Magaly Herrera¹, Yolaine Medina¹, Walkiria Guerra², Lucía Sarduy¹, Yoleisy García Hernández¹, Verena Torres¹ and L.M. Fraga¹

¹Instituto de Ciencia Animal, Apartado Postal 24, San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba

RESUMEN

Se compararon los modelos de efectos fijos y mixtos en el análisis de un diseño de parcelas divididas en un experimento con Guinea Mombaza (Megathyrsus maximus vc. Mombaza) para conocer la efectividad del modelo mixto como alternativa de análisis. El experimento se realizó con un diseño de parcelas divididas. Se consideró como parcela principal los meses de cosecha de la Guinea Mombaza y como subparcelas, un control y dos niveles de fertilización nitrogenada (0, 50 y 75 %). Se probaron las estructuras de varianza-covarianza Toeplitz, componente de varianza, simetría compuesta, autoregresiva de orden 1 y no estructurada en el modelo mixto. Para un mejor ajuste a los datos, se tuvieron en cuenta los criterios de información Akaike, Akaike corregido y Bayesiano, y se consideró el valor más pequeño. Las estructuras de varianza-covarianza de mejores ajustes fueron la Toeplitz, componente de varianza y no estructurada. Los valores de probabilidad de la interacción de los efectos principales para ambos modelos fueron similares, así como el cuadrado medio del error y los errores estándar de las diferencias de medias. Los criterios de selección, que se ajustaron adecuadamente a las variables analizadas, permitieron conocer la estructura de varianza-covarianza. El modelo mixto proporcionó errores estándar de las diferencias de medias adecuados, por lo que se propone como alternativa de análisis. Con la utilización del modelo mixto se evita el cálculo de los errores estándar a partir de la fórmula establecida para este fin.

Palabras clave: estructuras de varianza-covarianza, criterios de información, efecto aleatorio, PROC MIXED

ABSTRACT

Models of fixed and mixed effects were compared in the analysis of a split plot design in an experiment with Guinea Mombaza (Megathyrsus maximus cv. Mombaza), to know the effectiveness of the mixed model as an analysis alternative. The experiment was carried out with a split plot design, considering the harvest months of Guinea Mombaza as the main plot and one control and two levels of nitrogen fertilization (0, 50 and 75 %) as subplots. Variance-covariance structures tested were Toeplitz, variance component, compound symmetry, Firts order autoregressive  and unstructured variance structure in the mixed model. For a better data fit, Akaike, corrected Akaike and Bayesian information criteria were taken into account, and the lowest value was considered. Variance-covariance structures with the best fit were Toeplitz, component of variance, and unstructured. Probability values of interaction of the main effects were similar for both models, as well as the mean square of the error and standard errors of mean differences. Selection criteria, which were properly fitted to analyzed variables, allowed to know the variance-covariance structure. Mixed model provided standard errors of appropriate mean differences, so it is proposed as an analysis alternative. The use of the mixed model avoids calculation of standard errors based on the formula established for this purpose.

Key words: variance-covariance, information criteria, random effect, PROC MIXED

INTRODUCCIÓN

Los experimentos de parcelas divididas se utilizan comúnmente en las ciencias agropecuarias. Sin embargo, en el análisis de sus resultados se utilizan generalmente modelos estadísticos de efectos fijos, cuando se deberían analizar modelos mixtos (Segura-Correa et al. 2008).

El uso de los modelos de efectos fijos, relacionados con un diseño de parcelas divididas en su procedimiento de análisis, produce resultados apropiados. Sin embargo, su aplicación resulta compleja, pues es necesario desarrollar rutinas de cálculo, que incluyan los efectos fijos y aleatorios del modelo, de manera que se eliminen inconvenientes como la existencia de varianzas heterogéneas entre tratamientos y la correlación entre medias de la misma parcela.

La utilización de modelos mixtos posibilita el análisis de datos con estructuras de dependencia, desbalanceados y con falta de normalidad y homogeneidad de varianza del error entre tratamientos (Balzarini et al. 2004, Carrero et al. 2008 y Gómez et al. 2012). Además, estos modelos permiten modelar la respuesta de un estudio experimental u observacional como función de factores o covariables, cuyos efectos se pueden considerar como constantes fijas o variables aleatorias (Arnau y Bono 2008, Castellano y Blanco-Villaseñor 2014 y Seaone 2014).

