ARTÍCULO ORIGINAL

 

Modelo fractal para la representación morfológica de la planta Capsicum annuum L. en 3D

 

Fractal Model for Morphological Representation of Capsicum annuum L. in 3D

 

 

M.Sc. Yeniffer A. Veliz-Díaz, M.Sc. Reynolds León-Guerra

^I Universidad Agraria de La Habana, San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba.
^II Centro de Aplicaciones de Tecnologías de Avanzada, La Habana, Cuba.

 

 

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RESUMEN

La presente investigación, surge como apoyo a la simulación 3D en robótica agrícola. Teniendo como objetivo diseñar un modelo tridimensional para la planta Capsicum annuum L. (CAL) mediante la teoría de la geometría fractal, para su uso en simuladores de robots agrícolas. Se analizaron características morfológicas de la planta y se realizó un análisis fractal de la misma mediante el método Conteo de Cajas (efectuando un ajuste lineal por mínimos cuadrados). Se demostró la presencia de una relación lineal que permitió clasificar la planta de CAL como un fractal. Sobre esta información se diseñó el modelo que describe el crecimiento de la planta mediante un Sistemas-L y se construyó a partir del modelo el algoritmo que describe en lenguaje natural el Sistema-L CAL. Se utilizó la herramienta Lparser, permitiendo interpretar la estructura del modelo de Sistema-L de la planta, simular el crecimiento de la misma en diferentes etapas y como resultado final se visualiza mediante un visor 3D Web.

Palabras clave: planta, modelo tridimensional, geometría, robots agrícolas.

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ABSTRACT

This research is a support for 3D simulation agricultural robotics. Its aim is to design a three-dimensional model for Capsicum annuum L. (CAL) using fractal geometry theory, to be applied in agricultural robot simulators. Morphological characteristics of the plant were analyzed and fractal analysis was performed by the Box-Counting method (performing a linear Least-Squares Fitting) It was demonstrated the presence of a linear relationship that allowed classifying the plant as a fractal CAL. Based on that information, the model describing the growth of the plant was designed by an L-system and it was built from the algorithm model that describes, in natural language, the CAL L-system. Lparser tool was used, allowing interpreting the structure of the L-system plant model, simulating its growth in different stages and as a final result it is viewed through a Web 3D viewer.

Keywords: Plant, Three-dimensional Model, Geometry, Agricultural Robots.

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INTRODUCCIÓN

En la actualidad a nivel mundial se ha incrementado la necesidad de introducir en las investigaciones los modelos y las herramientas estadístico-matemáticas de avanzada. El uso e interpretación adecuada de estas técnicas permiten la toma de decisiones óptimas, la eficiencia y el logro de empeños superiores en las diferentes esferas y muy en especial en el sector agrario, cuya aplicación favorece el desarrollo de los sistemas productivos (Chávez et al., 2013).

La modelación estructural de plantas específicamente ha sido desarrollada a través de tres corrientes diferentes, centrando especial interés la presente investigación en una de ellas: los lenguajes orientados a la modelación tridimensional de plantas, como los Sistemas-L (Fernández, 2005).

Otra forma de modelar estructuras complejas de la naturaleza, como son las plantas es la teoría de fractales. La geometría fractal permite describir aspectos como: el ramaje de un arbusto, la superficie rugosa de una roca, o el perfil de una montaña. Fractales es el conjunto de formas generadas normalmente por procesos matemáticos repetitivos y que se caracterizan por: 1) tener el mismo aspecto a cualquier escala de observación, 2) tener longitud infinita, 3) no ser diferenciables y 4) tener dimensión fraccional o fractal. Actualmente, aunque se mantienen las cuatro características mencionadas su acepción es: formas geométricas que pueden ser separadas en partes, cada una de las cuales es una versión reducida del todo (González y Guerrero, 2001).

La geometría fractal describe por medio de algoritmos, permite dimensiones fraccionarias y es adecuada paradescribir formas naturales. Dicha geometría provee una descripción y una forma de modelado matemático para las complicadas estructuras de la naturaleza (Ortíz y Hinojosa, 1998).

