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1. Introducción
El cálculo de los cojinetes de deslizamiento se ha abordado de forma amplia en correspondencia con la extensión de la aplicación de este tipo de componentes, muchos autores han empleado las diferentes actualizaciones de la norma en el desarrollo de sus investigaciones. La norma en su parte inicial (ISO 7902 - Part 1: Calculation Procedure) explica todas las relaciones entre variables y ha sido reeditada en dos ocasiones, en el año 2013 y posteriormente en el 2020. En ambas revisiones se ofrecen precisiones sobre el método, que facilita su comprensión. En el caso de las partes 2 y 3 han tenido una sola reedición en el año 2020. La ISO 7902. Part 2: Functions used in the calculation procedure, ofrece las tablas y nomogramas que permiten obtener las relaciones entre las variables para la simulación del cojinete que se estudia. La ISO 7902-3: Permissible operational parameters, muestra relaciones para el cálculo de las variables límites, para verificar las condiciones de trabajo y tablas con valores típicos de algunas de ellas.
Las normas ISO 7902 se han empleado en varios estudios publicados internacionalmente como en la investigación de desarrollada por Dobrica, en que se obtiene un modelo de cojinete con lubricación hidrodinámica capaz de simular el funcionamiento de este con la superficie arañada y emplea específicamente la ISO 7902-3 para determinar los parámetros límites. Smykla [1], utiliza la norma ISO 7902:2020, para calcular las variables que caracterizan el comportamiento de los cojinetes y compararlas con las que se obtienen por otros métodos, también se cotejaron los resultados con los parámetros medidos experimentalmente [2].
Los últimos estudios publicados sobre los cojinetes evidencian la pertinencia del análisis del tema, se ha trabajado en la optimización de las propiedades tribológicas de los aceites lubricantes en un grupo de cojinetes a partir del estudio de la potencia disipada, la temperatura y el espesor de la película [3]. También se investiga la interacción dinámica entre el rotor y sus apoyos, calculando las variables que caracterizan el funcionamiento de los cojinetes y las condiciones de inestabilidad que pueden conducir a fallas catastróficas [4]. Se han obtenido modelos numéricos para analizar el efecto de la rugosidad en las características de los cojinetes hidrodinámicos para la mejor disposición del área texturizada sobre la superficie de contacto [5] y el comportamiento estocástico de los cojinetes hidrodinámicos resolviendo la ecuación de Reynolds, para a partir de las variaciones aleatorias en la excentricidad y la rugosidad de las superficies simular sus características de estado y dinámicas [6]. Han sido desarrolladas investigaciones como la que demuestra la relación entre la variación de la temperatura y la excentricidad, cuando se introducen hoyuelos para aumentar la presencia de lubricante, con lo que se reduce el área de contacto entre el eje y el apoyo, se evita la cavitación y se disminuye la temperatura del cojinete [7]. Como se ha analizado uno de los temas más investigado recientemente es la influencia de la geometría superficial en el funcionamiento del cojinete [5, 6, 7].
En Cuba se han evaluado los cojinetes de deslizamiento empleando diferentes criterios tanto de los textos más usados en las universidades de autores como Orlov, P (1985), Dobrovolski (1981), así como de otros libros muy conocidos como Shigley, que emplea el número de Sommerfeld como base para la determinación de todas las variables de interés [8] y otras publicaciones más recientes de diversos autores. En el año1998 el comité técnico de normalización de la ISO CT 123 elaboró la norma ISO 7902: Hydrodynamic plain journal bearing under steady-state conditions -Circular cylindrical bearings, que puso a disposición de los técnicos que explotan, mantienen o diseñan cojinetes de deslizamiento un documento que orienta el cálculo de la capacidad de trabajo de estos componentes en condiciones de lubricación hidrodinámica. Esta norma tuvo como antecedente la DIN 31652 Plain Bearing, Hydrodynamic Plain Journal Bearing Designed for Operation Under Steady-State Conditions, editada en Alemania en el año 1983.
Desde la publicación de la norma ISO 7902 Hydrodynamic plain journal bearing under steady-state conditions - Circular cylindrical bearings en 1998, esta ha sido aplicada en el país con éxito para la simulación de las condiciones de trabajo de los cojinetes en varias aplicaciones. Se ha usado para el cálculo de cojinetes industriales solicitados por cargas radiales estáticas, bajo diferentes condiciones de trabajo, lubricantes y geometría demostrando la sensibilidad de las variables de salida a la variación de los datos de entrada [9]. También ha sido empleada la norma para evaluar los cojinetes de un ventilador, de caldera de una central termoeléctrica [10]. Además, con la ISO 7902, han sido verificadas las curvas de cojinetes de 7 diámetros diferentes entre 75 mm y 225 mm que aparecen en Bearings, A Tribology Handbook, en tres puntos característicos para cada curva: carga máxima a bajas revoluciones, carga y revoluciones medias y carga mínima a altas revoluciones, obteniendo resultados similares [10].