Vargas (2009) y Arnau et al. (2012) refieren que el modelo lineal mixto permite modelar la estructura de la matriz de covarianzas y sus diferencias entre los grupos, en función de la descripción de los datos. Desde este enfoque, la estructura de la matriz de covarianza más adecuada se selecciona previamente mediante los criterios estadísticos como el Akaike (AIC) y el Bayesiano (BIC).

Por las razones referidas, el empleo del modelo mixto para el procesamiento de experimento trazado según diseño de parcelas divididas podría ser una alternativa de análisis, pues permite obtener estimaciones adecuadas, cuando se considera dentro del modelo como efecto aleatorio la interacción del bloque y el factor que está en la parcela principal.

Este estudio tuvo como objetivo comparar el empleo de modelos de efectos fijos y mixtos en el análisis de un diseño de parcelas divididas en un experimento con Guinea Mombaza (Megathyrsus maximus vc. Mombaza).

MATERIALES Y MÉTODOS

Diseño estadístico. En el primer análisis estadístico de los datos se empleó el modelo lineal general de efectos fijos, relacionado con el diseño de parcelas divididas. Se utilizó el paquete estadístico Infostat (Balzarini et al. 2012). Para el análisis se tuvo en cuenta el modelo que se describe a continuación:

Y_ijk = μ + PP_i + bloque_k + δ_ik + SP_j + (PP*SP)_ij + ε_ijk

donde:

Y_ijk = variables respuesta (altura y % materia seca) asociadas a la parcela principal, al bloque y la subparcela

μ = media general de las observaciones

PP_i = efecto del i-ésimo meses (parcela principal) i= (1…3)

Bloque_k: efecto del k-ésimo gradiente del suelo (bloque) k= (1…4)

δ_ik = error  aleatorio de la interacción meses*gradiente del suelo, con media cero y σ²

SP_j= efecto del j-ésimo nivel de fertilización (sub-parcela) j= (1…3)

ε_ijk = error de la parcela dividida con media 0 y varianza σ₂

En el modelo se consideraron los meses de cosecha, el bloque, el control y los niveles de fertilización y la interacción meses*niveles de fertilización como efectos fijos y la interacción niveles de la parcela principal*bloque como efecto aleatorio. Para el análisis del modelo lineal mixto se usó el paquete estadístico SAS Institute Inc. (2013), versión 9.3, con ayuda del PROC MIXED. 

Se probaron las estructuras de varianza-covarianza Toeplitz (Toep), componente de varianza (VC), simetría compuesta (CS), autoregresiva de orden 1 (AR[1]) y no estructurada (UN) en el modelo lineal mixto. Para seleccionar el modelo con la matriz de covarianza de mejor ajuste a los datos, se emplearon los criterios de información [Akaike (AIC), Akaike corregido (AICC) y Bayesiano (BIC)], para lo que se consideró el valor más pequeño.

Las medias en ambos procesamientos se compararon mediante de la dócima de rango fijo Tukey-Kramer (Kramer 1956).

Para verificar el cálculo de los errores estándar de las diferencias de media, se utilizó la fórmula propuesta por Cochran y Cox (1999).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En la tabla 1 se presentan los resultados para los procedimientos relacionados con los modelos lineal general y mixto, correspondientes a un diseño de parcelas divididas. Cuando se utilizó el modelo mixto, las estructuras de mejor ajuste a partir de los criterios de información AIC, AICC y BIC fueron Toep, VC y UN, que mostraron los valores más pequeños.

Abreu et al. (2016) plantearon que el criterio AIC combina la teoría de máxima verosimilitud, información teórica y la medida de incertidumbre existente ante un conjunto de información. Este  criterio tiene en cuenta los cambios en la bondad de ajuste y las diferencias en el número de parámetros entre los modelos. El criterio BIC se calcula para los diferentes modelos, como una función de la bondad de ajuste del enlace logarítmico, el número de parámetros ajustados y el número total de datos. Los mejores modelos son los que presentan el menor valor de AIC y BIC.

A pesar de que los resultados de las estructuras de covarianza fueron mejores en los modelos en los que se consideró el bloque como efecto fijo y la interacción bloque*niveles de la parcela principal como aleatorio, no se puede plantear que sea el más adecuado. Es necesario valorar también los resultados de los errores estándar de las diferencias de medias, con el objetivo de obtener la precisión apropiada en los parámetros del modelo.

Según Arnau-Gras (2007), Bono et al. (2010) y Guillamet et al. (2016), mediante la metodología del modelo mixto el investigador puede modelar o especificar la estructura de covarianza y aumentar la posibilidad de analizar los datos de medidas repetidas, al proporcionar errores estándar válidos y pruebas estadísticas eficientes.