Por todo lo anteriormente planteado, en la investigación se declara como problema: ¿Cómo modelar la planta Capsicum Annuum L. mediante la geometría fractal? Al poder modelar la planta en diferentes estadios de su crecimiento de forma natural se puede estimar como puede ser su estructura general (cantidad de hojas, ramas y como están espacialmente distribuidos los elementos anteriores), esta planta virtual puede ser visualizada en 3D e incorporada a diferentes ambientes de simulación para estudiar el comportamiento de los robots (especialmente de los brazos robóticos) para conocer los parámetros cinemáticos y dinámicos adecuados en la explotación. Por tal motivo la investigación tuvo como objetivodiseñar un modelo que permita la representación tridimensional de la planta Capsicum Annuum L.; partiendo de la hipótesis de que mediante la teoría de la geometría fractal se puede modelar el crecimiento de la planta Capsicum Annuum L. en sus diferentes estadios para ser utilizada en los simuladores de robots agrícolas. El presente estudio termina en la etapa de modelación en 3D de la planta, dejando para trabajos futuros los aspectos relacionados con la robótica agrícola.

 

MÉTODOS

Características botánicas del Capsicum annuum L.

El crecimiento de la planta es el resultado de la evolución de tejidos celulares específicos. Una yema puede, en un tiempo, morir, y no va a producir nada en ningún período de tiempo, o puede dar a luz una flor (y luego la yema muere). El eje de las hojas es el resultado de la actividad de la yema situada en su punta, lo que es llamado yema apical; está hecho de una serie de entrenudos; un entrenudo es una parte del vástago hecho de un material leñoso en la punta en los cuales se puede encontrar una o varias hojas. Entre dos entrenudos existe un nudo que lleva las hojas y brotes; cada nudo tiene al menos una hoja, en cada axila de las hojas, se encuentra la yema axilar (de Reffye y Houllier, 1997).

Una noción central para el modelo es la secuencia de crecimiento de entrenudos y nudos producidos por el brote apical del nodo anterior. Otra noción importante está relacionada con el orden de un eje (Figura 1 y 2). El primer orden del eje de la planta es la secuencia de unidades de crecimiento de tal manera que cada una de estas unidades de crecimiento nace de la yema apical de la (de Reffye y Houllier, 1997).

Para simular el crecimiento de la planta se consideran los parámetros de entrada de la Tabla 1:

Determinación de la dimensión fractal de la planta

Para realizar un análisis de las características fractales de la planta se determinó su dimensión fractal: medida numérica adimensional que determina el grado de irregularidad de un fractal (Velasco et al., 2015).

Para calcular la dimensión fractal de la planta Capsicum Annuum L., fue aplicado el método Coteo de Cajas, el procedimiento seguido consistió en simular una malla uniformemente espaciada sobre la imagen de la planta y cuantificar cuantas cuadriculas se requieren para cubrir el conjunto, al disminuir los tamaños de la cuadriculas para cada iteración permitió registrar la cantidad mínima de cuadriculas que cubría la imagen. La dimensión fractal del objeto se calcula viendo cómo cambia este número al ir haciendo la malla más y más fina. Esto fue posible con el empleo de técnicas de visión por computadora. (Figura 3).

(Bouda et al., 2016) plantean que de esta forma, suponiendo que es el número de cuadriculas en la escala requerida para cubrir el objeto, entonces su dimensión fractal se define conforme a la fórmula de Mimkowski-Bouligandcomo sigue:

Así se registra el número de cuadriculas que contiene la planta de Capsicum Annuum L. (Nr) y el factor de escala (r), al ir haciendo esta última cada vez más pequeña. Se calcula el logaritmo de estos dos valores y aplicando un análisis de Regresión Lineal ajustado por un estimador de Mínimos Cuadrados se puede observar que guarda una relación lineal, como muestra la Figura 4.

La presencia de una relación lineal implica que el objeto analizado es un fractal donde la pendiente de la recta será la dimensión fractal buscada (Gaulin, 1994).

Según se observa en la ecuación de la recta que se muestra en la Figura 4, la dimensión fractal de la planta Capsicum Annuum L. es 1,61726, y aunque este valor no será utilizado en la propuesta del modelo, si resulta importante mencionar que constituye un indicador de complejidad de la forma de la planta. Este indicador crece a medida que la forma es más irregular.

A partir de este análisis y una vez demostrado que la planta de Capsicum Annuum L. es un fractal es posible diseñar un modelo basado en Sistemas-L con característica fractales el cual describa el crecimiento de la planta.