Varias investigaciones sobre los cojinetes de deslizamiento se han realizado en el Instituto Superior Minero Metalúrgico Dr. Antonio Núñez Jiménez, en Holguín, entre ellas la del año 2016 que evalúa las características geométricas y técnicas de funcionamiento de los cojinetes de deslizamiento de un activo, que ha sufrido una modificación en su geometría, a partir de la norma cubana de adopción idéntica por traducción de la norma internacional, denominada NC ISO Cojinetes de Deslizamiento Hidrodinámico en Condiciones Estables - Cojinetes Cilíndricos Circulares - Parte 1: Procedimiento de Cálculo. (ISO 7902-1: 2013, Idt), 2015.
El objetivo de este estudio es evidenciar la actualidad y facilidad de aplicación de la norma ISO 7902. Sistemáticamente se han desarrollado y publicado trabajos para evaluar cojinetes de deslizamiento, este sigue constituyendo un tema de interés tanto para diseñadores, operadores o mantenedores de los activos. En las investigaciones, tanto en el ámbito nacional como en el internacional, consultadas se incluyen las diferentes ediciones de la norma ISO 7902 y su versión adoptada por la Oficina Nacional de Normalización de Cuba.
2. Métodos y Materiales
La norma ISO 7902: 2020, en sus tres partes brinda el procedimiento y todas las relaciones entre los parámetros y las variables que permiten el cálculo un conjunto de valores para evaluar los cojinetes, muy útiles para predecir los comportamientos de estos componentes. La base del cálculo consiste en determinar si bajo las condiciones de trabajo de un cojinete, puede mantener las superficies en movimiento relativo separadas por una capa de lubricante, para que esto sea cierto debe cumplirse la relación 1:
La relación 1 permite comparar, hmín que es el espesor mínimo de película que se calcula siguiendo las orientaciones de la parte 1 de la norma 7902, con las expresiones que simulan las condiciones de trabajo del cojinete que incluye su balance térmico. La variable hmín se puede observar en la figura 1, junto a otras variables que caracterizan el cojinete como ε (excentricidad relativa) y β (ángulo entre la línea de acción de la carga y la línea de centro).
La variable hlím es el espesor límite de película para que el cojinete mantenga separadas las superficies, considerando la rugosidad superficial y las deformaciones de elaboración y de trabajo de ambos componentes, cojinete y apoyo, variables que pueden ser determinadas con las orientaciones de la parte 3 de la norma.
Fuente: ISO 7902-1, 2020 Fig. 1 Esquema de un cojinete de deslizamiento en condiciones de lubricación hidrodinámica.
.
2.1. Modelos matemáticos
A continuación, se muestran los modelos matemáticos basados en el estudio de la norma, que permiten el cálculo de las variables de los cojinetes para los dos tipos de lubricación. En el caso de los cojinetes que trabajan con escaso suministro de lubricante y que intercambian calor principalmente por convección se calculan las variables con las relaciones de la tabla1, y el balance térmico comprende la determinación de las pérdidas de potencia del cojinete y las posibilidades de este de disipar ese calor, según las orientaciones de la parte 1 de la norma.
Tabla 1 Modelo matemático para el cálculo de los cojinetes con escaso suministro de lubricante. Fuente: autores
| #Relación | Relación |
| 1 | ηeff = función {TB,aceite} |
| 2 | (ψmáx· D) - Dmáx + Dj,mín =0 |
| 3 | So (D · B · ηeff · ωh) -F · (ψeff)2 = 0 |
| 4 | ε = función {So,B/D} |
| 5 | f´/ ψmáx = función {ε,B/D} |
| 6 | Pth,f - f´· F · 0,5 ωhD = 0 |
| 7 | A = función {Geometría y condiciones del apoyo} |
| 8 | TB· KA· A - Pth,f - Tamb = 0 |
| 9 | TB,0-TB,1- ∆TB = 0 |
| 10 | hmin - 0,5 · D · ψmáx(1 - ε) = 0 |
Los cojinetes bañados con abundante aceite con una lubricación forzada pueden simularse con el empleo de las relaciones que se observan en la tabla 2. En ese caso se debe determinar cuidadosamente el flujo de lubricante que circula por el cojinete y que permite el enfriamiento de este. El flujo debe calcularse con las orientaciones de la parte 1 de la norma y los gráficos y esquemas de la parte 2.
