ARTÍCULO ORIGINAL

 

Técnicas evolutivas en problemas multi-objetivos en el proceso de planificación de la producción

 

Evolutionary techniques for multi-objective problems in production planning

 

 

Mariano Frutos-Alazard, ^I Fernando Tohmé-Hauptmann, ^II

^I Universidad Nacional del Sur, Departamento de Ingeniería. Bahía Blanca, Argentina.
^II Universidad Nacional del Sur, Departamento de Economía. Bahía Blanca, Argentina.

 

 

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RESUMEN

La planificación, en el ámbito productivo, se encarga de diseñar, coordinar, administrar y controlar todas las operaciones que se hallan presentes en la explotación de los sistemas productivos. En este marco de trabajo, aparecen numerosos Problemas de Optimización Multi-objetivo (MOPs). Éstos constan de varias funciones que suelen ser complejas y evaluarlas puede ser muy costoso. La optimización multi-objetivo es la disciplina que trata de encontrar las soluciones, denominadas Pareto óptimas, a este tipo de problemas. La compleja resolución de los MOPs es debida a las dimensiones propias del problema, al carácter combinatorio de los algoritmos y a la naturaleza de los objetivos, los cuales están vinculados a la eficiencia del sistema. En las últimas décadas muchos MOPs vinculados a la producción han sido tratados con éxito con técnicas de resolución basadas en Algoritmos Genéticos. En este trabajo se evalúa a NSGAII (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II), SPEAII (Strength Pareto Evolutionary Algorithm II) y a sus antecesores, NSGA y SPEA, en el proceso de planificación de la producción no estandarizada. Luego de la experiencia realizada, el algoritmo NSGAII mostró mayor eficiencia.

Palabras clave: algoritmo memético multi-objetivo, configuración productiva tipo job-shop, frontera de Pareto, optimización multi-objetivo.

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ABSTRACT

Planning in production environments takes care of designing, coordinating, managing and controlling all the operations existing in the use of productive systems. There are, in the framework analyzed within this work, several relevant Multi-Objective Optimization Problems (MOPs). They consist of several functions which tend to be complex and expensive to evaluate. Multi-objective optimization is the discipline developed to provide solutions, called Pareto optimal, for the simultaneous optimization of those functions. The costs of solving MOPs is due to the dimension of the problems, the combinatorial nature of the algorithms and the kind of objectives represented, linked to the efficiency of the system.. In the last decades several production-related MOPs have been handled successfully by means of Genetic Algorithms. Here we will evaluate the performance of some particular genetic-based algorithms like NSGAII (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II), SPEAII (Strength Pareto Evolutionary Algorithm II) and their predecessors, NSGA and SPEA, in the process of planning non-standardized production activities. After the experiment was carried out, the NSGAII algorithm proved to be more efficient.

Key words: multi-objective memetic algorithm, job-shop production environment, Pareto frontier, multi-objective optimization.

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INTRODUCCIÓN

 

La programación de la producción en un ambiente productivo tipo Job-Shop implica asignar y dimensionar adecuadamente los recursos involucrados en el mismo [1; 2; 3; 4]. Para ello, es necesario contar con procedimientos eficientes que permitan optimizar decisiones en este ámbito. El problema de secuenciación de operaciones en un entorno Job-Shop es, por lo general, muy difícil de resolver. El mismo ha sido clasificado como NP-Hard, es decir, no se ha encontrado un algoritmo polinómico para resolverlo, por lo que el tiempo para encontrar una solución crece exponencialmente con respecto al tamaño del problema [5; 6]. Se han dado diversas propuestas sobre cómo plantear el problema, para posteriormente darle solución a través de una gran variedad de algoritmos [7; 8; 9; 10; 11]. La mayoría de estos problemas involucran la optimización simultánea de 2 ó más objetivos, los cuales, generalmente se encuentran en conflicto entre sí [12; 13]. Este tipo de problemas se denominan multi-objetivo y, por su naturaleza, suelen tener múltiples soluciones. Se incluyen en este artículo, algunos conceptos fundamentales sobre optimización multi-objetivo. En estas definiciones asumimos, sin pérdida de generalidad, la minimización de todos los objetivos.

A. Problema de Optimización Multi-objetivo: es encontrar un vector que satisfaga las q restricciones de desigualdad , las p restricciones de igualdad , y que minimice la función vector ; donde , es el vector de variables de decisión. El conjunto de todos los valores que satisfacen las restricciones define la región de soluciones factibles Ω y cualquier punto en es una solución factible.

