REVISIÓN

Modelación Estadístico-Matemática en Procesos Agrarios. Una aplicación en la Ingeniería Agrícola

Dr.C. Lucía Fernández-Chuairey¹  , MSc. Lazara Rangel-Montes de Oca¹  , Dr.C. Caridad Walkiria Guerra-Bustillo¹  , Dr. MVZ Jany del Pozo-Fernández¹ 

¹Universidad Agraria de La Habana, San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba.

RESUMEN

En el sector agrario existe una demanda siempre creciente de describir procesos que requieren de la Modelación Estadístico-Matemática, así como de metodologías de trabajo que permitan el desarrollo eficiente de los proyectos de investigación. En tal sentido la Universidad Agraria de La Habana (UNAH) cuenta con grupos multidisciplinarios que desarrollan el uso de Modelos Matemáticos, herramientas estadísticas y el empleo del cálculo diferencial en busca de soluciones y producciones óptimas. Por el interés de esta temática y su repercusión en la investigación, se desarrolló la presente revisión para establecer criterios y valoraciones en el análisis y aplicación de modelos que describen Procesos Agrarios, sobre bases matemático - estadísticas. Se incluye una aplicación en estudios de curvas pos cosecha para la perdida de peso (g) en el cultivo de la Piña, se probaron los Modelos Logístico y Von Bertalaffy y se realiza un análisis comparativo en el que el Modelo Logístico permitió mejor descripción y explicación de la cinética de pérdida de peso e indicadores de la velocidad y momento donde se alcanzó la máxima velocidad de pérdida de peso. Se concluye que el desarrollo de la Modelación Estadístico-Matemática, permite dar respuesta a diversos problemas vigentes de investigación en el sector agrario y a retos docentes y científico-investigativo de la nueva Universidad.

Palabras-clave: modelación matemática; procesos agrarios; curvas poscosecha; cultivo de piña

INTRODUCCIÓN

Históricamente el estudio de la dinámica de procesos agrarios ha ido acompañada de expresiones algebraicas, pero por ser sistemas muy complejos por naturaleza, en un inicio no pudieron ser resueltos por los métodos tradicionales del Análisis Matemático. En la práctica estos fenómenos han evolucionado y en muchos casos se representaron a través de Modelos Estadísticos Matemáticos, los que permiten describir procesos, realizar análisis cuantitativos detallados, predecir el comportamiento de los objetos en diversas condiciones y desarrollar técnicas que permiten establecer estrategias de trabajo para lograr soluciones y producciones óptimas.

La Modelación Estadístico-Matemática y sus aplicaciones en las Ciencias Agrarias, ha estado presente por más de 40 años en la Universidad Agraria de La Habana y en investigaciones en colaboración con el Instituto de Ciencia Animal (ICA), el Centro Nacional de Sanidad Agropecuaria (CENSA) y el Instituto Nacional de Ciencia Agrícola (INCA), en los trabajos de los especialistas biométricos y profesionales afines, que abarcan la modelación de procesos agrarios, y biológicos. Lo cual se corrobora en los trabajos de ^{Menchaca (1978}, ¹⁹⁹⁰), en estudios de curvas de lactancia en vacas lecheras donde utilizó un modelo multiplicativo con efectos de estas curvas, paralelamente ^{Guerra (1980}), empleó la Metodología de Superficie de Respuesta (MSR) en los cultivos de la caña de azúcar, cítricos, pastos y forrajes, para explorar las condiciones óptimas de fertilización.

^{Menchaca, (1990}), usó modelos a los que denomino etápicos, para describir curvas de crecimiento animal y en el trabajo de ^{Del Pozo y Herrera (1995}), se divulga el empleo de modelos multiplicativos con control de curvas de crecimiento y efectos ambientales en estudios de crecimiento del pasto estrella (Cynodon nlemfumsis).

^{Fernández (1996}, ²⁰⁰⁴), realiza un estudio asociado a Modelos Matemáticos que describen la dinámica de los procesos biológicos en las Ciencias Agropecuarias, con énfasis en regresiones no lineales y el empleo de métodos iterativos para la estimación de los parámetros y no mediante la linealización del modelo como tradicionalmente se venía trabajando, donde el propio desarrollo de la informática y de los software estadístico facilitó trabajar las regresiones no lineales por esta vía. Más reciente ^{Fernández et al. (2018}), exponen la evolución en regresiones no lineales y la propuesta de parámetros iniciales a partir de interpretaciones matemático-biológicas de los mismos, reportan además ejemplos que van desde los modelos de crecimiento animal y vegetal, el crecimiento alométrico y las curvas de lactancia, entre otros procesos.