Tabla 2 Modelo matemático para el cálculo de los cojinetes con lubricación forzada. Fuente: autores
| # Relación | Relación |
|---|---|
| 1 | ηeff = función {0,5(tentr+ tsal), aceite} |
| 2 | (ψmáx· D) - Dmáx+ Dj,mín = 0 |
| 3 | So (D B ·ηeff · ωh) -F ·(ψeff)2 = 0 |
| 4 | ε = función {So, B/D} |
| 5 | f´/ ψmáx = función {ε, B/D} |
| 6 | Pth,f - f´· F · 0,5 ωh·D = 0 |
| 7 | Q3+ QP- Q = 0 |
| 8 | D3·ψmáx·ωh·Q3* - Q3 = 0 |
| 9 | Q3* = función {ε, B/D;Ω} |
| 10 | ((D3· ψmáx 3·pen)/ ηeff) Qp*- Qp = 0 |
| 11 | Qp* = función {geometría del cojinete, B, dL, qL} |
| 12 | qL = función {geometría del cojinete, B, dL} |
| 13 | Pth,f / (ρcp·Q)] -tsal(i) +ten = 0 |
| 14 | tsal - tsal(i) - Δtsal = 0 |
| 15 | hmín - 0,5 D·ψmáx(1 - ε) = 0 |
Desde finales de la década de 1990, la norma 7902 se ha empleado en Cuba para evaluar diferentes aplicaciones y se ha podido demostrar su eficacia para simular cojinetes de deslizamiento en condiciones de lubricación hidrodinámica. En este caso la edición del 2020 de la norma, es usada para determinar las variables que caracterizan un cojinete de deslizamiento lubricado sin presión, de un generador eléctrico HSR7 637-8P, acoplado a un motor Hyundai Himsen 9H 25/33, de una central eléctrica de fuel oíl de La Habana. En la tabla 3 se muestran los datos para el cálculo.
Tabla 3 Datos para el cálculo de cojinetes con escaso suministro de lubricante del generador HSR7 637-8P, de la central eléctrica de fuel oíl. Fuente: autores
| Variable | Valor |
|---|---|
| Fuerza | F = 25 000 N |
| Velocidad angular del eje | 𝛚 = 94,25 1/s |
| Temperatura ambiente | Tamb = 30oC |
| Holgura relativa efectiva del cojinete | Ψeff = 0,00161 |
| Diámetro nominal del eje | D = 0,155 m |
| Ancho nominal del cojinete | B = 0,180 m |
| Lubricante | ISO VG 32 |
| Coeficiente de transferencia de calor exterior | Ka = 20 W/m2oC |
| Temperatura límite del cojinete | Tlím = 100oC |
3. Resultados y Discusión
La norma ISO 7902 Hydrodynamic plain journa lbearing under steady-state onditions - Circular cylindrical bearings ha sido analizada en todas sus partes y sus ediciones para el desarrollo de la investigación. En la parte 1 de la norma ISO 7902 se muestra el esquema de análisis y se describe de forma detallada el procedimiento de cálculo. Debe mencionarse que en la norma 7902: 2020 la tabla 1 de símbolos y sus designaciones se simplifica, y se integran nuevos términos necesarios. El algoritmo de la figura 2 de la norma, ha sido revisado por el comité técnico y presenta mejoras, aunque tiene un error de edición en la relación para la obtención del número Reynolds (Re), la ecuación adecuada para el cálculo es la que aparece en esta parte de la norma, con el número 3, sin embargo, Re es correctamente determinado en los ejemplos de cálculo, esta relación estaba bien enunciada en el algoritmo, desde la edición del año 1998. El algoritmo además tiene la expresión (TB ·Tex ≤ Tlím), donde debiera aparecer (TB o Tex ≤ Tlím), refiriéndose a que se puede comparar la temperatura límite con la temperatura obtenida por uno de los dos métodos propuestos. La edición del año 2020 corrige la relación 7 que en versiones anteriores omitía, para el cálculo de la potencia perdida Pf, el término relativo a la velocidad de deslizamiento de las superficies (las variables D/2,ωh). En el epígrafe 7.5 se adiciona la forma de obtener h min para el caso de (φ2 - (π - 𝝱) < π/2). Además, fueron corregidos errores de cálculo de los anexos, que aparecían en las primeras ediciones.
La norma ISO 7902-2:2020, Part 2: funciones usadas en el procedimiento de cálculo, contiene un conjunto de tablas con valores típicos que toman las variables de varios cojinetes. Y un gran grupo de nomogramas para determinar las relaciones entre variables que describen las condiciones de trabajo del conjunto cojinete-apoyo, así como relaciones que permiten, una vez identificado el esquema de ingreso del lubricante al cojinete, realizar los cálculos del flujo de lubricante.
Todos estos elementos con el empleo del procedimiento de cálculo que se propone en la parte 1 de la norma, simulan el cojinete de forma sencilla para distintas condiciones de trabajo siempre y cuando se respete el alcance de la norma. Se debe señalar que la ISO 7902-2 del año 2020 presenta un error de edición en el que sustituye los términos (f′/ψmáx, f/ψmáx) por (f′/φ, f/φ, que son incorrectos) en las tablas de la 1 a la 30 y en los gráficos en los que aparece esta relación.
