruz (1,57) y San Cristóbal (1,65). Puede notarse cómo los valores más altos de D promedio coinciden también con los valores más altos del coeficiente de Hurst (Tabla 3) excepto para la cuenca del río Los Palacios como consecuencia de una relación de longitud anómala.

5. CONCLUSIONES

· Los valores de los índices morfométricos están dentro de los rangos calculados para la mayoría de las cuencas a nivel mundial. Excepciones son la R_A para las cuencas Los Pozos y Santa Cruz y la R_L para la cuenca Los Palacios. Ríos encajados profundamente en sus cauces y áreas de drenaje muy variables son las causas de estas desviaciones. La dimensión fractal promedio de las corrientes según Takayasu (1990) parece ser la más apropiada para cuencas con las características geológicas del área estudiada. El método de Mandelbrot (1983) produce valores demasiado pequeños mientras que el método de Rosso et al. (1991) los sobreestima.

· El desplazamiento de las corrientes de orden 2 en adelante con respecto a las de orden 1 puede ser el resultado de amplias zonas de drenaje asociadas a corrientes de corto recorrido, características de zonas tectónicamente activas. El factor litológico parece ejercer influencia sobre las características del drenaje, especialmente en la cuenca Cangre, aunque la mayor influencia sobre el sistema surge de las abundantes fallas y fracturas de las rocas en el área de estudio. Los elevados valores fractales de las cuencas Cangre, San Diego y Los Palacios confirman esta aseveración. El coeficiente de Hurst de estas cuencas se aproxima a 1 indicando el comportamiento autosimilar de la red. Para el resto de las cuecas no es posible asumir un tipo de comportamiento, pues los valores de Hurst son bastante superiores a uno, lo cual contradice lo planteado en la literatura sobre el tema.

6. REFERENCIAS

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Robert Ramírez Hernández, Máster en Ciencias. Profesor Auxiliar, Universidad de Pinar del Río, Cuba robertrh@upr.edu.cu