Sistemas de Lindenmayer y L parser

Un Sistema-L es un lenguaje, una gramática formal de derivación paralela, un conjunto de reglas y símbolos principalmente utilizados para modelar el proceso de crecimiento de las plantas, aunque también puede modelar la morfología de una gran variedad de organismos. Los Sistemas-L pueden utilizarse para generar fractales autosimilares (Prusinkiewicz, 1999).

El modelo planteado a continuación describe el crecimiento de la planta Capsicum Annuum L. mediante un Sistema-L. Antes de plantear el Sistema-L se define el significado de los símbolos y parámetros utilizados en el modelo como sigue; P: yema apical, H: hoja, E: entre nudo, F: flor, A: fruto, []: inicio y fin de una rama, n: nivel, h : número de hojas , f : número de flores , l_h: largo de una hoja, a_h: ancho de una hoja, l:longitud de un entre nudo, t: tamaño de una flor, d: diámetro de un fruto, l_a: largo de un fruto, p: peso de un fruto, a: ángulo de las ramas con respecto al tallo, ∆E_l: longitud que aumenta un entre nudo en un período de tiempo, ∆H_l: largo que aumenta una hoja en un período de tiempo, ∆H_a: ancho que aumenta una hoja en un período de tiempo, ∆A_l: largo que aumenta un fruto en un período de tiempo, ∆A_d: diámetro que aumenta un fruto en un período de tiempo, ∆A_p: peso que aumenta un fruto en un período de tiempo, ∆F_{t :}tamaño que aumenta una flor en un período de tiempo, M_At: tamaño máximo de un fruto, M_Ft: tamaño máximo de una flor, M_Et: tamaño máximo de un entrenudo.

Sistemas-L: Planta Capsicum Annuum L.

Símbolos: P, E, H, F, A, [,]

Parámetros:

Entrenudo: n, l, a, h, f

Hoja: n, l_h, a_h

Fruto: p, d, l_a

Flor: n, t

Yema apical: n

Axioma: P

Reglas de producción:

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Descripción del modelo que genera el crecimiento de la planta Capsicum Annuum L.

Primeramente se define el alfabeto formado por los siguientes símbolos P, E, H, F, A, [,]. Sean las reglas de crecimiento el siguiente conjunto de reglas de producción:

Se asume para el tiempo de simulación t = 0 las condiciones iniciales dadas por una cadena de símbolos previamente especificada, en este caso la cadena formada por un único símbolo:

P (n)

Aplicando a continuación las reglas de crecimiento se tendrá que para el tiempo de simulación t= 1 la cadena resultante es:

E (n, l, a, h, f ) P (n)

resultado de sustituir, de acuerdo con la primera regla de producción, el símbolo P con EP. Aplicando de nuevo las reglas de crecimiento, se tiene para t=2 las siguientes cadenas resultantes:

Siendo las cuatro nuevas cadenas el resultado de sustituir en la primera, el símbolo E por HE y sus correspondientes parámetros de acuerdo con la segunda regla y, P por EP y sus parámetros tal y como se especifica en la primera regla; en la segunda cadena, el resultado de sustituir E por FE y sus parámetros, de acuerdo con la tercera regla y, P por EP y sus parámetros, según lo especifica la primera regla; en la tercera cadena, el resultado de sustituir E por [EP] E y P por EP con los parámetros correspondientes en cada sustitución; en la cuarta y última cadena el resultado de sustituir E por E como lo especifica la cuarta regla y P por EP según plantea la primera regla, en ambas sustituciones con los parámetros correspondientes.

Se puede observar que a diferencia de la segunda iteración en la que sólo se obtuvo 1 cadena resultante, para t=3, se obtuvieron 4 cadenas, esto se debe a que en una planta un entrenudo puede producir en un momento dado una hoja o una flor o crear una nueva rama formándose un nuevo entrenudo o simplemente el entrenudo no produce nada, sino que se mantiene y aumenta su longitud; en este caso el modelo asigna una probabilidad de ocurrencia para cada una de las posibles producciones que puedan obtenerse, basado en como ocurre este proceso en el crecimiento real de la planta de pimiento, a partir de esta probabilidad de ocurrencia se selecciona la regla aplicar de forma aleatoria.

En resumen, aplicando las reglas de producción, definidas como reglas de crecimiento de la planta a una cadena de símbolos preexistentes, se obtiene una nueva cadena, repitiéndose la sustitución de símbolos iterativamente, lo cual coincide con el concepto central de los sistemas-L: el de re-escritura, una técnica para definir objetos complejos reemplazando sucesivamente partes de un objeto inicial simple (el axioma), mediante un conjunto de reglas de reescritura o de producción (Deussen y Lintermann, 2006).