En la tabla 2 se presentan los resultados del cuadrado medio del error y de los valores de probabilidad de error tipo I para las variables altura y por ciento de materia seca. Se encontró que para ambos modelos no variaron los resultados de la interacción de los efectos principales (meses y fertilización). Sin embargo, para la variable altura de la planta la interacción fue no significativa. Esto implica que no existe relación importante entre los meses y la fertilización, por lo que se debe realizar el análisis de forma independiente para cada factor.

Otra de las ventajas que muestra el empleo del modelo lineal mixto es obtener directamente y de manera adecuada el estadístico F para el efecto de la parcela principal, cuando la interacción entre la parcela principal y la subparcela no es significativo. No resulta así cuando se utiliza el modelo lineal general, pues se hace necesario realizar ajuste de este estadístico para estimar mejor los niveles de significación de dicho efecto.

En la tabla 3 se presentan los resultados de las medias de los efectos principales de la variable altura para los modelos lineal general y mixto. En el análisis se observó que las medias como sus diferencias mostraron resultados similares. Esto se corresponde con el análisis de datos de experimentos balanceados, cuyos resultados no varían.

Los errores estándar de las diferencias de medias para ambos modelos tuvieron resultados similares (tabla 3). Según Kaps y Lamberson (2004), el modelo mixto calcula los errores estándar apropiados para las medias diferencias de mínimos cuadráticas. Segura-Correa et al. (2008) realizaron un análisis de este tipo, en el que las estructuras de mejor ajuste a sus datos fueron componentes de la varianza y simetría compuesta. Sin embargo, estos resultados no coinciden con los obtenidos por estos autores.

En la tabla 4 se muestran los resultados de la variable por ciento de materia seca. La interacción parcela principal/sub-parcela fue significativa en ambos análisis. Los errores estándar de las diferencias de medias fueron similares.

La aplicación de los modelos mixtos, para el caso de los diseños de parcelas divididas, permitió obtener estimaciones adecuadas de los errores estándar de las diferencias de medias a partir de la estructura de varianza-covarianza de mejor ajuste a los datos, lo que resulta de un análisis válido y útil para este tipo de diseño. Según Gómez et al. (2012), estos modelos permiten modelar la respuesta de un estudio experimental u observacional como función de factores o covariables, cuyos efectos se pueden considerar como constantes fijas o aleatorias.

Con este modelo no es necesario realizar el cálculo manual de los errores estándar de las diferencias entre medias, debido a su inclusión en la salida de los resultados al utilizar el modelo lineal general. 

Para calcular el CMea (PP*bloque) que se refiere en la tabla, es necesario aplicar la siguiente fórmula:

Cmea = SP* CMea * (de la estimación del parámetro de covarianza) + CMeb

En la tabla 6 se muestran los cálculos para los EEDM de la salida del modelo lineal general y PROC MIXED, cuando la interacción es significativa.

Se concluye que los criterios de información permitieron conocer la estructura de varianza- covarianza que se ajustó adecuadamente a los datos de las variables analizadas. Los efectos principales mostraron resultados similares, en cuanto a los valores de probabilidad en ambos modelos. El empleo del modelo lineal mixto proporciona errores estándar de las diferencias de medias apropiados, por lo que se propone como alternativa de análisis para este tipo de diseño experimental.

REFERENCIAS

Abreu, L. A., Abreu, G. J. R. & Iglesias, N. I. 2016. “Interfaz gráfica en Matlab para el cálculo de criterios de bondad de ajuste”. Revista Ingeniería, Matemáticas y Ciencias de la Información, 3(5): 13–21, ISSN: 2357-3716, Available: <http://ojs.urepublicana.edu.co/index.php/ingenieria/article/view/276>, [Consulted: December 13, 2017].

Arnau, J., Bendayan, R., Blanca, M. J. & Bono, R. 2012. “Efecto de la violación de la normalidad y esfericidad en el modelo lineal mixto en diseños split-plot”. Psicothema, 24(3): 449–454, ISSN: 0214-9915, Available: <http://www.redalyc.org/resumen.oa?id=72723439018>, [Consulted: December 15, 2017].

Arnau, J. & Bono, R. 2008. “Estudios longitudinales de medidas repetidas: Modelos de diseño y análisis”. Escritos de Psicología, 2(1): 32–41, ISSN: 1989-3809, Available: <http://scielo.isciii.es/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S1989-38092008000300005&lng=es&nrm=iso&tlng=es>, [Consulted: December 15, 2017].