De igual forma han sido abordados modelos asociados a evaluaciones y mejoramientos genéticos en bovinos (con el empleo del BLUP ( Best Linear Unbiased Predictor) y el uso del pesaje en el día de control), así como modelos de crecimiento en pastos (King Grass) para la determinación del momento óptimo de corte abordados por ^{Rodríguez (2015}). Se alcanzan otras investigaciones en el área de las Ciencias Agropecuarias reportadas por, ^{Fernández (1996a}, ^1996b, ²⁰⁰⁴); ^{Del Valle (2000}); ^{del Valle y Guerra (2012}); ^{Vázquez et al. (2014}); entre otros.

En las Ciencias Técnicas Agropecuarias la Modelación Matemática ha sido aplicada a la predicción de propiedades de calidad de los frutos ^{Rangel (2015}), donde para la caracterización de estos procesos intervienen modelos lineales y no lineales, cuya fundamentación teórica de los modelos más utilizados serán abordados en el presente trabajo. Por el interés de esta temática y su repercusión en la investigación se desarrolló el mismo, para establecer criterios y valoraciones en el análisis y aplicación de modelos que describen Procesos Agrarios, sobre bases matemático- estadísticos.

MÉTODOS

Fundamentos teóricos

Modelos lineales

El caso más conocido de Modelos Matemáticos, lo constituye el modelo lineal siendo expresado de forma general como:

$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+\mathrm{.........}+{\beta }_i{x}_{pi}+e_i$

donde:

Yi	- Variable dependiente o respuesta.
ßj	- Parámetros del modelo (j = 0,1,2…p)
x ji	- Valor i-esimo de la variable independiente (j =1,2,3,…,p).
ei	- error aleatorio independiente, con distribución normal con media cero y varianza (^2.

El concepto de linealidad y no linealidad está referida a los parámetros, en este caso se considera (x) como una constante y la dependencia de (Y) con los parámetros es una combinación de sumas y restas. ^{Menchaca (1990}), al referirse a modelos lineales señala que presentan limitaciones desde el punto de vista práctico y biológico, pero son sumamente útiles si el objetivo corresponde más al campo de la estimación que a la interpretación biológica. Además estos son muy utilizados por lo simple del método matemáticos que utiliza para estimar sus parámetros (método de los mínimos cuadrados ordinarios), el cual es exacto y la solución es única.

El modelo general puede ser llevado a formas específicas siendo alguna de ellos el polinomial de primer orden, polinomial de segundo orden, etc. De los modelos lineales que han mostrado buen nivel de ajuste en aplicaciones dentro de las ciencias técnicas agropecuarias se tiene el polinomial cúbico y polinomial logarítmico, cuyas características fundamentales y forma funcional se muestran en la Tabla 1.

TABLA 1 Resumen de aspectos útiles de modelos lineales 

Modelo	Forma funcional	Primera derivada	Punto de inflexión
1	$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\beta }_2{x}_i^2+{\beta }_3{x}_i^3+e_i$	$Y_i´={\beta }_1+2{\beta }_2{x}_i+3{\beta }_3{x}_i^2$	$x=-\frac{{\beta }_2}{3{\beta }_3}\text{}si\frac{{\beta }_2}{{\beta }_3}\langle 0$
2	$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+{\beta }_2{x}_{}^2+{\beta }_3\ln (x_{}^{})+e_i$	$y´={\beta }_1+2{\beta }_{2}x+\frac{{\beta }_3}{x}$	$x=\sqrt{\frac{{\beta }_3{}_{}}{2{\beta }_2}}si\frac{{\beta }_3}{2{\beta }_2}\rangle 0$

1- polinomial cúbico 2-polinomial logarítmico

Yi- Variable dependiente.

ß_j - Parámetros del modelo (j=0,1,2,…,p)

x_i - Valor i-esimo de la variable independiente.

e_i - error aleatorio independiente, con distribución normal con media cero y varianza (².

Modelos no lineales

Aunque los modelos lineales son adecuados para muchas situaciones, algunas variables no se conectan entre sí por una relación tan simple, como por ejemplo la representación algebraica de la dinámica de crecimiento de individuos en especies de animales o la cinética de pérdida de peso en postcosecha, lo que han llevado a la búsqueda y construcción de modelos matemáticos los cuales han resultado ser de características no lineales en muchos casos.