B. Optimalidad de Pareto: un punto es un óptimo de Pareto si para cada , hay al menos una i para el cual . Esta definición dice que es un óptimo de Pareto, si no existe ningún vector factible que mejore algún objetivo sin causar simultáneamente un empeoramiento en, al menos, otro objetivo.

C. Dominancia de Pareto: un vector se dice que domina a otro vector (representado por ) si y sólo si es parcialmente menor que ; es decir, , .

D. Conjunto Óptimo de Pareto: para un Problema de Optimización Multi-objetivo dado , el Conjunto óptimo de Pareto se define como .

E. Frontera de Pareto: Para un Problema de Optimización Multi-objetivo dado y su Conjunto Óptimo de Pareto , la Frontera de Pareto se define como .

Obtener la frontera de Pareto es la meta principal de la optimización multi-objetivo. De todas maneras, dado que esta frontera puede contener un gran número de puntos, una buena solución debe contener un número limitado de ellos, localizados lo más cerca posible de la frontera de Pareto exacta, y estar uniformemente distribuidos a lo largo de la misma, para que sean de la mayor utilidad posible al experto que interpreta las soluciones.

Debido a sus diversas ventajas, el uso de algoritmos evolutivos se ha vuelto muy popular en optimización multi-objetivo [14; 15]. Entre los diversos algoritmos evolutivos que se han utilizado, uno de los más interesantes en su desarrollo y aplicación es el Algoritmo Genético (GA, Genetic Algorithm) [16; 17; 18]. La alta tasa de convergencia de éstos implica un costo en problemas multi-objetivo, ya que se pierde diversidad de soluciones, lo cual se refleja en fronteras de Pareto pobremente distribuidas. Sin embargo, si se complementa al algoritmo con un método de búsqueda local eficiente, es posible diseñar un algoritmo multi-objetivo que requiera un número muy bajo de evaluaciones de la función de aptitud. A este tipo de algoritmo combinado se lo llama Algoritmo Memético Multi-objetivo [19].

El resto del artículo está organizado de la siguiente manera. En la sección II se proporciona una descripción general del algoritmo propuesto. En la sección III se enuncian los algoritmos a comparar, se presentan las experiencias y se exponen los resultados obtenidos con cada uno de los procedimientos.
Además, en este punto, se establece el procedimiento de comparación. Finalmente, en la sección IV, se presentan las conclusiones y algunos posibles trabajos futuros.

 

MÉTODOS

 

El problema de secuenciación de operaciones en un entorno Job-Shop (JSSP, Job-Shop Scheduling Problem) consiste en organizar la ejecución de n trabajos a ser realizados en m máquinas. Es decir, se tiene un conjunto finito J de trabajos , los cuales deben ser procesados por un conjunto finito M de máquinas . Al procesamiento de una operación de un trabajo en una máquina se la denomina operación , donde i indica el orden en que deben ser realizadas el conjunto de operaciones de un mismo trabajo . La operación requiere el uso de una máquina durante un tiempo ininterrumpido , conocido como tiempo de procesamiento.

En base a lo mencionado, el algoritmo propuesto opera en base a un cromosoma que representa la secuenciación de las operaciones a realizarse en cada una de las máquinas . La codificación del mismo se presenta como una lista ordenada de números enteros, los cuales representan el orden en que los trabajos serán realizados en cada máquina [20], como se muestra en la tabla 1. Es decir, se designa con valores entre 0 y n!-1 la secuencia de trabajos en cada máquina. Para m = 4 y n = 3, 0→J1J2J3, 1→J1J3J2, 2→J2J1J3, 3→J2J3J1, 4→J3J1J2 y 5→J3J2J1.

La población inicial es conformada por individuos cuyo cromosoma es constituido por genes seleccionados de manera aleatoria. Una vez establecido el cromosoma, se procede a la decodificación y evaluación de los individuos en términos del Makespan (tiempo en terminar todos los trabajos) [21] (ecuación 1) y el Delay (tiempo de retardo del trabajo que termina con mayor retraso con respecto a una fecha consignada) [22] (ecuación 2).