Ahora bien, al sustituir una y otra vez en cada iteración y de acuerdo con las reglas de crecimiento los símbolos de la cadena obtenida en la iteración anterior, la estructura del sistema aumenta su complejidad lo que hace que sea imposible describir el proceso sin la ayuda de una herramienta que interprete el modelo para su visualización gráfica.

Es importante destacar que las reglas de producción de las nuevas partes son las mismas que se usaron para crear las partes anteriores, de esta forma se logra una estructura en la cual cada parte de la misma se parece al total, lo que se conoce como “autosimilaridad” y facilita la descripción de formas tipo fractales (Mandelbrot, 1997).

La noción geométrica de auto-similitud se convirtió en un paradigma para la estructura en el mundo natural. En ninguna parte es esto principio más evidente que en el mundo de la botánica (Lindenmayer y Prusinkiewicz, 1996).

Otra consideración importante está relacionada a que las reglas de producción se aplican simultáneamente a todos los símbolos de la cadena de entrada, sea esta el axioma o las cadenas resultantes de cada derivación, lo cual es una propiedad que refleja el origen biologico de lo Sistemas-L, ya que los organismos vivos crecen simultáneamente en “todas” sus partes y no secuencialmente.

La imágenes siguientes muestran el resultado de la interpretación del proceso descrito anteriormente para un tiempo de simulación n=10, lo cual fue posible mediante la utilización de la herramienta Lparser, la cual según (Lahoz-Beltra, 2010) está orientada a la simulación de Sistemas-L y el programa Cortona3DViewer 6.0, utilizado para visualizar el fichero resultante de parsear el Sistema-L Capsicum annuum L., permitiendo mostrar así la simulación de la planta en diferentes etapas de su crecimiento (Figura 5).

Algoritmo del Sistema-L Capsicum Annuum L.

El algoritmo consiste en una microgramática que posee símbolos y reglas de sustitución. A partir de formas simples, se construye una estructura compleja, la cual puede ser interpretada en términos gráficos y representada como la estructura de la planta.

El algoritmo del Sistema-L Capsicum annuum L. se describe en un lenguaje natural como sigue:

Entrada:

R: Conjunto de reglas, con restricciones y probabilidades asociadas.

Axioma: Cadena de símbolos inicial.

I: Número de iteraciones.

Salida:

C: Cadena generada.

1. C = Axioma

2. Mientras k = 0 hasta I:

3. C’ = Cadena vacía.

4. Para cada símbolo S de C:

5. R’ = Reglas aplicables de R que tienen S como parte izquierda.

6. Elegir aleatoriamente una regla X de R’ teniendo en cuenta las probabilidades asociadas.

7. C’ = C’ + Parte derecha de X

8. C = C’

9. Fin del ciclo

10. Devuelve C

11. Fin del programa

 

CONCLUSIONES

-Se realizó un estudio del estado actual de la modelación del crecimiento y desarrollo de plantas, centrando la atención en una de sus principales corrientes: la modelación estructural de plantas y dentro de esta, los Sistemas-L y la teoría de la geometría fractal para la modelación del crecimiento de la planta Capsicum annuum L.; se identificaron los principales métodos para analizar propiedades fractales.

-Se realizó un análisis fractal a la planta Capsicum annuum L. mediante el método Conteo de Cajas, evidenciando la presencia de una relación lineal lo que demuestra características fractales en la planta, siendo posible entonces modelar la misma mediante la teoría de la geometría fractal; sobre esta información se construyó el modelo que describe el crecimiento de la planta a partir de un Sistema-L con características fractales.

-Se diseñó el algoritmo en lenguaje natural que simula el crecimiento de la planta a partir del Sistema-L Capsicum annuum L.

-Se validó el modelo propuesto mediante el programa Lparser, que permitió visualizar la simulación de la planta Capsicum annuum L. en diferentes etapas de su crecimiento.

 

NOTA

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

VELASCO, A.; RODRÍGUEZ, J.; ORDÓÑEZ, E.G.; SIGNED, P.R.; CORREA, C.; FORERO, G.; MÉNDEZ, L.; BERNAL, H.; VALERO, L.; HOYOS, N.: “Introducción de la Geometría fractal en neurocirugía y sus posibles aplicaciones.”, 22: 171-175, 2015, ISSN: 0123-4048.