La desventaja de estos modelos es que para el cálculo de sus parámetros se utilizan métodos iterativos y esto lleva cálculos muy complejos e incluso se puede caer en errores al estimar los parámetros, muchos autores utilizan transformaciones para linealizar el modelo y aplicar el método de los mínimos cuadrados, pero en la práctica este procedimiento no es aconsejable, en la actualidad existen programas específicos para el ajuste no lineal el cual permite superar esta desventaja.

Dentro de los modelos no lineales se utilizan con frecuencia aquellos que son asintóticos sin puntos de inflexión en los que se encuentran los modelos de Brody, Exponencial Modificada y los asintóticos con puntos de inflexión dentro de estos modelos están: Gompertz, Von-Bertalanffy, Logístico, entre otros .En la Tabla 2 se muestran las expresiones algebraicas de algunos de estos modelos, así como indicadores asociadas al cálculo de velocidad y/o a tasa de ganancia (primera derivada), punto de inflexión.

TABLA 2 Forma funcional y aspectos relacionados con modelos no lineales 

	Modelo de Brody	Modelo Logístico	Modelo Von Bertalanffy
Forma funcional	$f(t)=A(1-b{e}^{-kt})$	$f(t)=\frac{A}{(1+b{e}^{-kt})}$	$f(t)=A{(1-b{e}^{-kt})}^3$
Descripción	Modelo asintótico sin punto de inflexión	Modelo asintótico con punto de inflexión	Modelo asintótico con punto de inflexión
Asíntota	A	A	A
Tasa de ganancia o velocidad (primera derivada)	$f^{\prime }(t)=Abk{e}^{-kt}$	$f^{\prime }(t)=\frac{Abk{e}^{-kt}}{{(1+b{e}^{-kt})}^2}$	$f^{\prime }(t)=3A{(1-b{e}^{-kt})}^{2}bk{e}^{-kt}$
Segunda derivada Características	$f^{″}(t)=-A{k}^{2}b{e}^{-kt}$	$f^{″}(t)=\frac{Ab{k}^2{e}^{-kt}(b{e}^{-kt}-1)}{{(1+b{e}^{-kt})}^3}$	$\begin{array}{l}{f}^{″}(t)=3Abk{e}^{-kt}{(1-b{e}^{-kt})}^2+\\ 2(3Ab{e}^{-kt}(1-b{e}^{-kt})(bk{e}^{-kt}))\end{array}$
Punto de inflexión	No tiene	$t=\frac{\ln b}{k}$	$t=\frac{\ln 3b}{k}$

f(t): Variable aleatoria dependiente, t :Variable independiente, controlada o predefinida, A,b,k: parámetros a estimar

En el modelo de Brody la función es cóncava y crece hasta estabilizar su valor a medida que aumente el valor de t, sin embargo las velocidades o tasas (f ^l (x)) disminuyen a medida que aumenta el valor de t. (Figura 1)

El resto de los modelos su forma es sigmoide. La diferencia entre ellos es la localización del punto de inflexión Las velocidades o tasas en estos modelos es en forma acampanada esta aumenta hasta alcanzar su máximo valor, después decrece hasta hacerse cero (Figura 1)

FIGURA 1 Representación de Modelos no lineales y sus correspondientes tasas o velocidades. 

Ejemplo de aplicación de estos modelos en estudios de curvas pos cosecha de la Piña (variedad Cayena Lisa)

El estudio se llevó a cabo en áreas de la empresa de cultivos varios ubicada dentro de la Llanura Habana-Matanzas, con un rango de la temperatura media anual entre los 25 y los 32 ºC y elevada humedad ambiental. La Pérdida de Peso (PP) se realizó a través del pesaje de los frutos con la utilización de la balanza electrónica, durante los primeros nueve días de cosechado, se calcularon valores promedios (g) en los días observados. Se probaron los modelos Logísticos y de Von Vertalanffy (descritos anteriormente), para la bondad de ajuste y discriminación entre modelos se tuvo en cuenta el coeficiente de determinación, suma de cuadrado del error, significación del modelo y de los parámetros, distribución de los residuos y docima de Durbin Watson. Se describe el proceso de perdida a partir del mejor modelo, se estima la velocidad con que se produce la pérdida de peso en cada instante del período analizado a partir de la derivada de la función y para la búsqueda del momento donde se produjo la máxima velocidad de pérdida de peso se calculó mediante el punto de Inflexión.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Los valores promedios de pérdida de peso (g) y los días correspondientes, permitieron estimar los parámetros de las curvas ajustadas (tabla 3), las que mostraron buen ajuste con coeficiente de determinación por encima del 97%. Lo que indican que ambos modelos son una alternativa para la descripción del proceso y para la predicción dentro del rango de valores estudiados.