(1)

(2)

Donde se corresponde con la fecha de culminación del trabajo y es el retraso del trabajo con respecto a una fecha consignada. Poder evaluar los cromosomas en término de estos dos objetivos, permite determinar la criticidad de cada una de las máquinas que intervienen en el proceso productivo. El algoritmo opera con operadores genéticos básicos, gracias al diseño establecido para el cromosoma. Luego de que los individuos fueron afectados por los operadores genéticos y antes de que éstos formen parte de la nueva población, se les aplica a ellos un operador de mejora. Este operador se diseñó siguiendo el desarrollo de la meta-heurística Simulated Annealing (SA) [23]. Ésta es una técnica que presenta una búsqueda local guiada para progresar desde una solución a otra de mejor calidad. SA introduce una estrategia de aceptación que permite explorar temporalmente áreas desfavorables del espacio de búsqueda. Cabe mencionar que el esquema de la solución va cambiando con la alteración aleatoria del valor de los genes que conforman cada cromosoma. Se diferencia este procedimiento de otros al incorporar direcciones de búsqueda con criterios de densidad. Después de que los operadores genéticos y de mejora han sido aplicados, y la población ha sido decodificada y evaluada, el algoritmo continúa de acuerdo a NSGAII (Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II) [24]. NSGAII utiliza una estrategia elitista junto con un mecanismo explícito de diversidad. En la figura 1 se presenta el seudo-código del algoritmo y en la figura 2 su esquema general.

 

RESULTADOS

 

Se presentan, en este punto, las características principales de los 3 algoritmos evolutivos multi-objetivos a ser comparados con NSGAII. Los algoritmos son los siguientes: NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) [25], SPEA (Strength Pareto Evolutionary algorithm) [26] y SPEAII (Strength Pareto Evolutionary algorithm II) [27]. El algoritmo NSGA clasifica los individuos en varias capas o frentes. Esta clasificación consiste en agrupar a todos los individuos no dominados en un frente, con un valor de fitness igual para todos los individuos. Este valor es proporcional al tamaño de la población, para así proporcionar un potencial reproductivo igual para todos los individuos de este frente. Entonces, el grupo de individuos clasificados es ignorado y otro frente de individuos es considerado. El proceso continúa hasta que se clasifican a todos los individuos en la población. Puesto que los individuos en el primer frente tienen el valor de fitness mayor, consiguen siempre más atención que el resto de la población. SPEA, es un algoritmo que utiliza un archivo que contiene las soluciones no dominadas encontradas. En cada generación, se copian los individuos no dominados a ese archivo y se borran de éste las soluciones dominadas. Para cada individuo en el sistema externo, se computa un valor de fuerza o strength proporcional al número de las soluciones a las cuales cada individuo domina. En SPEA, el fitness de cada miembro de la población actual se computa según las fuerzas de todas las soluciones no dominadas externas que la dominen. SPEAII tiene diferencias importantes con respecto a su precursor. Este algoritmo incorpora una estrategia fina de asignación del fitness que considera, para cada individuo, el número de los individuos que lo dominan y el número de los individuos por los cuales es dominado. Además, utiliza la técnica del "vecino más cercano" para la valoración de la densidad, dirigiendo la búsqueda en forma más eficiente.

En un análisis preliminar de estos algoritmos, se verificó que el proceso de mejoramiento de soluciones tiende a estabilizarse en torno a la generación 200, por lo que se definió el número de generaciones igual a 500, dando así un margen para un mejoramiento tardío de la solución. Los parámetros y las características del equipamiento utilizado durante los ensayos fueron: tamaño de la población: 200, número de generaciones: 500, tipo de cruce: Uniform, probabilidad de cruce: 0.90, tipo de mutación: Two-swap, probabilidad de mutación: 0.01, tipo de búsqueda local: Simulated Annealing, probabilidad de búsqueda local: 0.01, CPU: 3.00 GHZ y RAM: 1.00 GB. Los problemas resueltos fueron: la01, la02, la03, la04, la05, la06, la07, la08, la09 y la10 [28]. Estos problemas son los más populares en cuanto al JSSP se refiere. Son variados en tamaño y complejidad. Se muestran los resultados obtenidos con los algoritmos presentados en el punto anterior para un análisis multi-objetivo haciendo Makespan vs. Delay. Los resultados se analizaron de la siguiente manera [23]. Se corrió cada algoritmo 10 veces. Se obtuvo para cada algoritmo los conjuntos de soluciones no dominadas: P₁, P₂,…, P₁₀. Se creó una superpoblación P_T = P₁ ∪ P₂ ∪ ...∪ P₁₀ para cada uno de los algoritmos. De cada superpoblación se extrajeron las soluciones no dominadas, formando así el frente de Pareto de cada algoritmo: Y_NSGA, Y_SPEA, Y_NSGAII y Y_SPEAII. Es decir, se agrupan las soluciones de todas las réplicas y se eliminan las dominadas con el fin de estipular una frontera de Pareto para cada algoritmo. Los frentes de Pareto desarrollados por cada algoritmo se muestran en las figuras 3, 4, 5, 6 y 7.