Balzarini, M. G., Casanoves, F., Di Rienzo, J. A., González, L. & Robledo, C. W. 2012. InfoStat. version 2012, [Windows], Córdoba, Argentina: Grupo InfoStat, Available: <http://www.infostat.com.ar/>.

Balzarini, M., Macchiavelli, R. & Casanoves, F. 2004. “Aplicaciones de modelos mixtos en agricultura y forestería”. In: Curso Internacional de Aplicaciones de Modelos Mixtos en Agricultura y Forestería, Turrialba, Costa Rica: CATIE, p. 189, Available: <academic.uprm.edu/rmacchia/agro6998/AplicModMixtosAgricForest.pdf>, [Consulted: December 15, 2017].

Bono, R., Arnau, J. & Vallejo, G. 2010. “Modelización de diseños split-plot y estructuras de covarianza no estacionarias: un estudio de simulación”. Escritos de Psicología, 3(3): 1–7, ISSN: 1989-3809, Available: <http://scielo.isciii.es/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S1989-38092010000200001&lng=es&nrm=iso&tlng=en>, [Consulted: December 15, 2017].

Carrero, O., Jerez, M., Macchiavelli, R., Orlandoni, G. & Stock, J. 2008. “Ajuste de curvas de índice de sitio mediante modelos mixtos para plantaciones de Eucalyptus urophylla en Venezuela”. Interciencia, 33(4): 265–272, ISSN: 0378-1844, Available: <http://www.redalyc.org/resumen.oa?id=33933406>, [Consulted: December 15, 2017].

Castellano, J. & Blanco-Villaseñor, A. 2014. “Analysis of the variability of the movement of elite soccer players during a competitive season of a generalized linear mixed model”. Cuadernos de Psicología del Deporte, 15(1): 161–168, ISSN: 1578-8423.

Cochran, W. & Cox, G. 1999. Diseños experimentales. 2nd ed., México: F. Trillas, S.A., 75 p.

Gómez, S., Torres, V., García, Y. & Navarro, J. A. 2012. “Statistical procedures most used in the analysis of measures repeated in time in the agricultural sector”. Cuban Journal of Agricultural Science, 46(1): 1–7, ISSN: 2079-3480, Available: <http://www.cjascience.com/index.php/CJAS/article/view/74>, [Consulted: December 15, 2017].

Guillamet, C., Rapelli, C. & García, M. del C. E. 2016. “Uso del variograma para la selección de modelos de co-variancia en los modelos mixtos”. In: XXI Jornadas ‘Investigaciones en la Facultad’ de Ciencias Económicas y Estadística ‘FCEyE 2016’, Argentina: Universidad Nacional de Rosario, Available: <http://hdl.handle.net/2133/7608>, [Consulted: December 16, 2017].

Kaps, M. & Lamberson, W. 2004. Biostatistics for Animal Science. CAB International, 347 p., ISBN: 0-85199-820-8.

Kramer, C. Y. 1956. “Extension of Multiple Range Tests to Group Means with Unequal Numbers of Replications”. Biometrics, 12(3): 307–310, ISSN: 0006-341X, DOI: 10.2307/3001469, Available: <http://www.jstor.org/stable/3001469>, [Consulted: December 15, 2017].

SAS Institute Inc. 2013. Statistical Analysis Software SAS/STAT®. version 9.1.3, Cary, N.C., USA, Available: <http://www.sas.com/en_us/software/analytics/stat.html#> .

Seaone, J. 2014. “¿Modelos mixtos (lineales)? Una introducción para el usuario temeroso”. Etología, 24: 15–37, ISSN: 2175-3636, 1517-2805.

Segura-Correa, J. C., Armendáriz, I. & Santos, R. 2008. “Comparison of fixed and mixed models for the analysis of random block designs with split plot fit”. Cuban Journal of Agricultural Science, 42(1): 13–17, ISSN: 2079-3480.

Vargas, A. 2009. “Modelos Lineales Mixtos con estructura de correlación en el Análisis de Datos Longitudinales. Un caso aplicado”. Anales Científicos, 70(3): 15–24, ISSN: 2519-7398, DOI: 10.21704/ac.v70i3.516, Available: <http://revistas.lamolina.edu.pe/index.php/acu/article/view/516>, [Consulted: December 16, 2017].

Aceptado: 7/12/2017

Magaly Herrera, Instituto de Ciencia Animal, Apartado Postal 24, San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba. Email: mvillafranca@ica.co.cu