La discriminación entre los modelos, seleccionó al Modelo Logístico como el mejor, el que logra explicar el 99.27 % de la variabilidad total, y donde todos sus parámetros son significativo y logró menores: error estándar de estimación, media absoluta del error y suma de cuadrado del error que el modelo de Von-Bertalaffy (Tabla 3).

TABLA 3 Resultado del ajuste de los modelos 

	Modelo Logístico	Modelo Von-Betallanffy
Coeficiente de Determinación (R^2) %	99,27%	97,64%
Significación del modelo	significativo	significativo
Modelo ajustado (parámetros estimados)	$f(t)=\frac{\mathrm{4,57}}{(1+\mathrm{36,25}{e}^{-\mathrm{0,93}t})}$	$f(t)=\mathrm{4,98}{(1-\mathrm{1,12}{e}^{-\mathrm{0,43}t})}^3$
Significación de los parámetros	Todo significativos	Todo significativos
Error estándar de estimación	0,20	0,36
Suma de cuadrado del error	0,16	0,52
Durbin Watson	2,38	2,19

El modelo Logístico seleccionado (Figura 2a) muestra, el aumento de la pérdida de peso a medida que se incrementan los días postcosecha, con un comportamiento brusco los primeros días y una tendencia a estabilizar este valor a partir del séptimo día. Esta tendencia descritas por el modelo se considera adecuada y están asociadas entre otros aspectos a los cambios fisiológicos irreversibles que se suceden en la fruta.

Otro indicador de interés se asocia al comportamiento de la velocidad con que se produce esta pérdida de peso (Figura 2b), que es en forma acampanada esta aumenta hasta alcanzar su máximo valor aproximadamente en el cuarto día y después decrece hasta hacerse cero

FIGURA 2 Modelo de mejor ajuste para la pérdida de peso (2a) y velocidad con que se produce la misma 2(b). 

En la Tabla 4 se observa el punto de inflexión (3,8, 2,24) que es donde se alcanza la máxima velocidad de pérdida de peso, siendo este de 1,07 g, se muestra además los valores alcanzados alrededor de este punto.

TABLA 4 Comportamiento de la pérdida de peso y la velocidad con que se produce la pérdida de peso alrededor del punto de inflexión 

Día	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4	4,1	4,2
Pérdida de Peso (g)	1,927	2,032	2,138	2,245	2,352	2,459	2,565	2,669
Velocidad de PP(g)	1,046	1,060	1,068	1,073	1,072	1,067	1,058	1,044

Estos indicadores asociados a la pérdida de peso, cobran un especial interés para economizar recursos, tiempo y esfuerzos, lo que permite trazar estrategias de manejo postcosecha y garantizar la calidad del producto.

En la actualidad se cuenta con valiosos resultados relativos al empleo de estos y otros tipos de modelos que han sido utilizado para la predicción de la producción de biomasa verde y seca del pasto (Maralfalfa) con varias dosis de fertilizante nitrogenado; o en la descripción y caracterización de las propiedades físicas y químicas de la piña (variedad cayena Lisa) almacenada a temperatura ambiente, así como en la modelación y simulación del rendimiento del pasto estrella (C. nlemfuensis) bajo diferentes condiciones de manejo y escenarios climáticos, como muestran los trabajos de ^{Fernández et al. (2011}); ^{Rangel (2015}); ^{López (2016}), entre otros autores.

CONCLUSIONES

• Para abordar de forma detallada el análisis de procesos agrarios se requiere entre otros aspectos del conocimiento de un grupo de modelos con la aplicación del Cálculo Diferencial y la Estadística Matemática.

• La gráfica de diferentes modelos, así como sus tasas absoluta contribuye a esclarecer los análisis sobre la dinámica de diferentes fenómenos agrarios.

• La modelación matemática permite profundizar en las leyes que rigen cada uno de los fenómenos y facilita el estudio del proceso y crea base metodológica para el procesamiento de la información

• El desarrollo de la Modelación Estadístico -Matemático, permite dar respuesta a problemas vigentes de investigación en el sector agrario y a los retos docentes y científico-investigativo de la nueva Universidad.

REFERENCES

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Recibido: 25 de Julio de 2018; Aprobado: 25 de Febrero de 2019

^*Autor para correspondencia: Lucía Fernández-Chuairey, E-mail: [e-mail]