En la norma ISO 7902-3:2020, Part 3: Permissible operational parameters, se muestran relaciones entre variables y los valores orientativos del espesor mínimo de película de lubricante, temperatura límite y presión límite. Un grupo importante de las variables que se eliminaron de la tabla 1 parte 1, se integran a nueva la tabla 1, de la parte 3 de la ISO 7902, lo que mejora la comprensión del documento. En la figura 2 define los términos X y Y que facilitan el empleo del gráfico.
La norma ISO 7902: Hydrodynamic plain journal bearing under steady-state conditions - Circular cylindrical bearings del año 2020, es superior a las ediciones anteriores pues amplia con nuevas relaciones las posibilidades de cálculo. Simplifica la tabla de símbolos y sus designaciones, la divide entre la parte 1 y 3 de la norma para hacerla más fácil de consultar, además, corrige los errores de edición de los documentos anteriores, por ejemplo, la relación para el cálculo de la potencia perdida.
En el caso que se presenta, la norma fue aplicada al apoyo exterior del generador HSR7 637-8P, de una central eléctrica de la provincia La Habana, cuyas características fundamentales aparecen en la tabla 3. El cojinete posee un sistema de lubricación por anillo, su verificación se realizó con el empleo del modelo que aparece en la tabla 1. (Modelo matemático para el cálculo de los cojinetes con escaso suministro de lubricante).El estudio brindó resulta dos satisfactorios en cuanto a los valores de espesor mínimo de película de lubricantes, de temperatura y de excentricidad relativa, lo que verificó el comportamiento de equilibrio dinámico del cojinete durante su funcionamiento.
En la tabla 4 se muestran los resultados de los cálculos realizados para simular el cojinete. Como se puede observar la excentricidad relativa (ε) es mayor que 0,7 por lo que se pudo afirmar teóricamente que las condiciones de trabajo del cojinete son estables. En caso de que no se cumpla la relación ε > 0,7m se pueden producir vibraciones en el cojinete y condiciones de trabajo indeseables.
Tabla 4 Variables obtenidas en las distintas iteraciones de cálculo para régimen de lubricación por convección del generador HSR7 637-8P con escaso suministro de lubricante. Fuente: autores, corregido de la norma ISO 7902
| Variable | Unidad | Iteraciones | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | ||
| TB,0 = Teff | ºC | 50 | 62,7 | 63,76 |
| ηeff | Pa s | 0,020 | 0,013 | 0,012 |
| Ψeff | 1 | 0,00184 | 0,00201 | 0,00202 |
| SO | 1 | 1,61 | 2,94 | 3,23 |
| ε | 1 | 0,61 | 0,74 | 0,76 |
| hmín | m | 55,66∙10-6 | 40,44∙10-6 | 37,58∙10-6 |
| f’/Ψeff | 1 | 2,7 | 1,9 | 1,8 |
| f’ | 1 | 0,005 | 0,0038 | 0,0036 |
| Pth,f | W | 908 | 696,24 | 664,13 |
| TB, 1 | ºC | 75,4 | 64,81 | 63,21 |
| TB, 0 | ºC | 62,7 | 63,76 | - |
| hlím | m | - | - | 9,14∙10-6 |
Se obtuvo una temperatura de trabajo de aproximadamente 63 ºC, que se correspondió con las mediaciones realizadas al cojinete en funcionamiento. También se revisó lo establecido en la carta de régimen de operación del generadorHSR7 637-8P, que considera esa temperatura apropiada para mantener las condiciones óptimas de funcionamiento y es aceptable para preservar las propiedades del lubricante.
El espesor de película de lubricante es de 37 micrómetros por lo que supera ampliamente hlím que es el espesor límite de película que se evaluó considerando la rugosidad superficial y las deformaciones de elaboración y de trabajo del cojinete y el apoyo, obtenida con el empleo de la parte 3 de la norma.
Conclusiones
En los trabajos de investigación analizados se emplearon las diferentes actualizaciones de la ISO 7902 y su versión adoptada por la Oficina Nacional de Normalización, de Cuba, esto les facilitó el cálculo de las variables que caracterizan el comportamiento de los cojinetes, contrastando sus resultados con los medidos experimentalmente, encontrando coincidencias en los valores comparados.
La propuesta de algoritmo para el cálculo de la norma ISO 7902: 2020, permitió conocer el origen de los problemas funcionales que pueden presentar los apoyos; muestra el comportamiento del espesor de película (h mín ), excentricidad relativa (ε) y temperatura de trabajo, respecto a la variación de elementos como: la carga específica, la temperatura de entrada del lubricante o del ambiente, la holgura y la viscosidad del lubricante, lo que contribuye a determinar la interrelación entre estas variables.