BOUDA, M.; CAPLAN, J.S.; SAIERS, J.E.: “Box-Counting Dimension Revisited: Presenting an Efficient Method of Minimizing Quantization Error and an Assessment of the Self-Similarity of Structural Root Systems”, Frontiers in Plant Science, 7, 2016, ISSN: 1664-462X, DOI: 10.3389/fpls.2016.00149, Disponible en: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4758026/, [Consulta: 9 de febrero de 2016].

CHÁVEZ, E.D.; SABÍN, R.Y.; TOLEDO, D.V.; JIMÉNEZ Á.Y.: “La Matemática: una herramienta aplicable a la Ingeniería Agrícola”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 22(3): 81-84, 2013, ISSN: 2071-0054.

DE REFFYE, P.; HOULLIER, F.: “Modelling plant growth and architecture: Some recent advances and applications to agronomy and forestry”, Current Science, 73(11): 984-992, 1997, ISSN: 0011-3891.

DEUSSEN, O.; LINTERMANN, B.: Digital Design of Nature: Computer Generated Plants and Organics, Ed. Springer Science & Business Media, 297 p., Google-Books-ID: j6LYkm6FuOIC, 2006, ISBN: 978-3-540-27104-8.

FERNANDEZ, Q.M.P.: “Estado del arte en modelación funcional-estructural de plantas”, Bosque (Valdivia), 26(2): 71–79, 2005, ISSN: 0717-9200.

GAULIN, C. (ed.): Proceedings of the 7th International Congress on Mathematical Education: Québec, 17-23 August 1992, no. solc. QA11.A1 I453 1992, Ed. Presses de l’Université Laval, Sainte-Foy [Québec], 495 p., 1994, ISBN: 978-2-7637-7362-9.

GONZÁLEZ, V.A.; GUERRERO, C.: “Fractales: fundamentos y aplicaciones.Parte I: Concepción geométrica en la ciencia e ingeniería”, 4(10): 53-59, 2001, ISSN: 1405-0676.

LAHOZ-BELTRA, R.: Bioinformática: Simulación, vida artificial e inteligencia artificial, Ed. Ediciones Díaz de Santos, 610 p., Google-Books-ID: U4pwetEPmpQC, 2010, ISBN: 978-84-7978-181-1.

LINDENMAYER, A.; PRUSINKIEWICZ, P.: The Algorithmic Beauty of Plants, Ed. Springer, [en línea], 1996, ISBN: 978-1-4613-8476-2, Disponible en: http://www.springer.com/la/book/9780387946764, [Consulta: 7 de febrero de 2016].

MANDELBROT, B.B.: La geometría fractal de la naturaleza, [en línea], Ed. Tusquets, 662 p., Google-Books-ID: PeCEGAAACAAJ, 1997, ISBN: 978-84-8310-549-8, Disponible en: https://www.amazon.com/Geometria-Fractal-Naturaleza-Spanish/dp/8483105497, [Consulta: 7 de febrero de 2016].

MONTES, O.; BOJÓRQUEZ, H.; TORESANO, F.; DIÁNEZ, F.; CAMACHO, F.: “Evaluación agronómica de la aplicación de cafeína en cultivo de pimiento bajo abrigo en el sureste de España”, Horticultura, (60): 282-287, 2014, ISSN: 0102-0536.

MORENO, E.; RUSSIÁN, T.; RUIZ, C.: “Uso de la poda para extender el ciclo productivo del cultivo de pimentón (Capsicum annuum L.)”, Revista Científica UDO Agrícola, 12(3): 559-562, 2012, ISSN: 1317-9152.

ORTÍZ M.U.; HINOJOSA R.M.: “Geometría de fractales y autoafinidad en ciencia de materiales”, Ingenierías, 1(1): 15-21, 1998, ISSN: 1405-0676.

PRUSINKIEWICZ, P.: “A look at the visual modeling of plants using L-systems”, Agronomie, 19(3/4): 211–224, 1999,
ISSN: 978-3-540-69524-0, DOI: 10.1007/BFb0033200.

 

 

Recibido: 30/04/2016

Aceptado: 13/03/2017

 

 

Yeniffer A. Veliz-Díaz. Profesora, Universidad Agraria de La Habana, San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba. E-mail:[e-mail]