 

DISCUSIÓN

 

Para obtener una aproximación del frente Pareto óptimo Ŷ_true, se toma al conjunto de soluciones Y_NSGA ∪ Y_SPEA ∪ Y_NSGAII ∪ Y_SPEAII, y se eliminan de él las soluciones dominadas. Para la comparación se tendrá en cuenta: la cantidad de soluciones de cada algoritmo que se encuentran en Ŷ_true (Ŷ_true), la cantidad de soluciones que son dominadas por Ŷ_true (), el número de soluciones encontradas por cada algoritmo (Ŷ_alg) y el porcentaje de soluciones en Ŷ_true (% Ŷ_true). En los problemas la01 (tabla 2(a)), la04 (tabla 3(b)), la08 (tabla 4(b)), la09 (tabla 5(a)) y la10 (tabla 5 (b)), se puede apreciar que NSGA, SPEA, NSGAII y SPEAII, poseen el 100% de sus soluciones en Ŷ_true. No existe dominancia de un algoritmo hacia otro. En el problema la02 (tabla 2(b)), se observa que NSGAII posee el 100% de sus soluciones en Ŷ_true. Si bien SPEAII tiene el 100% de efectividad, no tiene a todas las soluciones de Ŷ_true. SPEA alcanza un 92,8% de efectividad, ya que de un total de 14 soluciones, solo 1 de ellas es dominada por Ŷ_true. Se observa que NSGAII y SPEAII dominan a NSGA en 2 soluciones y a SPEA en 1 solución. Además, SPEA domina a NSGA en 1 solución. En el problema la03 (tabla 3(a)), se observa que NSGAII posee el 100% de sus soluciones en Ŷ_true. Si bien SPEAII tiene el 100% de efectividad, no tiene a todas las soluciones de Ŷ_true. Se observa que NSGAII y SPEAII dominan a NSGA y a SPEA en 1 solución.

En el problema la05 (tabla 6 (a)), se aprecia que NSGAII posee el 100% de sus soluciones en Ŷ_true. Si bien NSGA tiene el 100% de efectividad, no tiene a todas las soluciones de Ŷ_true. Se observa que NSGAII domina a SPEA y a SPEAII en 1 solución. En el problema la06 (tabla 6 (b)), se observa que solo NSGAII posee el 100% de sus soluciones en Ŷ_true. Se aprecia que NSGAII domina a NSGA, a SPEA y a SPEAII en 1 solución. En el problema la07 (tabla 4 (a)), se observa que SPEAII posee el 100% de sus soluciones en Ŷ_true. Si bien NSGAII tiene el 100% de efectividad, no tiene todas las soluciones de Ŷ_true. Se observa que NSGAII y SPEAII dominan a NSGA y a SPEA en 1 solución.

 

CONCLUSIONES

 

Se comparó al algoritmo NSGAII con otros algoritmos evolutivos multi-objetivo. Los casos abordados fueron problemas de secuenciación de operaciones encontrados en la literatura especializada. Se recuerda que este tipo de problema es uno de los NP-Hard más estudiado en la literatura y su tratamiento es un tema de investigación actual. Se pudo observar que, en la mayoría de los problemas, la calidad de las soluciones obtenidas con NSGAII respecto a las alcanzadas con SPEAII, fue igual o superior. NSGAII superó a NSGA y a SPEA. Se puede concluir que el algoritmo propuesto tiene muy buen desempeño, siendo una buena opción para resolver este problema. Como parte de trabajos futuros, se podrían estudiar planteamientos multi-objetivo distintos de este problema. Se está experimentando con otras técnicas eficientes de búsqueda local para lograr una exploración más agresiva. Finalmente, resultaría de interés evaluar este procedimiento en otros tipos de problemas y así verificar si el esquema propuesto realmente produce ahorros importantes en el procesamiento, sin sacrificar de manera significativa la convergencia. Sin lugar a dudas, queda mucho trabajo que se puede realizar para tener un algoritmo más eficiente y robusto.

 

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Recibido: 14 de abril de 2011
Aprobado: 6 de diciembre de 2011

 

 

Mariano Frutos-Alazard. Departamento de Ingeniería, Universidad Nacional del Sur. Bahía Blanca, Argentina. Correo electrónico: [e-mail]